人教版七年级上册数学教案：第一章 有理数

第一章有理数

1.1正数和负数

教材分析

正数与负数是七年级数学第一章第一节的内容，属于数与代数领域的知识.本节课是学生学过的自然数与分数

的延续和拓展，又是后面研究有理数的基础，因此起到了承上启下的作用.作为初中阶段的第一节课，不仅要让学

生学会区分正、负数以及用正、位数表示相反意义的量,还要培养学生对数学学习的兴趣和自信心.

备课素材

E新课导入阪E

【置疑导入】

问题1：天气预报：北京市冬季某天的温度为一5〜5℃,它的确切含义是什么？这一天北京市的温差是多少？

问题2：有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队（4：1）,黄队胜蓝队（1：0）,蓝队胜红队（1：0）,如何确定

三个队的净胜球数与排名顺序？

问题3：某机器零件的长度设计为100mm,加工图纸标注的合格尺寸为100±0.5（mm）,这里的（）.5代表什么意

思？合格产品的长度范围是多少？

【说明与建议】说明：利用生活中的实际问题设置一系列的问题串，紧紧抓住了学生的好奇心，使学生带着

疑惑学习内容，保证学生学习注意力的集中，自然而然地紧跟老师的节奏展开新课.建议：引导学生发现生活中的

负数时，给其适当的时间来发表自己的观点，然后总结，使其在学习中有参与感、成就感.

【复习导入】

问题1：小学里己经学过哪些类型的数呢？

学生阿I答后，教师总结展示小学里学过的三类数：整数、分数和零（小数包括在分数之中），它们的出现对我们

的生活有什么影响吗？借助图片提示它们都是由于实际需要而产生的.

瓦瑞里没仃东西r两人分一•个西瓜，用数如何

一仃ro表示常个西欣一有r分数

问题2：你会表示下面图中的数吗？

【说明与建议】说明：通过展示实际生活情景引导学生认识到数字的发展源于生活的需要，进而认识负数的

出现亦源于生活的需要.建议：学生认识负数后，建议其思考为什么要引入负数，“一”号的出现有哪些优点呢？

进而系统地讲授具有相反意义的最.

◎命题热点：

命题角度1认识正数、负数、0

1.下列四个数中，既不是正数也不是负数的是(D)

A.-3B.3C.HD.0

2.有如下一些数:3,-3.14,0,+2.3,-2,其中负数有(A)

A.2个B.3个C.4个D.5个

命题角度2用正数、负数表示具有相反意义的量

3.(济宁中考)若盈余2万元记作+2万元，则一2万元表示(B)

A.盈余2万元B.亏损2万元C.亏损一2万元D.不盈余也不亏损

4.小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，+10.5表示收入10.5元，下列说法正确的是(C)

I1+10.5

I-1-6.3

A.-6.3表示收入6.3元

B.一6.3表示支出一6.3元

C.一6.3表示支出6.3元

D.收支总和为16.8元

5.(兰州中考)《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.大意是：今有两数若其意义相反,

则分别叫做正数与负数.若水位上升2m记作+2m,则下降1m记作二j_m.

6.(福建中考)2020年6月9口，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器

下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米.假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为。米，高于马

里亚纳每沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907

米处，该处的高度可记为-10907米.

包数坐文化拓展阅读

负数的产生

今天人们都知道用正负数来表示两种相反意义的量.例如1大气压下冰水混合物的温度表示0°C,则开水的温

度为+100℃,而零下10°C则记为一10°C.若以海平面为0点，则珠穆朗玛峰的高度约为+8848米，最深的马

里亚纳绿沟深约一11034米.在日常生活中，人们常用“+”表示收入，用“一”表示支出.可是在历史上，负数

的引入却经历了漫长而曲折的道路.

古人在生活熨践活动中遇到了一些问题：如两人互相借用东西，对借出方和借入方来说，同一东西具有不同的

意义；再如从同一地点，两人同时向相反方向行走，离开出发点的距离•即使相同，但其表示的意义却不同.久而久

之，古人意识到仅用数量表示一个事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符号.为了表示具有相反意义的量等

问题，逐渐产生了负数.

中国是世界上最早认识使用负数的国家.据《九章算术》记载，早在2000年前我国古人已经开始使用负数，

而且明确指出若“卖”是正，则“买”是负；“余钱”是正，则“不足钱”是负.

1700多年前，我国数学家刘徽首次明确地提出了正数和负数的概念.他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，就

是用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数.这个记载比国外早七八百年.

同时还规定了有理数的加、减法则，认为“正、负术日：同名相益，异名相除.”这“同名”“异名”即现在的

“同号，，“异号”，“除”和“益”则是“减”和“加”，这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现.

