期末复习压轴题13个必考点（90题）（解析版）

七上数学期末复习压轴题13个必考点（90题）【苏科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【考点1与绝对值有关的压轴题】 1【考点2与整式的加减有关的压轴题】 5【考点3与一元一次方程的解有关的压轴题】 9【考点4一元一次方程的实际应用压轴题】 13【考点5与线段有关的计算压轴题】 19【考点6数轴、线段中的动点压轴题】 26【考点7与角度有关的计算压轴题】 38【考点8角的旋转压轴题】 46【考点9平行线性质综合探究题】 62【考点10新定义问题】 75【考点11日历与幻方问题】 81【考点12数字规律问题】 86【考点13图形规律问题】 90

【考点1与绝对值有关的压轴题】1．（2023秋•光山县校级期末）若1＜x＜2，则|x-2|x-2-|x-1|1-x+A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1【分析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1，故选：D．2．（2023秋•荔湾区期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用有理数的加法，乘法法则判断即可．【解答】解：∵a+b＜0，ac＜0，∴a＜0，c＞0，b＞0且|a|＞|b|或b＜0，∴abc＞0或abc＜0，选项①错误；b+c＞0或b+c＜0，选项②错误；|a|＞|b|，即|a|﹣|b|＞0，选项③正确；|a﹣c|＞|a|，选项④错误，其中一定成立的结论个数为1．故选：A．3．（2023秋•潮南区校级期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图，则|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝（）A．1﹣4a+4b﹣c B．﹣1﹣4a+4b+3c C．1+4b﹣3c D．1+4a﹣4b﹣3c【分析】首先根据有理数a，b，c在数轴上的对应位置可以得到﹣1＜c＜0＜a＜b，然后就分别可以得到1﹣2c＞0，c﹣2a＜0，a﹣2b＜0，最后利用绝对值的性质即可化简．【解答】解：依题意得﹣1＜c＜0＜a＜b，∴1﹣2c＞0，c﹣2a＜0，a﹣2b＜0，∴|1﹣2c|+|c﹣2a|+2|a﹣2b|＝1﹣2c﹣（c﹣2a）﹣2（a﹣2b）＝1﹣2c﹣c+2a﹣2a+4b＝1﹣3c+4b．故选：C．4．（2023秋•抚州期末）适合|a+5|+|a﹣3|＝8的整数a的值有（）A．4个 B．5个 C．7个 D．9个【分析】此方程可理解为a到﹣5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．【解答】解：|a+5|表示a到﹣5点的距离，|a﹣3|表示a到3点的距离，因为﹣5到3点的距离为8，故﹣5到3之间的所有点均满足条件，又由a为整数，故满足条件的a有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共9个，故选：D．5．（2023秋•忠县期末）如果有理数a，b，c满足|a+b+c|＝a+b﹣c，对于以下结论：①c＝0；②（a+b）c＝0；③当a，b互为相反数时，c不可能是正数；④当c≠0时，|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝﹣3．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据绝对值的性质，得出c＝0或a+b＝0，逐个判断出正确错误即可．【解答】解：∵|a+b+c|＝a+b﹣c，∴a+b+c＝a+b﹣c或﹣a﹣b﹣c＝a+b﹣c，∴c＝0或a+b＝0，∴（a+b）c＝0故①不正确，②正确，当a，b互为相反数时，∵|a+b+c|＝a+b﹣c＝﹣c，∴c≤0，∴③正确，当c≠0时，a+b＝0，c≤0，|a+b+c﹣2|﹣|5﹣c|＝|c﹣2|﹣|5﹣c|＝2﹣c﹣5+c＝﹣3，故④正确，故选：C．6．（2023秋•渝中区期末）已知abc＜0，a+b+c＝0，若x=|b+c|a+A．﹣24 B．﹣12 C．6 D．24【分析】根据abc＜0，a+b+c＝0判断出a、b、c只能是一负两正，然后分情况讨论：当a、b为正，c为负时；当a、c为正，b为负时；当b、c为正，a为负时；分别计算x的值，即可得出答案．【解答】解：∵abc＜0，∴a、b、c中一负两正或三负，∵a+b+c＝0，∴a、b、c不可能三负，只能是一负两正，∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，当a、b为正，c为负时，x=|b+c|=|-a|=a＝1+2+3＝6；当a、c为正，b为负时，x=|b+c|=|-a|=a＝1﹣2﹣3＝﹣4；当b、c为正，a为负时，x=|b+c|=|-a|=-a＝﹣1+2﹣3＝﹣2；则x的最大值与最小值的乘积为6×（﹣4）＝﹣24，故选：A．7．（2023秋•武汉期末）数轴上点A、B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离可表示为线段AB＝|a﹣b|，如：数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点之间的距离为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．代数式|x+3|﹣|x﹣2|的最大值等于．【分析】分x≤﹣3，﹣3＜x≤2，x＞2三种情况进行讨论，然后比较作答．【解答】解：当x≤﹣3时，|x+3|﹣|x﹣2|＝﹣（3+x）+（x﹣2）＝﹣3﹣2＝﹣5．当﹣3＜x≤2时，|x+3|﹣|x﹣2|＝x+3+（x﹣2）＝2x+1，当x＝2时，有最大值5，当x＞2时，|x+3|﹣|x﹣2|＝x+3﹣（x﹣2）＝x+3﹣x+2＝5．综上，|x+3|﹣|x﹣2|的最大值为5，故答案为：5．【考点2与整式的加减有关的压轴题】1．（2024•宁波校级期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．4mcm B．4ncm C．2（m+n）cm D．4（m﹣n）cm【分析】本题需先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案．【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a），L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b），∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b），又∵a+2b＝m，∴4m+4n﹣4（a+2b），＝4n．故选：B．2．（2023秋•儋州校级期末）三张大小不一的正方形纸片按如图①和图②方式分别放置于相同的大长方形中，它们既不重叠也无空隙，记图①阴影部分周长为m，图②阴影部分周长之和为n，则m与n的差（）A．与正方形A的边长有关 B．与正方形B的边长有关 C．与正方形C的边长有关 D．与A，B，C的边长均无关【分析】认真读懂题意，根据题意列代数式，化简整理代数式，判断正误．【解答】解：设正方形A、B、C的边长分别为a、b、c，大矩形的面积为d，根据题意得：m＝a+b+（a﹣b）+（d﹣b﹣c）+c+c+（d﹣c）+（d﹣a）＝a+3d﹣b，n＝（d﹣b+b）×2+（d﹣b﹣c+c）×2＝4d﹣2b，∴m﹣n＝a+3d﹣b﹣（4d﹣2b）＝a+b﹣d＝0，∴m与n的差和正方形A，B，C的边长无关．故选：D．3．（2023秋•越秀区期末）已知A＝2x2+3xy﹣2x，B＝x2+xy+y，且A﹣2B的值与x的取值无关．若B＝5，则A的值是（）A．﹣4 B．2 C．6 D．10【分析】计算A﹣2B后根据题意求得它的值，再由B＝5即可求得A的值．【解答】解：A﹣2B＝2x2+3xy﹣2x﹣2（x2+xy+y）＝2x2+3xy﹣2x﹣2x2﹣2xy﹣2y＝xy﹣2x﹣2y＝（y﹣2）x﹣2y，∵A﹣2B的值与x的取值无关，∴y﹣2＝0，∴y＝2，∴A﹣2B＝0﹣4＝﹣4，∵B＝5，∴A﹣10＝﹣4，∴A＝6，故选：C．4．（2023秋•沂源县期末）已知无论x，y取什么值，多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12，则m+n等于（）A．8 B．﹣2 C．2 D．﹣8【分析】直接去括号、合并同类项，进而得出3﹣n＝0，m+5＝0，进而得出答案．