期末复习重要考点12《几何计算问题》四大考点题型（解析版）

【题型1与线段有关的计算问题】1．（2023秋•孝南区期末）如图，点C为线段AB的中点，延长线段AB到D，使得BD=13AB．若AD＝8，求【分析】由BD=13AB，AD＝8可求出AB的长，再由中点的定义可得【解答】解：∵BD=13∴AD=43∵AD＝8，∴AB＝6，∵点C为线段AB中点，∴CB=12AB＝∴CB＝3．∴CD＝CB+DB＝3+2＝5．【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．2．（2023秋•玉环市期末）如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，AB＝12，CD＝4BD．（1）若BC＝15，求AD的长；（2）若AB＝2BD，E为AC的中点，求BE的长．【分析】（1）根据BC＝5BD，可求得BD＝3，据此即可求得答案；（2）先求得BD＝6，进而可求得AC＝42，根据线段中点的定义，可求得AE＝21．【解答】解：（1）∵DC＝4BD，∴BC＝5BD．∵BC＝15，∴BD＝3．∵AB＝12，∴AD＝AB+BD＝15．（2）∵AB＝2BD＝12，∴BD＝6．∵DC＝4BD＝24，∴AC＝AB+BD+CD＝42．∵E是AC的中点，∴AE=1∴BE＝AE﹣AB＝9．【点评】本题主要考查线段和线段的中点，正确记忆相关知识点是解题关键．3．（2023秋•环江县期末）如图，C是线段AB的中点，点D在线段CB上，且BD＝2CD．（1）若AB＝12，求CD的长；（2）若AD+BC＝21，求CD的长．【分析】（1）由线段的中点定义求出BC长，而BD＝2CD，即可求出CD的长；（2）由AD+BC＝21及线段中点定义，推出AD+BC＝7CD，即可求出CD的长．【解答】解：（1）∵C是线段AB的中点，AB＝12，∴BC=12AB＝∵BD＝2CD，∴CD=1（2）∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC，∵BD＝2CD，∴BC＝3CD，∴AD+BC＝AC+CD+BC＝3CD+CD+3CD＝7CD，∵AD+BC＝21，∴CD＝3．【点评】本题考查两点的距离，关键是掌握线段中点的定义，并表示出有关的线段．4．（2023秋•光山县期末）如图，已知线段AD＝30cm，点C、B都是线段AD上的点，点E是AB的中点．（1）若BD＝6cm，求线段AE的长；（2）在（1）的条件下，若AC=13AD，且点F是线段CD的中点，求线段【分析】（1）由AB＝AD﹣BD可求AB的长，结合中点的定义可求AE的长；（2）由AC=13AD可得AC＝10cm，则CD＝20cm，结合中点的定义可求【解答】解：（1）∵AD＝30cm，BD＝6cm，∴AB＝AD﹣BD＝30﹣6＝24（cm），∵点E是AB的中点，∴AE=12AB＝12（（2）∵AC=13∴AC＝10cm，CD＝20cm，∵点F是线段CD的中点，∴DF=12CD＝10∵AD＝30cm，AE＝12cm，∴EF＝30﹣12﹣10＝8（cm）．【点评】本题主要考查两点间的距离，结合中点的定义求解线段的长是解题的关键．5．（2023秋•铁西区校级期末）如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）AC＝3cm，求线段CM、NM的长；（2）若线段AC＝m，线段BC＝n，求MN的长度（m＜n用含m，n的代数式表示）．【分析】（1）求出AM长，代入CM＝AM﹣AC求出即可；分别求出AN、AM长，代入MN＝AM﹣AN求出即可；【解答】解：（1）∵AB＝8cm，M是AB的中点，∴AM=12AB＝4∵AC＝3cm，∴CM＝AM﹣AC＝4﹣3＝1（cm）；∵AB＝8cm，AC＝3cm，M是AB的中点，N是AC的中点，∴AM=12AB＝4cm，AN=12AC∴MN＝AM﹣AN＝4﹣1.5＝2.5（cm）；（2）∵AC＝m，BC＝n，∴AB＝AC+BC＝m+n，∵M是AB的中点，N是AC的中点，∴AM=12AB=12（m+n），AN=∴MN＝AM﹣AN=12（m+n）-12【点评】本题考查了两点之间的距离，线段中点的定义的应用，解此题的关键是求出AM、AN的长．6．（2023秋•黄陂区期末）如图，点C为线段AB上一点（AC＞BC），D在线段BC上，BD＝2CD，点E为AB的中点．（1）若AD＝10，设CD的长为x．①直接写出AE的长为（用含x的式子表示）；②当EC＝3CD时，求x的值；（2）若AC＝2BC，请直接写出ECBD的值为【分析】（1）①根据题意可得AB＝10+2x，再根据线段中点的定义可得AE的长；②根据线段中点的定义可得EC＝5﹣2x，再列方程可得答案；（2）设CD＝x，用含x的代数式表示出EC和BD的长度，再计算即可．【解答】解：（1）①∵CD＝x，BD＝2CD，∴BD＝2x，∵AD＝10，∴AB＝10+2x，∵点E为AB的中点，∴AE=12AB＝5+故答案为：5+x；②由①得，BE＝AE＝5+x，∴EC＝EB﹣CB＝5+x﹣3x＝5﹣2x，∴5﹣2x＝3x，解得x＝1；（2）设CD＝x，则BD＝2CD＝2x，∴BC＝CD+BD＝3x，AC＝2BC＝6x，∴AB＝3x+6x＝9x，∵E为AB的中点，∴EB=12AB＝4.5∴EC＝EB﹣BD＝1.5x，∴ECBD故答案为：34【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是熟练应用中点定义．7．（2023秋•隆昌市校级期末）如图，已知点C，D是线段AB上两点，AC：CD：DB＝3：4：5，E是线段CD的中点，点F是线段DB的三等分点(DF=1（1）若AB＝60cm，求AE的长；（2）若EF＝11cm，求AB的长．【分析】（1）根据线段的比，可设AC＝3a，则CD＝4a，DB＝5a，由AB＝3a+4a+5a＝12a＝60求出a的值即可；（2）根据线段的比，可设AC＝3b，则CD＝4b，DB＝5b，再根据线段中点的定义得出CE＝DE＝2b，由EF＝11cm列方程求出b的值，再根据AB＝12b进行计算即可．【解答】解：（1）由于AC：CD：DB＝3：4：5，可设AC＝3a，则CD＝4a，DB＝5a，∴AB＝3a+4a+5a＝12a＝60，∴a＝5，∴AC＝15cm，CD＝20cm，DB＝25cm，∵E是线段CD的中点，∴CE＝DE=12CD＝10∴AE＝AC+CE＝25cm；（2）由于AC：CD：DB＝3：4：5，可设AC＝3b，则CD＝4b，DB＝5b，∵E是线段CD的中点，∴CE＝DE=12CD＝2∵DF=13DB∵EF＝11cm，即2b+5b3解得b＝3，∴AB＝3b+4b+5b＝12b＝36（cm）．【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是正确解答的关键．8．（1）若AC＝4，BC＝10，求CE的长；（2）若AB＝5CE，且点E在点C的右侧，试探究线段AD与BE之间的数量关系．【分析】（1）根据线段中点的性质求出CD和DE，根据题意计算即可；（2）设CE＝x，CD＝y，则可以求出AD＝y，BE＝x+y，根据AB＝5CE，得2x+3y＝5x，所以x＝y，即可得到AD与BE的数量关系．