教学设计”

课题1.1正数和负数授课人

1.会判断一个数是正数还是负数.

素养目标2.能用正、负数表示生活中具有相反意义的量.

3.会用正、负数表示具有相反意义的量，并会用数学知识来表达一些生活中的事件.

教学重点能理解正负数的概念，会判断一个数是正数还是负数.

1.负数的意义.

教学难点

2.会用正负数表示具有相反意义的量.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

通过学生熟悉的实

我们一起回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？际生活情景引导学

学生回答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：整数、分数生回顾小学学过的

和零（小数包括在分数之中），它们都是由于实际需要而产生的.有关数的知识，体

回顾

会“数”的实际意

义，理解数的出现

瓦疏里.没有东西了两人分一个西瓜数如何

JH与现实生活息息相

—有了0表示半个西瓜一仃了分数

关.

活动一：创设结合已有的知识经

【课堂引入】

情境、导入新验和生活常识，通

你会表示下列各数吗？

课过问题的形式引导

5珠8学生发现“新数发

35协环/和

£零上5c电2进而引入课题.

目士卜女4

吐鲁布盆地3

图1图2

同学们能举一些类似的例子吗？

师生活动：学生交流讨论，积极发言，发现生活中的数学知识，教师

适当点评.

【探究新知】

1.正数、负数的相关概念：

接下来，采取联系对比的方法，始终不脱离小学所学知识，以比较轻

松的态度和口吻给出正、负数的定义和表示方法.

正数：像5,8848这样大于0的数是正数.

负数：像一5,一155这样在正数前面加上符号“一”（负）的数是负数.

5或+5读作“5”或“正5”，-5读作“负5”.

2.0的概念：

这些问题是这节课

我们在小学时知道：0表示没有，。不能作除数，0乘任何数都等于

的主要知识，教师

0.

要清楚的向学生说

活动二：实践从本节课的学习中我们知道，。不仅仅表示没有，0℃不是没有温度，

明，并且要注意语

探究、交流新而是规定冰水混合物的温度为（）℃.在实际意义中，（）往往表示基准，

言描述的准确与规

知比如海平面、警戒水位等，有着丰富的内涵.

范，要舍得花时间

总结：零既不是正数，也不是负数.

让学生充分阐述想

3.用正负数表示具有相反意义的量.

法.

生活中你见过带有“一”号的数吗？与同伴进行交流.

高于海平面8848米，记作+8848米：低于海平面155米，记作一

155米.

师生活动：让学生用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的

量.

总结：具有相反意义的量的特征：（1）必须是同类量；（2）意义相反.

师生活动：通过独立思考、小组讨论等方法，学生自主探究正数、负

数以及具有相反意义的量，师生共同归纳总结.

活动三：开放【典型例题】通过对实例的分

训练、体现应例1(教材第4页练习第1题变式)读卜列各数，并指出其中哪些是析，让学生知道如

用正数，哪些是负数.何用正负数表示具

143

—2,+3~>0»=，204,—0.02>+3.65,—5~有相反意义的量，

14进一步帮助学生理

解：正数：+33,二，204,+3.65：

00解为什么要引入正

3

负数:一2,-0.02,-5-负数.

例2(教材第3页例题)(1)一个月内，小明体重增加2kg,小华体

重减少1kg,小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；

(2)某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：

美国减少6.4%,德国增长1.3%,法国减少2.4%,英国减少3.5%,意

大利增长().2%,中国增长7.5%.

写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.

解：(D这个月小明体重增长2kg,小华体重增长一1kg,小强体重

增长0kg.

(2)六个国家这一年商品进出口总额的增长率是：

美国一6.4%,德国1.3%,

法国一2.4%,英国一3.5%,

意大利0.2乐中国7.5%.

【变式训练】

1.读出下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数？

-2,0.6,+6,0,-3.1415,200,-754200.

解：正数：0.6,+6,200；负数：一2,-3.1415,一754200.

2.说明下列语句的实际意义：

(1)水位上升了一20米：(2)收入一2000元.

解：(1)水位下降了20米.

(2)支出2000元.

师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己

得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨.

【课堂检测】通过设置课堂检

活动四：课堂

1.下列结论中正确的是(D)测，这一步巩固新

检测

A.0既是正数，又是负数B.0是最小的正数知，及时检测学习

C.0是最大的负数D.0既不是正数，也不是负数效果，做到“堂堂

2.在一7,0,-3,78,+9100,一0.27中，负数有（D）清”.

