人教版八年级数学下册全册导学案（2024年春季版）

人教版八年级数学下册

全册导学案设计

圻;H雅

第十六章二次根式

16.1二次根式

第1课时二次根式的概念

一、新课导入

1.导入课题

同学们，你能写出下列问题的结果吗？（1）面积为5的正方形的边长是多少？（2）

面积为S的正方形的边长是多少？（3）圆柱的体积为匕高为5,则它的底面半径r是多

少？（学生回答结果，老师在黑板上写出）的这些结果有什么共同特点呢？

2.学习目标

（1）掌握二次根式的基本特征.

（2）理解二次根式有意义的条件.

3.学习重、难点

重点：准确判断一个式子是不是二次根式.

难点：求被开方数中所含的字母的取值范围的依据.

二、分层学习

I第一.次学习

i.自学指导

（1）自学内容：教材P2例】上面的部分.

（2）自学时间：3分钟.

（3）自学方法：完成思考中的问题，从形式和被开方数分别满足的条件两个方面理解

二次根式的意义.

（4）自学参考提纲：

瓦行底叵

①教材思考中三个问题的答案依次为

②上述四个式子有什么共同特征呢？

共同特征：它们表示一些正数的算术平方根.

③什么样的式子叫做二次根式？

形如笈Q20）的式子叫做二次根式.

④想一想：如果aVO,则标是否是二次根式？

不是

2.自学：学生可结合自学指导进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：了解学生是否掌握上述问题结果的式子的特点.

②差异指导：引导学生从“形式”和“被开方数取值”两个方面进行分析.

（2）生助生：学生相互研讨疑难之处..

4.强化

（1）下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

5V16,/，匚,Jd+i

答案：5屈,Jf+i是二次根式;不是二次根式，/因为不是开

平方，Q的被开方数为负数.

（2）解答教材⑶第1题.

令长方形的长、宽分别为3xcm,2xcm,则3*・2尸18,得丁=3,，产,3产3

>/3,2尸2>/3.・•・长方形的长、宽分别为3>/3cm和2>/3cm.

（3）形如后（a2O）的式子叫做二次根式，称为二次根号.注意：被开方数a

20.

I”二层次学习一

i.自学指导

（1）自学内容：教材P2例1及后面的思考部分.

（2）自学时间：3分钟.

（3）自学方法：完成自学参考提纲.

（4）自学参考提纲：

①确定式子G5中字母x的取值范围的依据是什么？解题步骤是什么？

答案：依据是二次根式的概念，x22.

②a取何值时，下列各二次根式有意义？

y/a-\；J2a+3；J-a；<5-a.

3

答案：a21;a》----;aWO;aW5.

2

③若=1+）宣有意义，则a的值为_L

2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：明了学生对例题不等式的得出的理由是否清楚.

②差异指导：指导学生分析使/与/在实数范围内有意义的条件

（2）生助生：同桌之间相互研讨.

4.强化

（1）确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围的一般步骤是：

①根据后中心0的条件列不等式；②解不等式；③确定字母的取值范围.

（2）归纳总结本节所学知识点和数学思想方法.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生代表交流自己的学习收获和困惑.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法和收获进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）.

本课时开始时创设情境，给出实例，使学生独立思考并作答，并适当提出疑问，

引出这节课的内容，充分发掘

了学生的主体性.二次根式是本书学习的第一个知识点，也是本章的第一个知识点，为

之后学习二次根式的加减乘除、

勾股定理等知识打下基础.教学时，不仅强化了学生独立思考，探究的能力，还提高了

学生的合作交流能力.

评价作业.一.)

(时间：12分钟满分：100分)

一、基础巩固(60分)

1.(10分)已知一个正方形的面积是3,那么它的边长是出.

2.(10分)使Jx+3有意义的x的取值范围是.

3.(10分)下列各式中一定是二次根式的是(B)

A.Jx+1B.+1)2C.J/_]J-

4.(10分)二次根式J,中，字母〃的取值范围是(D)

A.a<0B.aWJC.a20D.a>0

5.(20分)当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)J4—2；(2)《3-a；(3)J5a*；(4)J2a-1.

解：(1)&2-2;(2)&W3;(3)a为任意实数；(4)

2

二、综合运用(20分)

6.当才是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)X2+\:(2)](x-1)?.(3)J—1?；(4)--

解：(Dx为任意实数;(2)才为任意实数;⑶/2;(4)在T且内.

三、拓展延伸(共20分)

解：由题意得《

16.1二次根式

第2课时二次根式的性质

一、新课导入

1.导入课题

我们知道二次根式J7中a20,那么二次根式还有哪些性质呢？今天我们学习

“二次根式的性质”(板书课题).

2.学习目标

(1)知道JZeogeo),会用非负数的性质解题.

(2)会用公式(布/黄招。)进行计算.

(3)知道形如的化简方法及结果.

3.学习重、难点

重点：y/a^O(a^O),(&}=a(aN0).

难点：运用公式(布):口(420)和J^=a(a20)进行计算化简.