【解答】解：（1）∵点D为线段AC中点，∴CD=12AC＝∴BD＝CD+BC＝2+10＝12，∵点E为线段BD中点，∴DE=12BD＝∴CE＝DE﹣CD＝6﹣2＝4，∴CE的长为4；（2）如图2，设CE＝x，CD＝y，∴DE＝CE+CD＝x+y，∵点D为线段AC中点，∴CD＝AD＝y，∵点E为线段BD中点，∴DE＝BE＝x+y，∴AB＝AD+CD+CE+BE＝2x+3y，∵AB＝5CE，∴2x+3y＝5x，∴x＝y，∴BE＝2y，∴AD=12【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，线段中点的定义，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．9．（2023秋•镇海区期末）如图，已知线段AB＝12，点C为线段AB上一动点，点D在线段CB上且满足CD：DB＝1：2．（1）当点C为AB中点时，求CD的长；（2）若E为AD中点，当DE＝2CE时，求AC的长．【分析】（1）根据线段中点的性质计算即可；（2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算．【解答】解：（1）∵点C为AB中点，AB＝12，∴BC=12AB＝∵CD：DB＝1：2，∴CD=13BC＝（2）如图，∵E为AD中点，∴AE＝DE=12∵DE＝2CE，∴CD＝CE，∵CD：DB＝1：2，∴BD＝2CD＝2CE＝DE，∴AE＝DE＝BD=13AB＝∴CE=12∴AC＝AE+CE＝4+2＝6．如图，∵E为AD中点，∴AE＝DE=12∵DE＝2CE，∴CD＝3CE，∵CD：DB＝1：2，∴BD＝2CD＝6CE＝3DE，∴AE＝DE=13∴AB=53BD＝∴BD＝7.2，∴AE＝DE＝2.4，CE=12∴AC＝AE﹣CE＝1.2．综上所述，AC的长为6或1.2．【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形．10．（2023秋•和平区期末）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）．（1）若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，求AM：BM的值．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，直接写出2MN3AB【分析】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案；（2）根据图形即可直接解答；（3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．【解答】解：（1）当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm，∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm，∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7（cm）；（2）设运动时间为t，则CM＝tcm，BD＝3tcm，∵AC＝（AM﹣t）cm，MD＝（BM﹣3t）cm，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=13∴AMBM（3）当点N在线段AB上时，如图3.1，∵AN﹣BN＝MN，AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM=14∴MN=12即2MN3AB当点N在线段AB的延长线上时，如图3.2，∵AN﹣BN＝MN，AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，∴2MN3AB综上所述：2MN3AB=1【点评】本题主要考查了两点间的距离等知识点，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．【题型2与角度有关的计算问题】1．（2023秋•和田地区期末）如图，∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．（1）求∠BOC的度数；（2）若∠DOE＝30°，求∠BOE的度数．【分析】（1）根据角平分线定义得出∠BOC=12∠（2）根据角平分线定义求出∠BOC和∠COE，再代入∠BOE＝∠BOC+∠COE求出即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，∴∠BOC=12∠AOC=12（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC＝80°，∠DOE＝30°，∴∠BOC=12∠AOC＝40°，∠COE＝2∠DOE＝∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝40°+60°＝100°．【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，解题的关键是求出∠BOC、∠COE的度数和得出∠BOE＝∠BOC+∠COE．2．（2023秋•东城区期末）如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°．（1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度数．（2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度数．【分析】（1）先求出∠AOD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠AOB，于是得到结论；（2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠AOD＝30°，∴∠AOD＝∠COD+∠AOD＝20°+30°＝50°，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOB＝2∠AOD＝100°；（2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=12∠AOB∴32x﹣x＝20解得x＝40°，∴∠AOB＝3x＝120°．【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．3．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：1，若∠MON＝91°．（1）∠AOB∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）求∠AOC的度数．【分析】（1）根据角的倍分关系进行解答即可；（2）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系列方程可求出答案．