【解答】解：（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）＝3x2﹣my+9﹣nx2﹣5y+3＝（3﹣n）x2﹣（m+5）y+12，∵多项式（3x2﹣my+9）﹣（nx2+5y﹣3）的值都等于定值12，∴3﹣n＝0，m+5＝0，解得：n＝3，m＝﹣5，∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．故选：B．5．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知4x2﹣6xy＝﹣6，3y2﹣2xy＝12，则式子2x2﹣xy﹣3y2的值是（）A．8 B．5 C．﹣8 D．﹣15【分析】几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．由4x2﹣6xy＝﹣6知2x2﹣3xy＝﹣3，结合3y2﹣2xy＝12知（2x2﹣3xy）﹣（3y2﹣2xy）＝﹣3﹣12＝﹣15，去括号、合并同类项即可．【解答】解：∵4x2﹣6xy＝﹣6，∴2x2﹣3xy＝﹣3，又∵3y2﹣2xy＝12，∴（2x2﹣3xy）﹣（3y2﹣2xy）＝﹣3﹣12＝﹣15，∴2x2﹣3xy﹣3y2+2xy＝﹣15，即2x2﹣xy﹣3y2＝﹣15，故选：D．6．（2023秋•襄城区期末）若多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项，则它们的和等于．【分析】先计算两个多项式的差，得出x3﹣[8+（3m+1）]x2+（m+5）x﹣8，根据题意得出8+（3m+1）＝0，即可求出m的值，从而求出这两个多项式的和．【解答】解：由题意得，（2x3﹣8x2+mx﹣1）﹣[x3+（3m+1）x2﹣5x+7]＝2x3﹣8x2+mx﹣1﹣x3﹣（3m+1）2+5x﹣7＝x3﹣[8+（3m+1）]x2+（m+5）x﹣8，∵多项式2x3﹣8x2+mx﹣1与多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7的差不含二次项，∴8+（3m+1）＝0，解得m＝﹣3，∴多项式2x3﹣8x2+mx﹣1为2x3﹣8x2﹣3x﹣1，多项式x3+（3m+1）x2﹣5x+7为x3﹣8x2﹣5x+7，∴2x3﹣8x2﹣3x﹣1+x3﹣8x2﹣5x+7＝3x3﹣16x2﹣8x+6，故答案为：3x3﹣16x2﹣8x+6．7．（2023秋•广州期末）已知A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9．若3A﹣B的值等于﹣2，则代数式x2-32x+3的值是【分析】把A与B代入3A﹣B＝﹣2中，去括号合并求出2x2﹣3x的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵A＝x2+xy﹣2x﹣3，B＝﹣x2+3xy﹣9，∴3A﹣B＝3（x2+xy﹣2x﹣3）﹣（﹣x2+3xy﹣9）＝3x2+3xy﹣6x﹣9+x2﹣3xy+9＝4x2﹣6x＝﹣2，即2x2﹣3x＝﹣1，则原式=12（2x2﹣3x）+3=-12+故答案为：212【考点3与一元一次方程的解有关的压轴题】1．（2023秋•郑州期末）若关于x的方程2x+1=12023x+a的解为x＝﹣3，则关于y的方程2（y﹣2）A．y＝﹣1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．不能确定【分析】令y﹣2＝x，根据2x+1=12023x+a的解为x【解答】解：令y﹣2＝x，则2(y-2)+1=12023(y-2)+a∵关于x的方程2x+1=12023x+a的解为x∴y﹣2＝﹣3，解得y＝﹣1，故选：A．2．（2023秋•陇县期末）已知关于x的方程x-2-ax6=A．﹣6 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣19【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．【解答】解：x-2-ax去分母，得6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣6，去括号，得6x﹣2+ax＝2x﹣6，移项、合并同类项，得（4+a）x＝﹣4，将系数化为1，得x=-4∵x=-4∴4+a取﹣1，﹣2，﹣4，∴a＝﹣5或﹣6，﹣8时，x的解都是非负整数，则﹣5+（﹣6）+（﹣8）＝﹣19，故选：D．3．（2023秋•广州期末）已知x＝3是关于x的方程(x3+1)+m(x-1)2=1的解，n满足关系式|m+n|＝2，则mn【分析】把x＝3代入方程即可求出m的值，再将m的值代入|m+n|＝2中即可求出n的值，从而求出mn的值．【解答】解：∵x＝3是关于x的方程(x∴(3∴2+m＝1，解得m＝﹣1，∵|m+n|＝2，∴|﹣1+n|＝2，解得n＝﹣1或3，∴mn＝1或﹣3，故答案为：1或﹣3．4．（2023秋•乌鲁木齐期末）已知a，b为定值，关于x的方程kx+a3=1-2x+bk6，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝【分析】把x＝1代入方程kx+a3=1-2x+bk6，得：k+a3=1-2+bk6，整理可得（2+b）k+2a﹣4＝0，再根据题意可得2+b＝0，2a﹣【解答】解：把x＝1代入方程kx+a3=1k+a3=12（k+a）＝6﹣（2+bk），2k+2a＝6﹣2﹣bk，2k+bk+2a﹣4＝0，（2+b）k+2a﹣4＝0，∵无论k为何值，它的解总是1，∴2+b＝0，2a﹣4＝0，解得：b＝﹣2，a＝2．则a+b＝0．故答案为：0．5．（2023秋•赤坎区校级期末）若关于x的方程3x2+ax+23=b有无数解，则2a+3b的值为【分析】先解方程得到（9+2a）x＝6b﹣4，再根据方程有无数解得到9+2a＝0，6b﹣4＝0，据此求出2a＝﹣9，3b＝2，然后代值计算即可．【解答】解：3x2去分母得：9x+2（ax+2）＝6b，去括号得：9x+2ax+4＝6b，移项得：9x+2ax＝6b﹣4，合并同类项得：（9+2a）x＝6b﹣4，∵关于x的方程3x2∴关于x的方程（9+2a）x＝6b﹣4有无数解，∴9+2a＝0，6b﹣4＝0，∴2a＝﹣9，3b＝2，∴2a+3b＝﹣9+2﹣＝﹣7，故答案为：﹣7．6．（2023秋•龙泉驿区期末）已知关于y的方程2+5y＝（b+5）y无解，关于x的方程5+ax＝2a有唯一解，则关于z的方程az＝b的解为．【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果．【解答】解：关于x的方程5+ax＝2a可以简化为：x=2a-5∵关于x的方程5+ax＝2a有唯一解，∴a≠0，∵2+5y＝（b+5）y，∴2+5y＝by+5y，∴by＝2，∴y=2∵关于y的方程2+5y＝（b+5）y无解，∴b＝0，关于z的方程az＝b可以简化为：z=b∵a≠0，b＝0，∴z＝0．故答案为：z＝0．7．（2023秋•潮南区期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“集团方程”．（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，求m的值；（2）若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；（3）若关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和12022x+1=0是“集团方程”，求关于【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值．（2）根据条件建立关于n的方程，再求值．（3）先求k，再解方程．【解答】解：（1）∵3x+m＝0，∴x=-m∵4x﹣1＝x+8，∴x＝3．∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣1＝x+8是“集团方程”，∴-m∴m＝6；（2）∵“集团方程”的两个解和为1，∴另一个方程的解是1﹣n，∵两个解的差是6，且n为较大的解，∴n﹣（1﹣n）＝6，∴n=7（3）∵12022∴x＝﹣2022．∵关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k和∴关于x的一元一次方程12022x+3=2x+k的解为：x＝1﹣（﹣2022）＝∵关于y的一元一次方程12022(y+1)+3=2y+2+k可化为：12022(y+1)+3=2(y+1)+k，令y+1＝∴y＝2022．【考点4一元一次方程的实际应用压轴题】1．（2023秋•宿城区期末）为迎接新年到来，光明中学开展制作“中国结”活动．