期末复习之与勾股定理有关的常见几何模型（原卷版）

与勾股定理有关的常见几何模型（热考+压轴必刷50题13种题型专项训练）构造直角三角形蚂蚁爬行模型直角三角形翻折模型【扩展】特殊四边形的翻折模型构造直角三角形求代数式的最值利用勾股定理解决将军饮马问题勾股树模型面积法求高赵爽弦图梯子模型勾股差模型垂美四边形见特殊角，作垂线一．构造直角三角形（共4小题）1．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，某小区在相邻两楼之间修建了一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，其中AD=2.1米，CD=2米，现有一辆装满家具的卡车高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否顺利通过这个通道？请说明你的理由．2．（2022八年级·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4．若S1=4，3．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，CD=5，AC=8，BC=6．(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)点E在CD上，且AE=BC，求证：∠AED=∠B．4．（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考：下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务．××年××月××日星期三巧用方程解决三角形求高问题法国数学家笛卡尔在《指导思维的法则》一书中写道：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数学问题，而一切代数学问题又都可以转化为方程问题”．可见方程思想对于数学学习的重要性．今天数学课上，老师提出问题：在△ABC中，已知边AB,AC,BC的长，求点A到BC边的距离．小亮画出的图形如图①所示：在△ABC中，已知：AB=13,AC=5,BC=12，小亮的同桌小明思索片刻就得出：点A到BC边的距离为5；小明画出的图形如图②所示：在△ABC中，已知：AB=15,BC=14,AC=13，经过小组讨论，大家得出了如下的解题思路：请你根据小亮的日记内容完成下列各题：(1)写出小明得出图①中点A到BC距离为5的理由；(2)根据小亮小组讨论的思路，写出图②中点A到BC的距离为；(3)根据（2）的解题思路解决下面的问题：如图③，某商场楼梯长4m(AB=4m)，商场准备改善原有楼梯的安全性能，将楼梯长度加长2m二．蚂蚁爬行模型（共5小题）5．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，

(1)请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径；(2)分别求出这几种路径的距离；(3)求蚂蚁爬行的最短路程是多少？6．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、3、1，A和B是一个台阶两个相对的端点．【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB=；（直接写出答案）【变式探究】（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）7．（23-24七年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．(1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．(2)如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）这样的最短路径有条．(3)如果将正方体换成长AD=3cm，宽DF=3cm，高AB=1cm的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A8．（24-25八年级上·广东深圳·期中）【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（π取3）素材1：如图1，圆柱体的高AC为12cm，底面直径BC为6cm，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12+6=18cm．将圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是cm；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线（用“一”或“二”素材2：如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6cm，高为10（1）两种路线路程的长度如表所示（单位：cm）：圆柱高度沿路线一路程x沿路线二路程y比较x与y的大小511106x>y41097x>y3a3b（2）填空：表格中a的值是；表格中b表示的大小关系是；（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？9．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？(4)如图③，圆柱形玻璃杯的高9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁三．直角三角形翻折模型（共4小题）10．（24-25八年级上·山西晋中·期中）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B'(1)如图1，如果点B'和顶点A重合，求CE(2)如图2，如果点B'落在AC的中点上，求CE11．（20-21八年级下·福建南平·阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△BDE沿直线DE折叠，使B落在AC12．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，点H为AB边上的一点，AH=15，CH=8，AC=17，BH=6．(1)求BC的长；(2)已知点E为线段AB上一点，△BCE为等腰三角形，求线段HE的长度；(3)点P是直线AB上任意一点，把△ACH沿着直线CP翻折，直接写出当AP为何值时，点H翻折后的对应点H'恰好落在直线AC13．（24-25八年级上·福建三明·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°(1)如图1，把△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕交AB于点D，交BC于点E．求证：D是AB的中点；(2)如图2，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点D，交BC于点F．求BF的长；(3)如图3，M为BC边上一点，△ABM沿着AM折叠，得到△AB1M，边AB1交BC于点N四．【扩展】特殊四边形的翻折模型（共4小题）14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点D'处，折痕为EF(1)求证：△ABE≌△AD(2)若AB=4cm，EF=5cm，求15．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形ABCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10,8)．(1)写出点F的坐标．(2)求EF的长．16．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10，AD=BC=4，AB∥CD，AD∥BC．N是边CD上一点，CN=2．若M为AB边上一个动点，将四边形BCNM沿MN折叠，点B、C的对应点分别为点B'、C'，若线段MB'与边(1)如图1，证明：△EMN为等腰三角形；(2)如图2，当点M与点A重合时，求线段DE的长；(3)点M从点A向点B运动的过程中，①线段DE的最大值为_________；②请直接写出点E运动的路径长为_________．17．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=16．(1)如图①，将矩形纸片沿AN折叠，点B落在对角线AC上的点E处，求BN的长：(2)如图②，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F、且MG=GF，求BM的长：(3)如图③，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在AD边上的点E处，折痕所在直线同时经过AB、BC(包括端点)，请直接写出DE的最大值和最小值．五．构造直角三角形求代数式的最值（共4小题）18．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，(1)求当x等于何值时，AC=CE?(2)当x=4时，求AC+CE的长．(3)利用图形求代数式x219．（2024八年级上·全国·专题练习）[探究]已知a，b均为正实数，且a+b=3，求a2+4+b2+9的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，AB=3,AC=2,BD=3,AC⊥AB,BD⊥AB，且C,D两点在直线AB的异侧．点E是线段①用含a的代数式表示CE=_______，用含b的代数式表示DE=________；②据此求出a220．（23-24八年级上·福建泉州·期末）我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．【知识应用】如图1，点G为线段AD上的一点，分别过点A、D作AE⊥AD于A，DF⊥AD于D，连结（1）若AE=1，DF=5，AD=8，设AG=x，用含x的代数式表示GE+GF的长；（2）参照（1）的思想方法，构图求代数式x2【能力迁移】（3）如图2，正方形ABCD中，点E在BC边上，点G在AD边上，且AF⊥EG．已知DF=3,AB=8，求AE+FG的最小值．21．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题：(1)如图，请你用两种不同方法表示梯形ABCD的面积，从而验证勾股定理．(2)如图，在直线l的同侧有两个点C、D，已知点C和点D到直线l的距离分别为2和5，且CD=73．现要在直线l上取点P，使得PD+PC①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）②直接写出PC+PD的最小值为_________；(3)借助上面的思考过程，直接写出9+x2+22．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）阅读并回答下列问题【几何模型】如图①，A、B是直线l同侧的两个定点，问题：在直线l上找一点P，使PA+PB值最小．方法：如图②，作B点关于l的对称点B'，连接AB'交l于P