【解答】解：（1）∠AOB＝∠NOC，理由如下：∵∠BON：∠NOC＝3：1，∴∠NOC：∠BOC＝1：4，又∵∠AOB：∠BOC＝1：4，∴∠AOB＝∠NOC，故答案为：＝；（2）由（1）可得∠AOB＝∠NOC，设∠NOC＝α，则∠AOB＝α，∠BON＝3α，∵OM平分∠AOB，∴∠BOM=12∠AOB=∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝91°，即12α+3α＝91解得α＝26°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+4α＝5×26°＝130°，答：∠AOC＝130°．【点评】本题考查角平分线，理解角平分线的定义，掌握图形中各个角之间的关系是正确解答的前提．4．（2023秋•公安县期末）如图，已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝20°，求∠DOE的度数；（2）若∠AOC比∠BOD小30°，求∠AOE的度数．【分析】（1）先利用平角定义可得∠BOC＝160°，再利用角平分线的定义可得∠COE＝80°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答；（2）设∠BOD＝x°，则∠AOC＝（x﹣30）°，然后利用平角定义可得∠AOC+∠BOD＝90°，从而可得x﹣30+x＝90，进而可得∠AOC＝30°，再利用平角定义可得∠BOC＝150°，从而利用角平分线的定义可得∠BOE＝75°，最后利用平角定义进行计算，即可解答．【解答】解：（1）∵∠AOC＝20°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝160°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC＝∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝10°，∴∠DOE的度数为10°；（2）设∠BOD＝x°，∵∠AOC比∠BOD小30°，∴∠AOC＝（x﹣30）°，∵∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，∴x﹣30+x＝90，解得：x＝60，∴∠AOC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC＝∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝105°，∴∠AOE的度数为105°【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．5．（2023秋•浚县期末）已知：∠AOD＝160°，∠BOC＝20°．（1）如图1，求∠AOC+∠BOD的值．（2）如图2，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的值．【分析】（1）利用角的和差关系进行计算即可解答；（2）利用角平分线的定义可得∠MOC=12∠AOC，∠BON=1【解答】解：（1）∵∠AOD＝160°，∠BOC＝20°，∴∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠DOC+∠BOC＝∠AOD+∠BOC＝160°+20°＝180°，∴∠AOC+∠BOD的值为180°；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠MOC=12∠AOC，∠BON=1∵∠AOC+∠BOD＝180°，∴∠MON＝∠MOC+∠CON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC=12∠AOC+12=12（∠AOC+∠BOD=12×180＝90°﹣20°＝70°，∴∠MON的值为70°．【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．6．（2023秋•彭水县期末）已知∠AOB内部有三条射线OD，OC，OE且在同一个平面内，∠AOC＝2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．（1）如图1，当OE平分∠BOC时，求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠AOD＝5∠COE时，求∠BOE的度数．【分析】（1）根据题意，求得∠BOC、∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求得∠COE的度数，从而得到∠DOC的度数，即可求解；（2）分两种情况，OE在OC的上方或OE在OC的下方，分别求解即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∴∠AOC=23∠AOB=72°∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝18°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝54°；（2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°，设∠BOE＝x°，当OE在OC的上方时，∠COE＝（x﹣36）°，∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝x°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（x﹣36）°，解得x＝42，即∠BOE＝42°；当OE在OC的下方时，则∠COE＝（36﹣x）°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝x°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（36﹣x）°，解得x＝27，即∠BOE＝27°；综上，∠BOE的度数为42°或27°．【点评】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解问题．7．（2024春•莱州市期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．（1）若∠M＝10°21′，请直接写出∠M的4倍角的度数；（2）如图1所示，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠COD的2倍角；（3）如图2所示，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）根据题意得出∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB即可；（3）设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，得到∠BOD＝6α，∠BOC＝2α；根据∠BOD＝90°，求得α＝15°，于是结论可得．