七（1）班有m人，打算制作n个“中国结”．若每人做4个，则可比计划多做2个；若每人做2个，则将比计划少做58个，现有下列四个方程：①4m﹣2＝2m+58；②4m+2＝2m﹣58；③n+24=n-582A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【分析】根据题意可得：n＝4m﹣2，n＝2m+58，由n不变可得出4m﹣2＝2m+58，由m不变可得出n+24【解答】解：根据题意得：n＝4m﹣2，n＝2m+58，∴4m﹣2＝2m+58，n+24∴方程①③正确．故选：A．2．（2023秋•黄石港区期末）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：第一档天然气用量第二档天然气用量第三档天然气用量年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2元．年用天然气量超出360立方米，不足600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.5元．年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3元．若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气981立方米．【分析】根据“实际缴纳天然气费2463元”列方程求解．【解答】解：当用天然气360立方米时，费用为：360×2＝720元，当用天然气600立方米时，费用为：360×2+2.5×（600﹣360）＝1320元，∵2463＞1320，∴缴纳天然气费2463元，使用量大于600立方米，设该户2023年使用天然气x立方米，则：1320+3×（x﹣600）＝2463，解得：x＝981，故答案为：981．3．（2024•东莞市校级模拟）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．消费金额（元）小于或等于500元500～10001000～15001500以上返还金额（元）060100150注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1﹣80%）+60＝260（元）．（1）购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？（2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示）（3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为2000元．【分析】（1）购买一件标价为1600元的商品，根据题中给出的数据可得消费金额为1280元，优惠额为：1600﹣1280+100＝420（元）除以标价就是优惠率；（2）分两种情况：当1000＜0.8x≤1500时；当0.8x＞1500时；讨论可求该顾客获得的优惠额；（3）设这名顾客第一次购买商品的标价为x元，两件商品的优惠额共为650元，然后就分情况：当1250＜x≤1875时；当x＞1875时；根据题意列出方程求解．注意解方程时要结合实际情况分析．【解答】解：（1）标价为1600元的商品按80%的价格出售，消费金额为1280元，消费金额1280元在1000﹣1500之间，返还金额为100元，则顾客获得的优惠额是：1600﹣1280+100＝420（元）；（2）当1000＜0.8x≤1500时，（0.2x+100）元；当0.8x＞1500时，（0.2x+150）元；（3）1500÷80%＝1875（元），当1250＜x≤1875时，0.2x+100+500×0.2＝650，解得x＝2250不合题意；当x＞1875时，0.2x+150+500×0.2＝650，解得x＝2000符合．故这名顾客第一次购买商品的标价为2000元．故答案为：2000．4．（2023秋•鹤山市期末）晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．（利润＝销售额﹣成本）（1）求两次分别购进礼品盲盒多少盒？（2）文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少元利润？（3）在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价20元售出一些第一批盲盒后，决定搞一场促销活动，尽快把第一批剩余的盲盒和第二批盲盒售完，老板现将标价提高到40元/盒，再推出活动：购买两盒，第一盒七五折，第二盒半价，不单盒销售．售完所有盲盒后该老板共获利润710元，按（2）中标价售出的礼品盲盒有多少盒？【分析】（1）设第一次购进礼品盲盒x盒，则第二次购进礼品盲盒（70﹣x）盒，利用总价＝单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出第一次购进礼品盲盒的数量，再将其代入（70﹣x）中，即可求出第二次购进礼品盲盒的数量；（2）利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可求出结论；（3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒，利用总利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设第一次购进礼品盲盒x盒，则第二次购进礼品盲盒（70﹣x）盒，根据题意得：15x+12（70﹣x）＝960，解得：x＝40，∴70﹣x＝70﹣40＝30．答：第一次购进礼品盲盒40盒，第二次购进礼品盲盒30盒；（2）根据题意得：20×40+20×0.8×30﹣960＝800+480﹣960＝320（元）．答：按此计划该老板总共可以获得320元利润；（3）设按（2）中标价售出的礼品盲盒有m盒，根据题意得：20m+（40×0.75+40×0.5）•70-m2-960＝解得：m＝16．答：按（2）中标价售出的礼品盲盒有16盒．5．（2023秋•新会区期末）安宁市的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，若经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；若经精加工后销售每吨获利7500元．当地一家农产品企业收购这种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件限制，企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了四种可行方案：方案一：全部直接销售；方案二：全部进行粗加工；方案三：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；方案四：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成．请通过计算以上四个方案的利润，帮助企业选择一个最佳方案使所获利润最多？【分析】根据总利润＝单吨利润×销售质量即可求出方案一、二、三的利润，在方案四种，设精加工x吨食蔬菜，则粗加工（140﹣x）吨蔬菜，根据每天可精加工6吨或粗加工16吨结合加工总天数为15天即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而得出140﹣x的值，再根据总利润＝精加工部分的利润+粗加工部分的利润求出方案四的利润，将四种方案获得的利润比较后即可得出结论．【解答】解：方案一可获利润：140×1000＝140000（元）；方案二可获利润：4500×140＝630000（元）；方案三可获利润：15×6×7500+（140﹣15×6）×1000＝725000（元）；方案四：设精加工x吨食蔬菜，则粗加工（140﹣x）吨蔬菜，根据题意得：x6+解得：x＝60，∴140﹣x＝80．此情况下利润为：60×7500+80×4500＝810000（元），∵140000＜630000＜725000＜810000，∴企业选择方案四所获利润最多．6．（2023秋•枣阳市期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同．（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）该网购平台从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？