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.如果上升8m记作+8m,那么下降5m记作二⑤儿如果一22元表

示亏损22元，那么+45元表示盈利45元.

4.一种零件的直径尺寸在图纸上是30t；嚅（单位：mm）,表示这种零件

的标准尺寸是30mllb加工要求最大不超过30.03mm,最小不小于

29.98mm.

5.七（1）班某次数学测验的平均成绩是85分，老师以平均成绩为基准，

记为（），超过85分的记为正，那么92分，78分各记作什么？若老师

把某3名同学的成绩简记为：-5,0,+8,则这3名同学的实际成

绩分别为多少分？

解：+7,-7；80,85,93.

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

1.课堂小结：

（1）本节课学到了什么？

।।「正数:大H）的数|

具彳i相反_痹和,T负数:在正数前加号|

意义的m-

J______L。既不是正数.也不足负数1加强反思，帮助学

课堂小结生养成系统整理知

识的习惯

（2）你还有什么曷

2.布置作业：t姊悌5页习题1.1.

1.1正数和负数

设置情景，引入新课

分析问题，探究新知

1.用正数和负数表示具有相反意义的量提纲挈领，重点突

板书设计

2.例出.

课堂检测

课堂小结

布置作业

反思教学过程和教

师表现，进一步优

教学反思

化操作流程和提升

自身素质.

经典导学设计

详见电子资源

1.2有理数

1.2.1有理数

教材分析

有理数的概念是数学中最基本的概念之一，在现实生活中有理数有广泛的应用，是继续学习代数式、方程、不

等式、函数等数学内容以及相关学科知识的重要基础.当数的范围进一步扩充，由有理数扩充到实数后，许多数学

问题的研究都依然与有理数有着密切n勺联系.在教学中,应引导学生学会给有理数进行分类,体会分类思想在有理

数概念学习中的作用.

备课素材

e新课导入瓯E

【情景导入】

雅典奥运会上的成绩：

1.在男子110米栏决赛中，中国选手刘翔以12.91秒的成绩夺得金牌，这个成绩打破了12.96秒的奥运会纪

录，平了世界纪录，实现了中国男子田径金牌。的突破.

2.在女子柔道52公斤级的冠军争夺战中，中国选手冼东妹仅用1.1分钟，就为中国柔道队夺得首枚金牌..

3.女力士唐功红在女子+75公斤级举重比赛中，不负众望，以抓举122.5公斤，挺举182.5公斤，总成绩305

公斤夺得第18枚金牌，与获银牌的韩国选手相比，她的抓举重量一7.5公斤，挺举重量+10公斤.

上面出现的这些数你熟悉吗？你会对它们进行分类吗？

【说明与建议】说明：利用奥运会上的情景设置问题，紧紧抓住了学生的好奇心，使学生带着疑惑学习内容,

保证学生学习注意力的集中，自然而然地紧跟老师的节奏展开新课.建议：引导学生体会有理数的分类，给其适当

的时间来发表自己的观点，然后老师做总结.

【置疑导入】

问题一：想一想，我们已经学过的数有哪些？请你说出两个你认为不同的数.

问题二：请观察F列一组数：

131

1>3,5.7,6,—7,—9,—10,0,二，—3~»—7.4,—15.2.

60/

(1)以上各数，哪些是小学学过的数？它们可以分为哪几类？试说出名称.

(2)你能模仿小学学过的数的分类方法对上面的数进行分类吗？还能进一步分吗？

(3)想一想，小数与分数的关系如何？

【说明与建议】说明：通过简单的问题引入，既能促使学生I可忆所学知识，乂能诱发学生的兴趣，同时在解

答问题的过程中让学生体会、感悟有理数的分类.建议：此类问题难度不大，应让不同层次的学生都参与到活动中

来，并通过引导让学生把所学过的数都列举出来.

◎命题热点；

命题角度有理数的概念及分类

1.在下列数一J，-n,2,一3中，为负整数的是(D)

A.—§B.—nC.2D.-3

7

2.在数一12,n,-3.4,0,+3,属于非负整数的有(C)

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.下列说法中正确的是(A)

A.正分数和负分数统称为分数

B.正整数、负整数统称为整数

C.零既可以是正整数，也可以是负整数

D.一个有理数不是正数就是负数

177

4.在有理数一3,0,-1.2,5中，整数有0,一理5,负分数有一小一1.2.

5.把下列各数填在相应的集合里：3,-1,-2,0.5,白，-0.75,0,30%,n.

负数集合：{—1,—2,一；,—0.75,

整数集合：{3,-1,-2,0,•••)：

正有理数集合,{3,0.5,30%,•••}.