【解答】解：（1）∵∠M＝10°21′，∴4∠M＝4×10°21′＝41°24′；（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，∴∠AOC＝2∠COD，∠BOD＝2∠COD；∴图中∠COD的所有2倍角有：∠AOC，∠BOD；（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝7α，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝2α，∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝6α，∵∠BOD＝90°，∴6α＝90°，∴α＝15°，∴∠BOC＝2α＝30°．【点评】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，准确理解并熟练应用题干中的定义是解题的关键．8．（2024春•高青县期末）【实践活动】如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．（1）∠ACE与∠BCD的大小关系是∠ACE∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”）（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是．【拓展探究】（3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）依题意得∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，进而得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，然后根据同角的余角相等可得出答案；（2）由∠ACD＝90°，∠ECB＝90°得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，则∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，然而∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；据此可得∠ACB与∠DCE之间的数量关系；（3）先由∠ACD+∠BCE＝180°得∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，进而得∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，据此可得∠ACB与∠DCE之间的数量关系．【解答】解：（1）依题意得：∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD．故答案为：＝．（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，∵∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝90°+90°，∴∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，又∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；（3）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，又∵∠ACD+∠BCE＝180°，∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°，即：∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°．【点评】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．9．（2023秋•广州期末）一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．（1）求图1中∠BOD的度数．（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即∠AOE＝α），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据平角的定义即可得到结论；（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°；（2）①当OB平分∠AOD时，∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，∴∠AOB=12∠AOD＝60°-12∴α＝30°；当OB平分∠AOC时，∵∠AOC＝180°﹣α，∴∠AOB＝90°-12α＝∴α＝90°；当OB平分∠DOC时，∵∠DOC＝60°，∴∠BOC＝30°，∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；②当OA在OD的左侧时，则∠AOD＝120°﹣α，∠BOC＝135°﹣α，∵∠BOC＝2∠AOD，∴135°﹣α＝2（120°﹣α），∴α＝105°；当OA在OD的右侧时，则∠AOD＝α﹣120°，∠BOC＝135°﹣α，∵∠BOC＝2∠AOD，∴135°﹣α＝2（α﹣120），∴α＝125°，综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD．【点评】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．【题型3与相交线有关的计算问题】1．（2023秋•天河区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度数．【分析】设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由邻补角的性质，求出x的值，再根据角平分线，计算出∠COE的度数，计算即可．【解答】解：设∠BOC＝x°，则∠DOF＝2x°，∠AOC＝4x°，由题意得：x+4x＝180，解得：x＝36，∴∠BOC＝36°，∠DOF＝72°，∠AOC＝144°，∵OE是∠BOC的平分线，∴∠BOE＝∠COE=12∠BOC=12【点评】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系．2．（2023秋•夏邑县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠DOE的度数；（2）求∠BOF的度数．【分析】（1）根据邻补角的和等于180°求出∠BOD的度数，然后根据角平分线的定义解答；（2）先求出∠COE的度数，再根据角平分线的定义求出∠EOF，然后根据角的和差关系即可得解．