（3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价8元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了213，则B【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同列出方程，解出可得结论；（2）设购买A种商品a件，根据所用资金5800元可得购进A、B两种商品的件数，在根据两种商品的售价和进价可得总利润；（3）设B商品按标价售出m件，根据等量关系A商品的利润+B商品的利润＝（2）中的利润×（1-2【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣40）元，由题意得2x＝3（x﹣40），解得：x＝120，120﹣40＝80（元）．答：A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元；（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（60﹣a）件，由题意得120a+80（60﹣a）＝5800，解得a＝25，60﹣a＝35．120×20%×25+20×35＝1300（元）．答：全部售完共可获利1300元；（3）设B商品按标价售出m件，由题意得：120×20%×25+20m+（20﹣8）（35﹣m）＝1300×（1-2解得m＝10．答：B商品按标价售出10件．7．（2023秋•汉川市期末）新时代超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如表：商品进价（元/件）售价（元/件）利润率甲种4060n乙种50m50%（1）以上表格中m，n的值分别为75，50%；（2）若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（3）春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动：顾客一次性购商品数量优惠措施甲种不超过15件不优惠超过15件全部按售价8.5折乙种不超过15不优惠超过15件但不超过25件全部按售价8.8折超过25件全部按售价8折小华的爸爸一次性购买包含甲、乙两种商品共40件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元；求出小华的爸爸购买方案．【分析】（1）利用甲种商品的利润率=售价-进价进价×100%，即可求出n的值，利用乙种商品的利润率=售价（2）设购进乙种商品x件，则购进甲种商品（2x﹣10）件，利用总利润＝每件甲种商品的销售利润×购进甲种商品的数量+每件乙种商品的销售利润×购进乙种商品的数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出购进乙种商品的数量，再将其代入（2x﹣10）中，即可求出购进甲种商品的数量；（3）设购买甲种商品y件，则购买乙种商品（40﹣y）件，分0＜y＜15，y＝15，15＜y＜25及y≥25四种情况考虑，利用总价＝单价×数量，结合总价为2280元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：n=60-4040×100%m-5050×100%＝解得：m＝75．故答案为：75，50%；（2）设购进乙种商品x件，则购进甲种商品（2x﹣10）件，根据题意得：（60﹣40）（2x﹣10）+（75﹣50）x＝3050，解得：x＝50，∴2x﹣10＝2×50﹣10＝90（件）．答：购进甲种商品90件，乙种商品50件；（3）设购买甲种商品y件，则购买乙种商品（40﹣y）件．当0＜y＜15时，60y+75×0.8（40﹣y）＝2400≠2280，不符合题意，舍去；当y＝15时，60×15+75×0.88×（40﹣15）＝2550≠2280，不符合题意，舍去；当15＜y＜25时，60×0.85y+75×0.88（40﹣y）＝2280，解得：y＝24，∴40﹣y＝40﹣24＝16（件）；当y≥25时，60×0.85y+75（40﹣y）＝2280，解得：y＝30，∴40﹣y＝40﹣30＝10（件），∴小华的爸爸共有2种购买方案，方案1：购买甲种商品24件，乙种商品16件；方案2：购买甲种商品30件，乙种商品10件．【考点5与线段有关的计算压轴题】1．（2023秋•江岸区期末）如图，AB＝20cm，点C是线段AB延长线上一点，点M为线段AC的中点，在线段BC上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得4MN﹣NB＝40cm且BN＝kCN，则k的值为（）A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定【分析】设CN＝xcm，则BC＝（k+1）xcm，BN＝kxcm，根据线段中点的定义得到CM=12AC=20+(k+1)x2cm，则MN＝CM﹣CN＝（20+(k+1)x2-x）cm，再由4MN﹣NB＝40cm得到（k﹣【解答】解：∵BN＝kCN，∴BC＝（k+1）CN，设CN＝xcm，则BC＝（k+1）xcm，BN＝kxcm，∴AC＝AB+BC＝[20+（k+1）x]cm，∵点M为线段AC的中点，∴CM=12AC=∴MN＝CM﹣CN＝（20+(k+1)x2-x）∵4MN﹣NB＝40cm，∴4×（20+(k+1)x2-x）﹣kx＝∴40+2（k+1）x﹣4x﹣kx＝40，∴（2k﹣2﹣k）x＝0，∴（k﹣2）x＝0，∵x≠0，∴k﹣2＝0，∴k＝2，故选A．2．（2023秋•源汇区校级期末）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段AB的三等分点，D、E分别为线段AB、BC中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则AC＝132或13【分析】分两种情况讨论：当点C是线段AB靠近A的三等分点时和当点C是线段AB靠近B的三等分点时，分别求出即可．【解答】解：当点C是线段AB靠近A的三等分点时，设AC＝x，则AB＝3x，BC＝2x，∵D、E分别为AB、BC中点，∴AD＝DB＝1.5x，BE＝CE＝x，∴CD＝AD﹣AC＝0.5x，DE＝DB﹣BE＝1.5x﹣x＝0.5x，∵直线l上所有线段的长度之和为91，∴AD+AB+AE+AC+CD+CE+CB+DE+DB+EB＝（AD+DB）+（AC+BC）+（AE+EB）+（CD+DE+CE）+AB＝4AB+2CE＝4×3x+2x＝14x＝91，∴x=13∴AC=13当点C是线段AB靠近B的三等分点时，设BE＝x，∵D、E分别为AB、BC中点，∴BE＝CE＝x，BC＝2x，AC＝4x，AB＝6x，AD＝BD＝3x，CD＝DB﹣BC＝x，∵直线l上所有线段的长度之和为91，∴AD+AB+AE+AC+CD+CE+CB+DE+DB+EB＝（AD+DB）+（AC+BC）+（AE+EB）+（CD+DE+CE）+AB＝4AB+2DE＝4×6x+4x＝28x＝91，∴x=13∴AC＝13．所以AC=132或故答案为：132或133．（2023秋•阜平县期末）如果一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，则把这一点叫做这条折线的“折中点”．如图，点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”．（1）若OM＝10，ON＝6，点P在线段上（填“OM”或“ON”）；（2）若ON＝8，OP＝3，则OM的长度为．【分析】（1）先根据已知条件，求出OM+ON的值，然后根据已知条件中的定义进行解答即可；（2）根据已知条件中的新定义可知OM+OP＝ON﹣OP，然后把已知条件中的线段代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵OM＝10，ON＝6，∴OM+ON＝16，∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，∴12∴点P在线段OM上，故答案为：OM；（2）当点P在OM上时，∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，ON＝8，OP＝3，∴OM+OP＝ON﹣OP，OM+3＝8﹣3，OM+3＝5，OM＝2；当点P在ON上时，∵点P是折线M﹣O﹣N的“折中点”，ON＝8，OP＝3，∴OM﹣OP＝OP+ON，OM﹣3＝8+3，OM﹣3＝11，OM＝14；故答案为：2或14．4．（2023秋•青山湖区校级期末）在同一直线上有A，B，C，D不重合的四个点，AB＝8，BC＝3，CD＝5，则AD的长为．