包数学文化拓展阅谑

有理数是“有道理”的数吗？

“有理数”这一名称不免叫人费解，而有理数并不比别的数更“有道理”.事实上，这似乎是一个翻译上的失

误.“有理数”一词是从西方传来，在英语中是rationalnumber,而rational通常的意义是“理性的”.中国在近

代翻译西方科学著作时，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”.但是，这个词来源于古希腊,

其英文词根为ratio,就是比率的意思(这里的词根是英语中的，希喑语意义与之相同).所以这个词的意义也很明

显，就是整数的“比”.与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理.

由于生产实践的需要，随着科学技术的发展，数的概念一直在不断地扩充.目前，对于人类已经掌握的数的概

念，其关系可综述为:

（初中阶段学习）

（高中阶段学习）

教学设计1

课题1.2.1有理数授课人

1.理解有理数的意义.

2.能把给出的有理数按要求分类.

素养目标

3.了解0在有理数分类中的作用.

4.会用分类讨论的思想对有理数进行分类.

教学重点掌握有理数的两种分类.

教学难点能将所给数进行正确的分类.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.下列各数中：

13

-2-,3.14,+3065,0,-239.

正数是____________;负数是_____________.

回顾旧知，为新课

回顾2.如果80m表示向东走8（）m,那么一60m表示____________.

做铺垫.

3.如果水位上升3nl时的水位变化记作+3m,那么水位下降4m时的水

位变化记作____________m,水位不升不降时的水位变化记作

m.

【课堂引入】

（多媒体展示）从问题出发，引出

活动一：创

问题一：想一想，我们己经学过的数有哪些？请你说出两个你认为不同的数的分类问题，进

设情境、导

数.而利用问题驱动

入新课

问题二：请观察下列一组数.课堂学习.

131

1,3,5.7,6,-7,-9,-1（）,0,-3-,-7.4,-15.2.

3□/

(1)以上各数，哪些是小学学过的数？它们可以分为哪几类？试说出名称.

(2)你能模仿小学学过的数的分类方法对上面的数进行分类吗？还能进一

步分吗？

(3)想一想小数与分数的关系.

【探究新知】

1.有理数的概念

我们以前学过的数，

像1,2,3,…称为正整数；

241

9不彳，…称为正分数.

J34

那么在以上这些数的前面添上“一”号后，

—1,—2,—3,…称为负整数;

241

一二，一彳，…称为负分数•

J34

分类的时候别丢了0哦！

特别提示：零既不是正数，也不是负数！

正整数、零和负整数统称整数.

通过学生的合作

正分数和负分数统称分数.

活动二：实交流，使学生尝试

整数和分数统称为有理数.

践探究、交进行有理数的分

(教材第7页练习第2题)练一练：指出下列各数中的正数、负数、整数、

流新知类，感受数学的分

分数：

类思想.

3

-15,+6,-2,-0.9,1,口0,0.63,-4.95

0

2.有理数的分类

你能根据有理数的定义对有理数分类吗？

(1)按定义分类

「/正整数

整数

有理数《〔负整数

［正分数

分数

11负分数

探索：学了有理数的分类后，聪明的你想过没有，有没有一些数不是有

理数呢？

总结：有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数.

无限不循环小数(如兀)不是分数，就不是有理数.

有理数分类的几点注意：

1R

⑴如盛200%,能约分成整数的数____________(填“能”或“不能”)

算做分数；

(2)无限不循环小数不是有理数，如n(无理数)；

(3)整数中除了正整数和负整数，还有____________.

有理数还有其他的分类方法吗？

(2)按符号分类

(［正整数

正有理数〈

1正分数

有理数《0

(负整数

负有理数,，八双

<负分数

注意：①分类的标准不同，结果也不同；

②分类的结果应无遗漏、无重复；

③零是整数，但零既不是正数，也不是负数.

师生活动：通过独立思考、小组讨论等方法，学生自主探究有理数的概念

及分类，师生共同归纳总结.

【典型例题】

1113

例1有理数：一7,3.5,-1-,0,n,苦中，正分数有(C)

乙乙11

A.1个B.2个C.3个D.4个

例2(教材第6页练习第1题变式)把下列各有理数填入相应的集合里.

3322

-5,10,-4.5,0,+29-2.15,0.01,+66,一三，15%,—,2018,

55/通过对数的分类

活动三：开

—16.的练习，感受数的

放训练、体

整数集合：{-5,1C,0,+66,2018,-16,…};分类方法，体验分

现应用

正数集合:{10,+W，0.01,+66,15%,Y，2018,­••);

类的思想和原则.