【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD=13×180°∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE=12∠BOD=12（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=12∠COE=12∴∠BOF＝∠EOF+∠BOE＝75°﹣30°＝45°．【点评】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质与概念是解题的关键．3．（1）写出∠AOE的余角和补角；（2）若∠BOF＝30°，求∠AOE和∠COG的度数．【分析】（1）如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，由此即可判断；（2）由对顶角的性质可得∠AOE的度数，由角平分线的定义可求∠COG．【解答】解：（1）∠AOE的余角是∠AOC，∠BOD；补角是∠AOF，∠EOB；（2）∠AOE＝∠BOF＝30°；∵∠DOF＝90°，∴∠COF＝90°，∵∠BOC＝∠BOF+∠COF，∴∠BOC＝90°+30°＝120°，∵OG平分∠BOC，∴∠COG=12∠BOC＝【点评】本题考查角的计算，余角，补角的概念，关键是掌握余角，补角的定义，角平分线的定义，对顶角的性质．4．（2023春•惠州期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE、OF在∠AOD内，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【分析】由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD的度数，根据OD平分∠BOE，可求出∠EOD，根据垂直的定义求出∠DOF＝90°，则∠EOF可求．【解答】解：∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD：∠AOD＝1：5．∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∵OD平分∠BOE，∴∠BOD＝∠EOD＝30°，∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∴∠EOF＝60°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟记概念并灵活运用是解题的关键，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．5．（2023秋•绿园区期末）如图：已知直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．（1）若∠AOC＝34°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度数．【分析】（1）根据垂直定义可得∠EOC＝90°，然后利用平角定义进行计算即可解答；（2）根据平角定义和已知易得∠BOD＝36°，从而利用对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD＝36°，然后再利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵EO⊥CD，∴∠EOC＝90°，∵∠AOC＝34°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝56°，∴∠BOE的度数为56°；（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：4，∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠BOD＝180°×11+4∴∠AOC＝∠BOD＝36°，∵∠COE＝90°，∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝126°，∴∠AOE的度数为126°，【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．6．（2023春•蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度数．【分析】（1）根据角平分线的意义，得到∠COM=12∠AOC，∠CON=1（2）先求出∠MON，再根据∠MON：∠AOC＝2：7，求出∠AOC，再根据角平分线的意义得出∠AOM，进而求出答案．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠AOC＝∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC=12∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°；（2）∵∠COM=12∠AOC，∠CON=1∴∠MON=12（∠AOC﹣∠BOC）=12∠∵∠MON：∠AOC＝2：7，∴∠AOC＝140°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC＝∴∠AON＝∠AOM+∠MON＝70°+40°＝110°【点评】考查角平分线的意义，理清图形中各个角之间的关系是正确解答的关键．7．（2023秋•渠县期末）若直线AB和直线ED相交于点O，OC为∠BOE内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度数？（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度数？（3）请猜想，∠EOF度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则∠EOF度数是多少？【分析】（1）由对顶角的性质，得到∠AOE＝58°，再由角平分线的定义即可求解；（2）由角平分线的定义，对顶角的性质得到，∠COE＝α，∠COF＝90°﹣α，从而求出∠EOF的度数；（3）由角平分线的定义推出∠EOF=12∠【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB=12∵∠AOE＝∠BOD＝58°，∴∠AOF＝∠AOF+∠EOF＝58°+90°＝148°，（2）∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOE，∵∠AOE＝∠BOD＝α，∴∠AOC＝2α，∴∠BOC＝180°﹣2α，∵OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠BOC＝90°﹣∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝α+90°﹣α＝90°；（3）∠EOF的度数不变，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE=12∠AOC，∠COF=1∴∠COE+∠COF=12（∠AOC+∠∴∠EOF=12∠AOB=12【点评】本题考查角的计算，关键是掌握角平分线的定义．