【分析】由于没有图形，故A，B，C，D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．【解答】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：∵AB＝8，BC＝3，CD＝5，∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3﹣5＝6，II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：∴AD＝AB+BC﹣CD＝8+3+5＝16，III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：∴AD＝AB﹣BC﹣CD＝8﹣3﹣5＝0，点A、D重合，不合题意，IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：∴AD＝AB﹣BC+CD＝8﹣3+5＝10，点A、D重合，不合题意，综上所述：AD的长为6或10或16故答案为：6或10或16．5．（2023秋•随县期末）如图，线段AB的长为a，点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且AD=13BD．图中共有条线段；若P为直线AB上一点，且PA+PB=1110a，则PD【分析】先根据线段的定义写出所有的线段，然后统计条数即可解答，分点P在AB的延长线上和点P在BA的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答．【解答】解：图中的线段有：AD，AC，AB，DC，DB，CB共6条线段，故答案为：6；∵点C为线段AB的中点，D为线段AB上一点，且AD=1∴BC=12∵PA+PB=11∴点P在AB的延长线上和点P在BA的延长线，如图：当点P在AB的延长线上时，则AP＝AB+BP＝a+BP，∵PA+PB=11∴a+BP+PB=11解得：PB=1∴PB=1∴PD=AB+BP-AD=a+1∴PDAB如图：当点P在BA的延长线上时，则BP＝AB+AP＝a+AP，∵PA+PB=11∴AP+a+AP=11解得：PA=1∴PA=1∴PD=PA+AD=1∴PDAB故答案为：45或36．（2023秋•安庆期末）如图，AB为一根长为40cm的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将AM、BN沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点A′、B′处（绳子无并性，折叠处的长度忽略不计）．（1）当点A′与点B′恰好重合时，MN＝cm．（2）当A′B′＝10cm时，MN＝cm．【分析】（1）由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N，根据当点A′与点B′恰好重合时，MN=1（2）分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时．【解答】解：（1）由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N，∴当点A′与点B′恰好重合时，MN=A'M+B'N=1故答案为：20；（2）当点A′落在点B′的左侧时，如图，∵AM+A′M+A′B′+B′N+BN＝40cm，A′B′＝10cm，∴AA′+BB′＝30cm，由折叠的性质得，AM＝A′M，BN＝B′N，∴A′M+B′N＝15cm，∴MN＝MA′+A′B′+B′N＝25cm．当点A′落在点B′的右侧时，如图，∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝40+10＝50（cm），∴AM+BN=1∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝40﹣25＝15（cm）．故答案为：25或15．7．（2023秋•黄冈期末）如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处（点B'始终在点A右侧），在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2：3：5，BN的值可能为．【分析】首先根据线段的比例设出线段的长，再分三种情况分别列出方程可得答案．【解答】解：设绳子三段的长分别为2xcm、3xcm和5xcm，两个断点分别为F、E，则2x+3x+5x＝100，解得x＝10．①如图，若AF＝3x，FE＝5x，EB＝2x，由题意得N为EF的中点，∴NE=12EF＝2.5∴BN＝2.5x+2x＝4.5x＝45（cm）；②如图，若AF＝5x，FE＝3x，EB＝2x，由题意得N为EF的中点，∴NE=12EF＝1.5∴BN＝1.5x+2x＝3.5x＝35（cm）；③如图，若AF＝5x，FE＝2x，EB＝3x，由题意得N为EF的中点，∴NE=12EF＝∴BN＝x+3x＝4x＝40（cm）．故答案为：35cm或40cm或45cm．【考点6数轴、线段中的动点压轴题】1．（2023秋•青山区期末）已知，点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为10，AB＝12，点C是数轴上原点左侧一点．（1）若BC＝2OA．①则点B表示的数是﹣2，点C表示的数是﹣22；②点P，Q同时分别从点A、C出发向右运动，若点Q的速度比点P的速度的2倍少3个单位长度，运动3秒时，点O是线段PQ的中点，求点P的速度．（2）点P、Q、R同时分别从点A、B、C出发向右运动，点P的速度为1个单位长度/秒，点Q的速度为3个单位长度/秒，点R的速度为3个单位长度/秒．若从线段QR的右端点到达原点O起，直至线段QR的左端点与点P重叠止，共用时523秒，请直接写出【分析】（1）①根据题意求出点B点C即可；②由点P点Q互为相反数，列出方程即可解答；（2）分两种情况列出相应的方程，解答即可；【解答】解：（1）①∵A表示的数为10，AB＝12，∴OB＝2，∴点B表示的数是﹣2，∵BC＝2OA＝20，∴C表示的数是﹣22．故答案为：﹣2，﹣22；②设点P运动速度为t，则点Q运动速度为2t﹣3，由题得，﹣22+3（2t﹣3）+10+3t＝0，解得，t=7故点P的速度为73（2）设点C表示的数为x，当点C在点B左侧时，由题得，x+2+3×173=解得，x=-8当点C在点B右侧时，由题得，﹣2﹣x+3×173=解得，x＝﹣1．故点C表示的数为-83或﹣2．（2023秋•武昌区期末）数轴上点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），点C是线段AB的中点．知识准备：因为点A表示的数是a（a＜0），点B表示的数是b（b＞0），则OA＝﹣a，OB＝b，所以AB＝OB+OA＝b+（﹣a）＝b﹣a．因为点C是线段AB的中点，则BC=1那么点C表示的数：①当点C在原点右侧时，如图1，则OC=OB-BC=b-12(b-a)=a+b2②当点C在原点左侧时，如图2，则OC=BC-OB=12(b-a)-b=-a+b2综上，点C表示的数为a+b2知识应用：若a＝﹣8，b＝10，如图3．（1）点C表示的数为1；（2）线段DE在射线AB上运动，点D在点E的左边，点M是线段AD的中点，点N是线段BE的中点，DE＝4，求线段MN的长度；（3）点P，Q为数轴上两动点，动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，动点P变为以5个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点Q保持原有的速度和方向不变．设运动时间为t秒，在动点P从点A出发后的整个运动过程中，当PQ＝6时，t＝2.4或4.8或6.9或12.9．【分析】（1）根据中点公式求解；（2）根据中点公式求解；（3）根据两点之间的距离求解．【解答】解：（1）-8+102=故答案为：1；（2）设点D表示的数为a，则点E表示的数为：a+4，∴点M表示的数为-8+a2，点N表示的数为10+a+4∴MN=14+a2答：线段MN的长度为11；（3）当P，Q两点相遇后，PQ＝9时，（﹣8+2t）﹣（10﹣3t）＝9，解得：t＝5.4，当t＜5.4时，PQ＝6，即（﹣8+2t）﹣（10﹣3t）||＝6，解得：t＝2.4或t＝4.8，设经过5.4秒后的时间为x，则|（﹣6.2﹣3x）﹣（2.8﹣5x）|＝6，解得：x＝1.5或x＝7.5，∴x+5.4的值为：6.9或12.9，故答案为：2.4或4.8或6.9或12.9．3．（2023秋•硚口区期末）A，B在数轴上，分别表示数m，n，且|m+17|+（n﹣15）2＝0．