3

负数集合：{—5,—4.5,—2.15,-—16,•••};

0

正整数集合:{10,+66,2018,…};

负整数集合:{-5,—16,•，,};

322

正分数集合:{+2r,0.01,15%,—»—)；

□/

3

负分数集合：{-4.5,-2.15,•••}.

【变式训练】

1.如果用m表示一个有理数，那么一m是(D)

A,负数B.正数

C.零D.以上答案都有可能

2.在-3.4,-2,0.333…这四个数中，不属于分数的是(C)

A.TB.-3.4C.—2D.0.333,・,

4

师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到

正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨.

【课堂检测】

1,下列说法正确的是(D)

A.一个有理数不是正数就是负数

B.正有理数和负有理数组成有理数

C.有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和零这五类数

D.负整数和负分数统称为负有理数加深对所学知识

2.下面各数中，既是分数，又是正数的是(D)的理解运用，在问

活动四：课A.5B.-2.25C.0D.8.3题的选择上以基

堂检测3.如图，两个圈分另J表示负数集合和整数集合，请你把下列各数填入表示础为主，灵活运用

它所在的集合的圈里.所学知识解决问

9题，巩固新知.

-20%,-2022,0,18.3,-1,一彳，15,-0.52,-30.

y…巨，.」

负数集合整数集合

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.

巩固所学知识，加

1.课堂小结：

课堂小结深对有理数分类

(1)本节课学到了什么？

的认识.

刁灌数正整数

正有理数

整数，正分数

有理数＜aI整数有理数V零

正分数负整数

分类负有理数

k\负分数负分数

(2)你还有什么疑惑？

2.布置作业：教.材第14页习题1.2：第1题.

1.2.1有理数

1.创设情境、导入新裸

2.合作交流，解读探

提纲挈领，重点突

板书设计正整数正整数

E有理数出.

整数，零正分数

有理数V负整数有理数＜零

正分数负整数

分数‘负分数负有理数

X.1负分数

反思教学过程和

教师表现，进一步

教学反思

优化操作流程和

提升自身素质.

经典导学设计

详见电子资源

1.2.2数轴

教材分析

本节课主要是在学生学习了有理数概念的基础上，从实际事例H发，通过数学建模，初步向学生渗透数形结合

的数学思想，以使学生借助直观的图形来理解有理数的有关问题.

备课素材

⑥新课导入听F,

【情景导入】

问题1：观察温度计，体会其特点.

i.读出三个温度计上的温度，并表示出来.

你会读温度计吗?

你能用直我上的、

点表示有工数吗巳

2.我们能否用类似温度计的图形表示有理数呢？

问题2：画情境图，体会方向与距离.

在一条东西方向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站

牌西3川和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境，你会怎样画图呢？

【说明与建议】说明：结合实例引导学生以轻松愉悦的心情进入本节课的学习，让学生体会到数学来源于实

践，在生活中发现数学.通过问题1和问题2的解决，帮助学生感受到点与数之间的关系，从而对点表示数由感性

认识上升到理性认识，同时对新知识的学习有了期待.建议：问题1中，找学生读温度计，通过学生读出温度计的

温度初步了解数轴的特点；问题2中，学生根据题意画图并展示，对作图较好的学生给予表扬.

【悬念导入】

在一个大森林里，一群动物正在玩“寻宝”游戏.裁判长狮子介绍规则：寻宝必须根据寻宝图，而寻宝图分成

四份，藏在一条路(东西方向)旁的四棵树的附近，它们分别是从现场向东3()0m的柳树、向东75cm的杨树、向西

460mi勺槐树和向西800m的松树.同学们，你能帮助动物们画图表示这些位置从而快速地找到宝物吗？

【说明与建议】说明：从同学们感兴趣的游戏入手，激发学生的枳极性，同时调动学生探究问题的热情，借

助“寻宝图”引出数轴.建议：让学生结合所给的条件分组讨论，动手画图(教师可以进行适当的美示)，然后教师

提出问题：你能把更多的数表示在你所作的图上吗？

命题角度1数轴上的点与有理数的关系

1.如图，数轴上一个点被叶子盖住了，这个点表示的数可能是(A)

]______I______।______।।T

oia

A.2.3B.-1.3C.3.7D.1.3

2.在数轴上位于一4和2之间(不包括一4和2)的整数点有(B)

A.6个B.5个C.4个D.无数个

3.如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1cm),刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的

3和0,那么刻度尺上“5.6cm”对应数轴上的数为(C)

8Z.9sf(I山。0

A.-1.4B.-1.6C.-2.6D.1.6

3i

4.请你画一条数轴，并把2,-1,0,3一写这