8．（2023春•大足区期末）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．（1）求∠COE的度数；（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．【分析】（1）由角平分线定义，对顶角，邻补角的概念，可求．（2）分两种情况，由垂直的定义可求解，【解答】解：（1）∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=12∠∵∠BOD＝46°，∴∠AOD＝134°，∠AOC＝46°，∴∠AOE＝67°，∵∠COE＝∠AOC+∠AOE，∴∠COE＝46°+67°＝113°；（2）①当OF在AB上方时，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝23°．②当OF在AB下方时，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝157°．【点评】本题考查角平分线定义，对顶角，邻补角的概念，关键是熟练掌握有关的概念．9．如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝90°，过点O作射线OF．（1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF＝130°，求∠BOE的度数；（2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，∠COE＝90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由；（3）若∠BOE＝20°，∠BOF＝130°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF＝90°时，求t的值．【分析】（1）根据角平分线的定义以及余角和补角进行角的和、差运算即可；（2）根据∠COE＝∠COF+∠FOE＝90°，则∠AOC+∠EOB＝90°，再根据当射线OE平分∠BOF，得出结论；（3）现根据题意求出∠AOC＝110°，然后分0＜t≤22，22＜t≤30和30＜t＜36三种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵∠BOF＝130°，∴∠AOF＝50°∵射线OF平分∠AOC，∴∠AOF＝∠FOC＝50°，∴∠COB＝80°，∵∠COE＝∠COB+∠BOE＝90°，∴∠BOE＝90°﹣80°＝10°；（2）射线OC平分∠AOF，理由如下：∵∠COE＝∠COF+∠FOE＝90°，∴∠AOC+∠EOB＝90°，∴∠COF+∠FOE＝∠AOC+∠EOB，∵OE平分∠FOB，∴∠FOE＝∠EOB，∴∠AOC＝∠COF，即射线OC平分∠AOF；（3）∵∠BOE＝20°且∠BOF＝130°，∴∠EOF＝150°，又∵∠COE＝90°，∴∠BOC＝70°，∴∠AOC＝110°，①当0＜t≤22时，∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转，∴∠AOC＝110°﹣5t，∠EOF＝150°﹣5t，∵∠AOC+∠EOF＝90°，∴110﹣5t+150﹣5t＝90，解得t＝17，②当22＜t≤30时，∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转，∴∠AOC＝5t﹣110°，∠EOF＝150°﹣5t，∵∠AOC+∠EOF＝90°，∴5t﹣110+150﹣5t＝90，40＝90，此时无解，③当30＜t＜36时，∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转，∴∠AOC＝5t﹣110°，∠EOF＝5t﹣150°，∵∠AOC+∠EOF＝90°，∴5t﹣110+5t﹣150＝90，解得t＝35，综上所述，当∠AOC+∠EOF＝90°时，t＝17或t＝35．【点评】本题考查一元一次方程的应用以及角平分线的定义、余角补角的定义，解决本题的关键是掌根据题中的等量关系列出方程．【题型4与平行线有关的计算问题】1．（2024秋•渝北区期中）如图，∠1＝∠2＝45°，∠3＝2∠4，则∠4的度数为（）A．60° B．45° C．55° D．67.5°【分析】由∠1＝∠2＝45°得a∥b，根据平行线的性质得∠4＝∠5，通过邻补角互补即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【解答】解：如图，∵∠1＝∠2＝45°，∴a∥b，∴∠4＝∠5，∵∠3＝2∠4，∠3+∠5＝180°，∴2∠4+∠4＝180°，∴∠4＝60°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．2．（2024•淮北一模）已知a∥b，将一块等腰直角三角形的三角板按如图所示的方式摆放，若∠2＝30°，则∠1的度数为（）A．100° B．135° C．155° D．165°【分析】利用平行线的性质结合三角板的性质求得∠3和∠5的度数，再利用平角的定义即可求解．【解答】解：如图，作a∥c，∵a∥b，∴a∥c∥b，∵∠2＝30°，∴∠3＝∠2＝30°，∴∠5＝∠4＝45°﹣∠3＝15°，∴∠1＝180°﹣∠5＝165°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．3．（2024•汕头模拟）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（）A．58° B．68° C．32° D．22°【分析】如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，则AG∥MN∥BH∥CD，由OA⊥MN得到∠OAG＝90°，则∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，进而得到∠ABH＝∠BAG＝68°，再根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，由此即可得到∠DCE＝∠ABH＝68°．【解答】解：如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，∵CD∥MN，∴AG∥MN∥BH∥CD，∵OA⊥MN，∴AG⊥OA，即∠OAG＝90°，∵∠BAO＝158°，∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，∴∠ABH＝∠BAG＝68°，∵CE∥AB，BH∥CD，∴∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，∴∠ABH+∠CBH+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCE+∠DCE，∴∠DCE＝∠ABH＝68°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．