（1）直接写出m的值是﹣17，n的值是15，线段AB的长度是32；（2）如图1，PQ是一条定长的线段（点P在点Q的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段PQ完全经过点A（即点A在线段PQ上的这段过程）所需的时间为4秒，线段PQ完全经过线段AB（即线段PQ与线段AB有公共点的这段过程）所需的时间为20秒．①求线段PQ的长；②直接写出线段PQ运动的速度为2个单位长度/秒；③如图2，当动线段PQ运动到Q点与A点重合时，与此同时，点C从P点出发，在动线段PQ上，以1个单位长度/秒的速度向Q点运动，遇到Q点后，点C立即原速返回，向P点运动，遇到P点后也立即原速返回，向Q点运动．设动线段PQ，以及点C同时运动的时间为t秒（0≤t≤20），当4PC﹣QB＝4时，求t的值．【分析】（1）根据题意，可知m+17＝0，n﹣15＝0，即可算出m与n的值，线段AB用两点间的距离公式即可解出；（2）①设PQ的长度为x，根据题目，我们知道x+32＝2x，解这个方程得x＝32，所以PQ的长度是32；②根据题目直接计算即可；③当t＝0时，点P对应的数是﹣17﹣8＝﹣25，本小题分三种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵|m+17|+（n﹣15）2＝0，∴m＝﹣17，n＝15，∴AB＝15﹣（﹣17）＝32，故答案为：﹣17，15，32．（2）①设PQ的长度为m，根据题意得：m4解得：m＝8，∴线段PQ的长是8个单位长度；②2；③当t＝0时，点P对应的数是﹣17﹣8＝﹣25，本小题分三种情况讨论：（Ⅰ）当0≤t≤8时，点C对应的数是﹣25+（2+1）t＝3t﹣25，点P对应的数是﹣25+2t，点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15，∴PC＝t，BQ＝32﹣2t，∵4t﹣（32﹣2t）＝4，解得：t＝6；（Ⅱ）当8＜t≤16时，点C对应的数是﹣1+（2﹣1）（t﹣8）＝t﹣9，点P对应的数是﹣25+2t，点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15，∴PC＝16﹣t，BQ＝32﹣2t，∵4PC﹣QB＝4，∴4（16﹣t）﹣（32﹣2t）＝4，解得：t＝14；（Ⅲ）当16＜t≤20时，点C对应的数是7+（2+1）（t﹣16）＝3t﹣41，点P对应的数是﹣25+2t，点Q对应的数是﹣17+2t，点B对应的数是15，∴PC＝t﹣16，BQ＝2t﹣32，∵4PC﹣QB＝4，∴4（t﹣16）﹣（2t﹣32）＝4，解得：t＝18；综上所述：t的值是6，14，18．4．（2023秋•鄂州期末）情境背景我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣15，A，B两点的距离AB是点A到原点O的距离OA的4倍，即AB＝4OA．特例初探（1）在情境背景下，数轴上点B表示的数是45，点C为数轴上的动点，当AC+BC＝72时，可知点C表示的数为﹣21或51．能力提升（2）动点P，Q分别从点B和A同时出发向左匀速运动，点P，Q的速度分别为每秒7个单位长度和每秒3个单位长度．①当点P与点Q之间的距离为4个单位长度时，求此时点P和点Q在数轴上所表示的数；②设运动时间为t，点M为数轴上P、Q两点之间的动点，且点M始终满足PM：MQ＝1：3，点M在运动到点O的过程中，32PQ﹣OM【分析】（1）根据两点间的距离公式求出点B表示的数，再分点C在点A的左侧或点C在点B的右侧两种情况，列方程即可求解；（2）①设运动时间为x秒，分若点P与点Q相遇前相距4个单位长度和若点P与点Q相遇后相距4个单位长度两种情况，根据题意列方程即可得到结果；②设点M表示的数为y，根据PM：MQ＝1：3，得y＝30﹣6t，从而表示出PQ和OM，即可证明结论．【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣15，∴OA＝15，∵AB＝4OA，∴AB＝60，∵点B在点A的右侧，点A表示的数为﹣15，AB＝60，∴点B表示的数为﹣15+60＝45，设点C表示的数为x，∵AB＝60＜72，∴点C在点A的左侧或在点B的右侧，当点C在点A的左侧，得AC＝﹣15﹣x，BC＝45﹣x，∵AC+BC＝72，∴（﹣15﹣x）+（45﹣x）＝72，解得x＝﹣21，∴点C表示的数为﹣21；当点C在点B的右侧时，得AC＝x+15，BC＝x﹣45，∵AC+BC＝72，∴（x+15）+（x﹣45）＝72，解得x＝51；综上所述，当AC+BC＝72时，可知点C表示的数为﹣21或51；故答案为45，﹣21或51；（2）①设运动时间为x秒，若点P与点Q相遇前相距4个单位长度，依题意得，45﹣7x﹣（﹣15﹣3x）＝4，解得x＝14，则点P表示的数为﹣53，点Q表示的数为﹣57；若点P与点Q相遇后相距4个单位长度，依题意得，﹣15﹣3x﹣（45﹣7x）＝4，解得x＝16，则点P表示的数为﹣67，点Q表示的数为﹣63；综上所述，若点P与点Q相遇前相距4个单位长度，点P表示的数为﹣53，点Q表示的数为﹣57；若点P与点Q相遇后相距4个单位长度，点P表示的数为﹣67，点Q表示的数为﹣63；②32设点M表示的数为y，依题意得，y﹣（﹣15﹣3t）＝3（45﹣7t﹣y），解得y＝30﹣6t，∵PQ＝（45﹣7t）﹣（﹣15﹣3t）＝60﹣4t，∴32PQ-OM=∴32PQ-OM的值不发生变化，值为5．（2024•济南模拟）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣2+3t；点Q表示的数为8﹣2t；（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ=12（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．【分析】（1）根据题意直接可得t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t；（2）根据题意得﹣2+3t＝8﹣2t，即可解得t＝2，故当t为2秒时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为4；（3）由PQ=12AB得|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|=12×10，即可解得t＝1（4）由点M为PA的中点，点N为PB的中点，可知M表示的数是3t2-2，N表示的数是3+3t2，即得MN＝3+3t2-（3t2【解答】解：（1）根据题意，t秒后，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，故答案为：﹣2+3t，8﹣2t；（2）根据题意得：﹣2+3t＝8﹣2t，解得t＝2，此时﹣2+3×2＝4，∴当t为2时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为4；（3）∵点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，∴AB＝8﹣（﹣2）＝10，∵PQ=12∴|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|=12解得t＝1或t＝3，∴t为1或3时，PQ=12（4）线段MN的长度不发生变化，理由如下：∵点M为PA的中点，点N为PB的中点，∴M表示的数是3t2-2，N表示的数是-2+3t+82∴MN＝3+3t2-（3t2∴线段MN的长度为5，不发生变化．6．（2023秋•荆门期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点C对齐刻度6.0cm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB．（1）在图1的数轴上，AC＝10个长度单位；在图2中刻度尺上，AC＝6cm；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的0.6cm；刻度尺上的1cm对应数轴上的53（2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数；（3）点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值．