【模型应用】如图③，若A、E两点在直线l同侧，分别过点A、E作AB⊥BD，ED⊥BD，C为线段BD上一动点，连接AC、EC．已知AB=5，DE=3，BD=15，设CD=x．

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为______．（2）①请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出最小值；②根据①中的规律和结论，直接写出代数式x2+36+【拓展应用】由x2+1+x-32+4=x-02+1+x-32+22可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点Px,0是x轴上一点，则x-0

（3）求代数式x+12六．利用勾股定理解决将军饮马问题（共4小题）23．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=15km，CB=10km，现在小明要在直线AB上找到地点(1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少km处？(2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少km处？并求出DE+CE的最短距离．24．（24-25八年级上·江苏常州·期中）（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、BF．交于点P．请直接写出线段AE与BF之间的关系；（2）如图2，在（1）的条件下，连接PC，试说明PC平分∠EPF；（3）如图3，若点E、F分别是BC、CD上的动点，且AB=1，BE=DF，请直接写出AE+BF的最小值．

25．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点P，连接PB请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l上另取任一点P'，连接AP'，B∵直线l是点B，B'的对称轴，点P，P'在∴PB=______，P'B=______，（依据∴AP+PB=AP+PB'在△AP'B'中，∵∴AP+PB<AP+P'B【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为AB'与l的交点，即由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】如图④，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm．在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为26．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．七．勾股树模型（共4小题）27．（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①c为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，

(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1＋S(3)如图⑥所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S28．（23-24八年级上·浙江温州·期中）项目背景我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣．素材一毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．素材二经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为2素材三

解决问题任务一小明画出了锐角△ABC，AB=AC，BC=2，则S3S任务二小金画出了直角△DEF，∠DFE=90°，EF=2，计算S2任务三小山画出了钝角△GHI，∠GIH=120°，HI=2，则S2+项目总结综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的S329．（23-24八年级上·山西运城·期中）综合与实践勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．

(1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出S1，S2，S3(2)如图4，以Rt△ABC的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断S1，S2(3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为80，OC=5，直接写出该飞镖状图案的面积．30．（22-23八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1+S2(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+八．面积法求高（共3小题）31．（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为32．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图在2×2的方格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，则边AC上的高为．

33．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知在正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，格点△ABC（即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处）的三条边AB，AC，BC的长分别为5，22，17．(1)在网格中画出△ABC．(2)求边AC上的高．九．赵爽弦图（共4小题）34．（24-25八年级上·浙江·期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连接AE交BG于点P，连接BE，得到图2，若∠ABE=∠AEB．(1)求证：EF=DF；(2)若EF=2，求PE的长．35．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题：三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图1，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．(1)在图1中，正方形ABCD的面积可表示为______，正方形PQMN的面积可表示为______（用含a，b的式子表示）；(2)请结合图1用面积法说明a+b2，ab，a-b(3)已知a+b=7，ab=5，求正方形EFGH的面积．36．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形MNKT的边长为2，正方形ABCD的边长为10，求正方形EFGH的边长．37．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为24，OC=3，求该飞镖状图案的面积；(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S一十．梯子模型（共4小题）38．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=10，AB=12，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为（

）A．12.5 B．13 C．14 D．1539．（20-21八年级下·贵州安顺·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=4,BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（

）A．22+2 B．26+2 C．40．（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，射线OA⊥射线OB于点O，线段CD=6，CE=4，且CE⊥CD