4．（2023秋•长安区期末）如图，∠A＝∠1，∠2+∠3＝180°，∠BDE＝65°，则∠ACB的度数是．【分析】由同角的补角相等得出∠2＝∠EFD，从而AB∥DE，再通过平行得出∠1＝∠BED，从而得出∠BED＝∠A，所以得出ED∥AC，即可得出答案．【解答】解：∵∠2+∠3＝180°，∠EFD+∠3＝180°，∴∠2＝∠EFD，∴AB∥DE，∴∠1＝∠BED，∵∠A＝∠1，∴∠BED＝∠A，∴ED∥AC，∠BDE＝65°，∴∠BDE＝∠ACB＝65°．故答案为：65°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握并灵活运用平行线的判定和性质．5．（2024•浙江模拟）如图，已知a∥b，直线c分别与a，b相交于D，A两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠3＝106°，∠2＝∠1+2°，则∠2的度数为．【分析】由平行线的性质得180°﹣∠3＝∠1+30°+∠2，再求出∠1＝21°，即可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∴180°﹣∠3＝∠1+30°+∠2，∵∠2＝∠1+2°，∴180°﹣106°＝∠1+30°+∠1+2°，解得：∠1＝21°，∴∠2＝∠1+2°＝21°+2°＝23°，故答案为：23°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，求出∠1的度数是解题的关键．6．（2024春•荆州月考）如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠BCD＝110°，∠CDE＝95°，则∠DEF的度数为．【分析】过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB，根据平行线的性质求解即可．【解答】解：如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB，∵EF⊥MN，∴∠MFE＝90°，∵AB∥MN，∴AB∥DG∥EH∥MN，∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEH，∠HEF＝∠MFE＝90°，∵∠CDE＝95°，∠BCD＝110°，∴∠CDG＝180°﹣110°＝70°，∴∠GDE＝∠DEH＝∠CDE﹣∠CDG＝25°，∴∠DEF＝∠DEH+∠HEF＝115°，故答案为：115°．【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线．7．（2024秋•南岗区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B+∠E＝180°．（1）求证：BC∥EF；（2）若∠BHE＝60°，射线HG平分∠BHE，求∠HGE的度数．【分析】（1）先由两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BHD＝180°，再证明∠E＝∠BHD，即可证明BC∥EF；（2）由角平分线的定义得到∠BHG=12∠BHE=30°，则由两直线平行，内错角相等即可得到∠HGE＝∠BHG【解答】（1）证明：由平行可知：∠B+∠BHD＝180°，∵∠B+∠E＝180°，∴∠E＝∠BHD，∴BC∥EF；（2）解：由角平分线定义可知：∠BHG=1∵BC∥EF，∴∠HGE＝∠BHG＝30°．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握原式知识点是关键．8．（2024春•潍坊期末）如图，D、E、F、G是△ABC边上的点，DE∥AC，∠ADE＝∠CGF．（1）试证：AD∥GF；（2）若AD平分∠BAC，∠AED＝100°，∠C＝56°，求∠CFG的度数．【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠ADE＝∠DAC，然后利用等量代换可得：∠DAC＝∠CGF，从而利用同位角相等，两直线平行可得FG∥AD，即可解答；（2）先利用平行线的性质可得∠EAC＝80°，然后利用角平分线的定义可得∠DAC＝40°，再利用平行线的性质可得∠DAC＝∠FGC＝40°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．【解答】解：（1）∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC，∵∠ADE＝∠CGF，∴∠DAC＝∠CGF，∴FG∥AD；（2）∵DE∥AC，∠AED＝100°，∴∠EAC＝180°﹣∠AED＝80°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠EAC＝∵AD∥FG，∴∠DAC＝∠FGC＝40°，∵∠C＝56°，∴∠CFG＝180°﹣∠C﹣∠FGC＝84°，∴∠CFG的度数为84°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．9．如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．（1）求证：DF∥AB．（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．【分析】（1）根据DE∥BC，得出∠AED＝∠B，又因为∠1＝∠AED，等量代换得∠B＝∠1，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；（2）根据DE∥BC，得出∠EDF＝∠1＝50°，再根据DF平分∠CDE，得出∠CDF＝∠EDF＝50°，最后在△CDF中利用三角形内角和等于180°即可求解．【解答】解：（1）证明：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B，又∵∠1＝∠AED，∴∠B＝∠1，∴DF∥AB；（2）∵DE∥BC，∴∠EDF＝∠1＝50°，∵DF平分∠CDE，∴∠CDF＝∠EDF＝50°，在△CDF中，∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°．答：∠C的度数为80°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．10．如图，已知CF∥AB，∠1+∠B＝180°．（1）尝试判断EF与BC平行吗？请说明理由；（2）若CF平分∠BCD，CF⊥AD于点F，∠BCD＝54°，求∠DFE的度数．