【分析】（1）AC等于A、C两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得AC，用AC在刻度尺上的数值除以数轴上AC的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的多少厘米，1厘米除以数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的1cm对应数轴上的多少长度单位；（2）A到B在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得b的值，由于CQ＝2AB，可以列式求得点Q所表示的数；（3）根据AM﹣k•MN列出式子，AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，所以t的系数为0，可求得k的值．【解答】解：（1）AC＝|8﹣（﹣2）|＝10，刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.0cm，∴在图2中刻度尺上，AC＝6cm，6÷10＝0.6cm，数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的0.6cm，1÷0.6=5刻度尺上的1cm对应数轴上的53故答案为：10，6，0.6，53（2）∵点B对齐刻度1.2cm，∴数轴上点B所对应的数为b，b＝﹣2+1.2÷0.6＝0，∵CQ＝2AB，AB＝|﹣2﹣0|＝2，设点Q在数轴上对应的点为x，则CQ＝|8﹣x|，∴|8﹣x|＝4，解得：x＝4或x＝12，点Q所表示的数为4或12，∴b的值是0，点Q所表示的数为4或12；（3）由题意得，点M追上点N前，即t＜4，AM＝AB+BM＝2+5t，k•MN＝k（BC+CN﹣BM）＝k（8+3t﹣5t）＝k（8﹣2t），AM﹣k•MN＝2+5t﹣k（8﹣2t）＝2﹣8k+（5+2k）t，∵AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，∴5+2k＝0，解得：k=-5点M追上点N后，即t＞4，AM＝AB+BM＝2+5t，k•MN＝k（BM﹣CN﹣BC）＝k（5t﹣3t﹣8）＝k（2t﹣8），AM﹣k•MN＝2+5t﹣k（2t﹣8）＝2+8k+（5﹣2k）t，∵AM﹣k•MN的值不会随t的变化而改变，∴5﹣2k＝0，解得：k=57．（2023秋•恩平市期末）已知多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发．（1）求a（b﹣c）的值；（2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距5？（3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点EF，试问AP-OCEF【分析】（1）根据题意可得a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2即可求解；（2）设经过t秒P．Q两点相距5，则BP＝t，AQ＝3t，然后分两种情况讨论：当点在点Q的左侧时和当点P在点Q的右侧时，即可求解；（3）设OP＝m，则AP＝3+m，再根据中点的定义，可得OE=m2，OF=12，从而得到EF=【解答】解：（1）∵多项式3m3n2﹣8mn3﹣2中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为e，∴a＝3，b＝﹣8．c＝﹣2，∴a（b﹣c）＝3×（﹣8+2）＝3×（﹣6）＝﹣18；（2）设经过t秒P、Q两点相距5，根据题意得：BP＝t，AQ＝3t，当点在点Q的左侧，BP+PQ+AQ＝AB，即t+5+3t＝3﹣（﹣8），解得：t＝1.5，当点在点Q的右侧时，BP+AQ﹣PQ＝AB，即t+3t﹣5＝3﹣（﹣8），解得：t＝4．综上所述，经过1.5秒或4秒P、Q两点相距5；（3）设OP＝m，∴AP＝3+m，∵点E为OP的中点，∴OE=m∵A对应的数为3，C对应的数为﹣2，AC的中点为F，∴AF＝CF=12AC∴点F对应的数为：﹣2+52=12∴OF=1∴EF＝OE+OF=m2+1∴AP-OCEF=∴AP-OCEF的值是不变，为2【考点7与角度有关的计算压轴题】1．（2023秋•武昌区期末）钟表是日常生活中的计时工具，我们观察钟表可以发现钟表中有许多数学内容．例如，我们可以思考在3时到5时之间，钟表上的时针与分针的夹角问题．从3时开始到5时之间，当经过t分钟后，钟表上的时针与分针刚好成110°的角，则t的值为．【分析】时针t分钟转0.5°t，分针t分钟转6°t，3时时针与分针夹角为90°，分三种情况：①从3时开始，不到4时，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝110°，②4时后，若分针还没追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°﹣110°，③4时后，若分针已经追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°+110°，分别解方程可得答案．【解答】解：时针t分钟转0.5°t，分针t分钟转6°t，3时时针与分针夹角为90°，①从3时开始，不到4时，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝110°，解得t=400②4时后，若分针还没追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°﹣110°，解得t=680③4时后，若分针已经追上时针，则6°t﹣90°﹣0.5°t＝360°+110°，解得t=1120综上所述，t的值为40011或68011或故答案为：40011或68011或2．（2023秋•汉川市期末）钟表是我们日常生活中常见的计时工具，善于观察的小亮偶然发现在9时到10时之间的某一时刻时，时针与分针恰好重合了，则该时刻为9时分．（要求取准确值）【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，时钟的时针每小时转过的角是一份，即30°；分针每分钟转过的角是分，即×30°＝6°；九点钟，时针和分针呈270°，时针1分钟走0.5°，分针一分钟走6°设九点x分，重合，则有0.5x+270＝6x，即可解答．【解答】解：九点钟，时针和分针呈270°，时针1分钟走0.5°，分针一分钟走6°，设九点x分重合，则有：0.5x+270＝6x．x＝49111故答案为：491113．（2023秋•东西湖区期末）射线OC为锐角∠AOB的三等分线，射线OD平分∠AOC，此时图中所有锐角度数之和为190°，则∠AOB的度数为°．【分析】根据射线OC是∠AOB的三等分线，则需要分∠AOC=13∠AOB以及∠AOC=23∠AOB，两种情况进行解决，每种情况都是6个锐角，然后设∠AOD的度数为【解答】解：①当∠AOC=13∠AOB时，如图①，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共设∠AOD＝x，∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝6x，∠BOC＝4x，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝5x，∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC+∠DOB+∠COB＝x+2x+6x+x+5x+4x＝19x＝190°，∴x＝10°，∴∠AOB＝6x＝60°．②当∠AOC=23∠AOB时，如图②，图中锐角有：∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共设∠AOD＝x，∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2x，∠DOC＝x，∠AOB＝3x，∠BOC＝x，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝2x，∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC+∠DOB+∠COB＝x+2x+3x+x+2x+x＝10x＝190°，∴x＝19°，∴∠AOB＝3x＝57°．综合以上两种情况，∠AOB＝60°或57°．故本题答案为60或57．4．（2023秋•鄂州期末）射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，则∠COD的度数为．【分析】分情况讨论：若∠AOD在∠AOB外部，则可分∠BOC在∠AOB外部和∠BOC在∠AOB内部两种情况；若∠BOC在∠AOB外部，同理可分∠BOC在∠AOB内部两种情况．