期末专题复习：勾股定理（九大类型）（原卷版）

勾股定理（9大类型提分练）目录类型一、勾股定理 1类型二、勾股数 1类型三、以直角三角形三边为边长的正方形问题 2类型四、勾股定理与折叠问题 2类型五、勾股定理的应用 3类型六、勾股定理与实际问题 4类型七、勾股数的材料探究问题 5类型八、勾股定理与网格作图问题 6类型九、勾股定理的证明问题 7类型一、勾股定理1．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=11，则BC=2．（22-23八年级上·浙江绍兴·阶段练习）直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长等于．3．（22-23八年级上·江苏泰州·期末）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，则斜边AB长为类型二、勾股数4．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）下列各组数中，是勾股数的一组（

）A．0.3，0.4，0.5 B．1，3，2 C．6，8，10 D．2，2，55．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）下列各组数中是勾股数的是（

）A．13，14，15 B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D．9，6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）下列各组数中，是勾股数的一组为（

）A．2，2，5 B．1，3，2 C．4，5，6 D．6，8，10类型三、以直角三角形三边为边长的正方形问题7．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形A的面积为．

8．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，AD是△ABC的高，分别以线段AB，BD，DC，9．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=3，AB=4，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABIH，正方形ACFG，正方形BCDE，并按如图所示作长方形KLNP，延长BC交NL于点M，反向延长BC交PK于点J，则长方形KLMJ的面积为类型四、勾股定理与折叠问题10．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=18，BC=12，E、F分别在边AB、CD上．现将四边形BCFE沿EF折叠，点B、C的对应点分别为点B'、C'．当点B'恰好与点D重合时，则11．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=9,BC=15．在DC上找一点E，把△AED沿AE折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，则CF=．12．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°(1)如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若AC=3，BC=4，求CD(2)如图2，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=3，BC=4，求CD的长．类型五、勾股定理的应用13．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，一架2.5m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为1.5m，则梯子的顶端距地面为m．

14．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为米．

15．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时绳索用尽，则木柱长为尺．类型六、勾股定理与实际问题16．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，学校高17m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护．一辆高2m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯最长25m）刚好接触到AC的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长2517．（21-22八年级上·江苏盐城·期末）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．18．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．类型七、勾股数的材料探究问题19．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，已知B中的实数与A中实数之间的对应关系是某个一次函数，若用y表示B中的实数，用x表示A中的实数，点N的坐标为n-m,t，点M的坐标为-m,0．

(1)求y与x之间的函数表达式；(2)点M、N的坐标分别是________、________，线段MN的长度为________；(3)若点Q在第二象限内，且以△MNQ的三条边的长度组成的数组是勾股数，请求出点Q的坐标（求出两个即可）．20．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2abc345861015817(1)小明发现：3=22-1，4=2×2，5=(2)若b用2n（n为整数，且n≥2）表示，那么a、c用含n的代数式分别表示为__________和_____，请用所学知识说明它们是一组勾股数．21．（21-22八年级上·江苏苏州·期末）若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：( )2+( 要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：(x+y)2-如果等式③的右边也能写成“(  )2因此，只要设x=m2,y=n2于是，当m，n为任意正整数，且m>n时，“m2+n2(1)当m＝2，n＝1时，该组勾股数是_______；(2)若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m-n=1，求m，n的值；(3)若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为_______，_______类型八、勾股定理与网格作图问题22．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）

(1)边AB的长度为；(2)作△ABC的角平分线AD；(3)已知点P在线段AC上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+CQ的长度最小时，在网格中作出△PCQ．23．（23-24八年级上·江苏南京·期末）（1）如图①，方格纸中有2个格点A，B．仅用无刻度的直尺画出线段AB的垂直平分线EF（E，F均为格点）；（2）如图②，点A(1,1)，点B(3,1)．用直尺和圆规在第一象限内作出点C，使得△ABC是等边三角形，其中点C的坐标为．

24．（23-24八年级上·江苏南京·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，一般分为两种情形：借助于数学运算来阐明“形”的某些属性；借助于几何直观来阐明“数”的某种关系．

(1)从“数”的角度：证明“点A(-3,7)，B(-1,3)和C(5,-9)在同一条直线上”；(2)从“形”的角度：在方格纸中画出图形，并说明“2+5类型九、勾股定理的证明问题25．（21-22八年级上·江苏泰州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．过点A在△ABC外作直线MN，BM⊥MN于M．CN⊥MN于N．(1)求证：△ABM≌△CAN；(2)若AM=a，BM=b，AB=c．试利用这个图形验证勾股定理．26．（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）综合与实践：小明制作了2张如图①的纸片，其中四边形ACOF、ODBE均为正方形，他把其中的一张纸片沿对称轴AB把它剪开，然后把对称轴AB一侧的部分，沿AB翻折，再绕着AB的中点旋转180°，这样就形成了如图②的图形．(1)在图②中，请先判断CE与CD的数量关系，再说明理由．(2)图①图形的面积可以表示为______．图②图形的面积可以表示为______．从而得数学等式：