【分析】（1）由CF∥AB可得∠B+∠FCB＝180°，再结合∠1+∠B＝180°可得∠1＝∠FCB，可得EF∥BC；（2）由CF⊥AD，可得∠CFD＝90°，再结合CF平分∠BCD，∠BCD＝54°，可求得∠DCF＝∠FCB＝27°，则可求∠DFE的度数．【解答】（1）证明：EF∥BC，理由如下：∵CF∥AB，∴∠B+∠FCB＝180°，∵∠1+∠B＝180°，∴∠1＝∠FCB，∴EF∥BC；（2）解：∵CF⊥AD，∴∠CFD＝90°，∵CF平分∠BCD，∠BCD＝54°，∴∠DCF＝∠FCB＝27°，由（1）可得∠1＝∠FCB＝27°∴∠DFE＝∠CFD﹣∠1＝63°．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与应用．1．（2023秋•肥西县期末）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝21cm，BC=13（1）试求出线段AC的长；（2）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长．【分析】（1）由B在线段AC上可知AC＝AB+BC，把AB＝21cm，BC=13（2）根据O是线段AC的中点及AC的长可求出CO的长，由OB＝CO﹣BC即可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝21cm，BC=13AB＝7∴AC＝AB+BC＝21+7＝28（cm）；（2）由（1）知：AC＝28cm，∵点O是线段AC的中点，∴CO=12AC=12×28∴OB＝CO﹣BC＝14﹣7＝7（cm）．【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．2．（2023秋•阳江期末）如图，已知点C为AB上一点，AC＝30cm，BC=25AC，D，E分别为AC，AB【分析】根据题意求出BC，进而求出AB，再根据线段中点的定义计算即可．【解答】解：∵BC=25AC，AC＝30∴BC=25×30＝∴AB＝AC+BC＝30+12＝42（cm），∵E为AB的中点，∴AE=12AB＝21∵D为AC的中点，∴AD=12AC＝15∴DE＝AE﹣AD＝21﹣15＝6（cm）．【点评】本题考查的是两点间的距离、线段中点的定义，熟记线段中点的定义是解题的关键．3．（2023秋•海珠区期末）如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．（1）求线段AM的长度；（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．【分析】（1）根据图示知AM=12AC，AC＝AB﹣（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．【解答】解：（1）线段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．又∵点M是AC的中点．∴AM=12AC=12×5=（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，∴CN=25BC=25又∵点M是AC的中点，AC＝5，∴MC=12AC∴MN＝MC+NC=172，即MN的长度是【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．4．（2023秋•惠东县期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB＝140°．（1）求∠COE的度数是多少？（2）如果∠COD＝30°，求∠BOE的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠COD=12∠AOD，∠DOE=12∠BOD，那么∠COE＝∠COD+∠DOE=1（2）先根据∠COD＝20°求出∠AOD的度数，再根据∠AOB＝130°求出∠BOD的度数，根据角平分线的定义即可得出结论．【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∴∠COD=12∠AOD，∠DOE=1∴∠COE＝∠COD+∠DOE=12∠AOD+=12（∠AOD+∠=12＝70°；（2）∵OC是∠AOD的平分线，∠COD＝30°，∴∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，∵∠AOB＝140°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝140°﹣60°＝80°，∵OE是∠BOD的平分线，∴∠BOE=12∠BOD=12【点评】本题考查的是角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．5．（2023秋•荣昌区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝90°，射线ON在∠BOM内部．（1）求∠AOD的度数；（2）若∠BOC＝5∠NOB，求∠MON的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC＝45°，然后根据邻补角的定义求解即可；（2）由∠BOC＝5∠NOB可求解∠NOB＝27°，结合∠BOM＝90°，利用角的和差可求解∠MON的度数．【解答】解（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，∴∠AOC=12∠AOM=12∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，即∠AOD的度数为135°；（2）∵∠BOC＝∠AOD＝135°，∠BOC＝5∠NOB，∴∠NOB＝27°，∵∠AOM＝90°，∴∠BOM＝90°，∴∠MON＝∠BOM﹣∠NOB＝90°﹣27°＝63°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．6．（2023春•蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度数．【分析】（1）根据角平分线的意义，得到∠COM=12∠AOC，∠CON=1（2）先求出∠MON，再根据∠MON：∠AOC＝2：7，求出∠AOC，再根据角平分线的意义得出∠AOM，进而求出答案．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=12∠AOC＝∵ON平分∠BOC，∴∠CON=12∠BOC=12∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45°；（2）∵∠COM=12∠AOC，∠CON=1∴∠MON=12（∠AOC﹣∠BOC）=12∠∵∠MON：∠AOC＝2：7，∴∠AOC＝140°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC＝∴∠AON＝∠AOM+∠MON＝70°+40°＝110°【点评】考查角平分线的