分别画出对应图形，根据角的和差关系计算即可．【解答】解：（1）当∠AOD在∠AOB外部时，①如图，当∠BOC在∠AOB外部时，∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，∴∠COD＝∠BOC+∠AOB+∠AOD＝120°；②如图，当∠BOC在∠AOB内部时，∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°，∴∠COD＝∠AOD+∠AOC＝100°．（2）当∠AOD在∠AOB内部时，①如图，当∠BOC在∠AOB外部时，∵∠AOB＝60°，∠AOD＝50°，∠BOC＝10°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝10°，∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝20°；②当∠BOC在∠AOB内部时，此时，射线OC与OD重合，不合题意．综上，∠COD＝120°或100°或20°．故答案为：120°或100°或20°．5．（2024春•望花区期末）如图，已知△AOB＝35°，OD⊥OB，以O为顶点作射线OC，使∠AOC＝2∠AOB，则∠COD的度数为．（结果在0°∼180°之间）【分析】根据题意，分两种情况：（1）OC在直线OA的下方；（2）OC在OD、OB之间．根据垂直定义，周角定义，角的和差计算即可．【解答】解：（1）如图，当OC在直线OA的下方时，∵∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，∴∠AOC＝2×35°＝70°．∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°．∵∠COD+∠BOD+∠AOB+∠AOC＝360°，∴∠COD＝360°﹣35°﹣70°﹣90°＝325°﹣70°﹣90°＝255°﹣90°＝165°；（2）如图，当OC在OD、OB之间时，∵∠AOB＝35°，∠AOC＝2∠AOB，∴∠BOC＝∠AOB＝35°．∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣35°＝55°．故答案为：165°或55°．6．（2023秋•随县期末）新定义：如果两个角的和为120°，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB与∠AOD互余．（1）如图，当点B在∠AOC的内部，且点B，点D在OA的同侧时：①若∠BOC＝60°，则α＝°．②若∠AOE=13∠AOD，射线OM在∠AOC内部，且满足∠COM＝3∠AOM，求∠EOM（2）直接写出∠COD所有可能的度数：（可用含α的式子表示）．【分析】（1）①由“兄弟角”的定义可得∠AOC＝120°﹣α，再根据角的和差可得∠AOB＝60°﹣α，然后得到方程60°﹣α＝α即可解答；②先说明∠AOD＝90°﹣α，∠AOE=30°-1（2）由余角的定义可得∠AOD＝90°﹣α，再由（1）可得∠AOC＝120°﹣α，然后根据角的和差即可解答．【解答】解：（1）①∵∠AOB与∠AOC互为“兄弟角”，∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∴∠AOB+∠AOC＝120°，即∠AOC＝120°﹣α，∵∠AOC＝∠BOC+∠AOB，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝120°﹣α﹣60°＝60°﹣α，∵∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∴60°﹣α＝α，解得：α＝30°．故答案为：30．②∵∠AOB与∠AOD互余，∴∠AOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣α，∵∠AOE=1∴∠AOE=30°-1如图：∴∠AOM＝∠AOE+∠EOM，∠AOC＝120°﹣α，∠AOE=30°-1∴∠AOM=30°-13α+∠EOM∵∠COM＝3∠AOM，∴90°-2解得：∠EOM=1（2）∵∠AOB与∠AOD互余，∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∴∠AOD＝90°﹣α，由（1）可得∠AOC＝120°﹣α，∴当OD在OA上面时，∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝30°，当OD在OA下面时，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝90°﹣α+120°﹣α＝210°﹣2α．故答案为：30°或210°﹣2α．7．（2023秋•江海区期末）新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝40°；（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝135°；②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．【分析】（1）根据题意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，进而得出答案；（2）①由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，根据∠AOC＝120°，得出∠AOP＝90°，∠BOQ＝45°，再求解即可；②不变，根据题意得出∠COP=34∠AOC③设∠MOC＝α，则∠NOC＝90°﹣α，根据题意得出∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，列出方程13α+α+90°-α+3(90°-α)=180°，求得∠MOC＝67.5°，∠MOA＝【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，∴∠AOP＝20°，∴∠BOP＝40°，故答案为：40；（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，故答案为：135；②不变，∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，∴∠COP=34∠AOC∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，=34∠AOC+34∠BOC，=3③设∠MOC＝α，∵∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣α，∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，∴13∴α＝67.5°，∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，∴∠AOC＝90°．【考点8角的旋转压轴题】1．（2023秋•洪山区期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角的12（1）如图1，求∠COD的值；（2）在（1）的条件下，OC平分∠AOD，射线OM满足∠MOC＝4∠MOB，求∠MOB的大小；（3）如图2，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与OB重合后，再以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转．设射线OD，OC运动的时间为t秒（0＜t≤9），当|∠BOC﹣∠BOD|＝50°时，请直接写出t的值3.5或359【分析】（1）根据“∠COD：∠AOB＝1：7，∠COD是∠AOB补角的12（2）根据“∠MOC＝4∠MOB及角的平分线的性质”列方程求解；（3）根据“|∠BOC﹣∠BOD|＝50°”列方程求解．【解答】解：（1）设∠COD＝x°，则∠AOB＝7x°，则x=12（180﹣7解得：x＝20，∴∠COD＝20°；（2）设∠MOB＝y°，当OM在∠BOC内部时，有y+4y＝140﹣20，解得：y＝24，当OM在∠BOC外部时，有y+120＝4y或y﹣120＝4y，解得：y＝40或y＝﹣40（不合题意，舍去），∴∠MOB＝24°或40°；（3）当OC转到与OB重合时需要的时间为：（140﹣30）÷30=11当0≤t≤113时，∠BOC＝140°﹣30°﹣30°t＝110°﹣30°t，∠BOD＝140°﹣30°﹣20°﹣10°t＝9