二、分层学习

I'第，

1.自学指导

(1)自学内容：探究：JZ(&20)及(&20)中a的值的特点.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学方法：围绕探究提纲进行演算归纳.

(4)探究提纲：

①当a0时，是什么数？当行0时，〃'是什么数？当〃'有意义时，a是什么

数？

②从①中我们可以探究得出：当众。时，八是非负数，即仑0.

③从右(aNO)所表示的数值特点，你知道还有哪些式子的值具有这种特性？

④已知，求必y的值.(产1,片T)

2.自学：学生参照探究提纲进行自学.

3.助学

(1)师助生:

①明了学情：了解学生在探究中存在的认识偏差和困惑.

②差异指导：引导学生分析、石表示的数值特点，归纳已学过的非负数及其和为0时

所满足的条件.

(2)生助生：学生相互交流、帮助.

4.强化

(1)当a20时，4a^0,即右的值为非负数.

(2)回顾所学过的三类非负数：①一个数的偶次幕；②一个数的绝对值；③&(a

20).

(3)非负数的性质：若五+y2+|z|=0,则尸产石0.

(4)练习：已知，求x,y的值.

答案：x=~l,y=l.

I"丁I—

i.自学指导

(1)自学内容：探究的结果.

(2)自学时间：8分钟.

(3)自学方法：通过回顾算术平方根的意义，归纳(布)(a20)的结果.

<4)探究提纲：

①・・・3的算术平方根是内，,(Ji，=3.

②•・•士2的算术平方根是

3岛工闺二r

③.•,非负数a的算术平方根是a,・・・(布J(aNO)".

®V(abf=a2b2，工(3五了=(3)2x(V2)-=寺.

⑤计算：

(4)%(34)11(-45)*1(-弟,.

答案：3；13；25；

2

⑥由①一⑤的探讨，归纳得出：一般地，（布]=g（a20）.

2.自学：学生可结合探究提纲进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：关注学生对（a20）的值的理解.

②差异指导：指导学生应用的结果进行计算.

（2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，归纳正确结论.

4.强化

（1）强调（&]=a（a20）及其应用.

（2）强调公式（时=/加和/=今在二次根式计算中的运用.

（3）展示本节所学知识点和数学思想方法.

第三层次学习

1.自学指导

（1）自学内容：探究：当自20时，行等于什么？若a的值无限定，而又等于

什么？

（2）自学时间：5分钟.

（3）自学方法：结合探究提纲动手尝试好Q20）和好的化简，结果有何不

同？

（4）探究提纲：

①后="=2；J3=J[=；；^061=^/036=0.6；由此可以看

出：当a20时，J/=g.

从中我们可以提炼出一个公式是J/芸，其中a的取信范围是a20.

②《了=我=」；代j0.5.由此可以看出：当水0时,

93------

③J/二a一定成立吗？为什么？

不一定成立.当aVO时,

④说出下列各式的值：

ge।J(-/、-4-F7।Jo—.

答案：0.3;—；-五；—

710

⑤如果a是任意有理数，那么如何化简呢？试相互交流自己的化简结果.

-\a\

2.自学：学生可结合探究提纲进行自学.

3.助学

(1)师助生：

①明了学情：了解学生是否理解的实际意义及。2与&表示的数的不同.

②差异指导：指导学生从a的取值范围看J混的结果有何不同.

(2)生助生：相互交流帮助，矫正错误，归纳正确的结论.

4.强化

o(o>0)

9a(a>0>

(1)息结公式和4r==o(o=0).或4r=loi=9

■h(a<0).

k-a(«<0).

⑶当

MM第四层次学习

1.自学指导

(1)自学内容：教材P,关于代数式的那段文字.

(2)自学时间：2分钟.

(3)自学方法：阅读课文，理解字、词、句表达的意义.

(4)自学参考提纲：

①基本运算是指哪些运算？

②#是分式吗？是代数式吗？

③用代数式表示面积为S且两条邻边的比为2：3的长方形的长和宽.

④已知半径为r的圆的面积是半径为2cm和3cm的两个圆的面积和，求广的值.

2.自学：学生可结合自学参考提纲进行自学.

3.助学

(1)师助生：

①明了学情：了解学生是否理解代数式的意义.

②差异指导：引导学生在实例中用含字母的式子表示数.

(2)生助生：学生相互交沆、研讨.

4.强化

(1)组织学生交流参考提纲中的问题.

(2)强调代数式的定义.

(3)展示本节所学知识点和数学思想方法.

三、评价

1.学生的自我评价(围绕三维目标)：小组学生代表交流自己的学习心得和体会.

2.教师对学生的评价：

(1)表现性评价：点评学生的学习态度、方法、成果及存在的不足.

(2)纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价(教学反思).

先复习了上一课时学习的内容，从而进一步探究所学的知识，自然地引出了这节

课所要学习的内容，然后学生

通过观察分析、自主探究学习、交流合作并归纳总结的过程，使所学的知识更加深刻

透彻，并能准确地学以致用。

在教学中，给予适当的引导，对疑惑之处给予一定的解答。老师在教学过程中，应处

于指导的位置，才能使学生在

在自主探究中掌握知识.

*----------评价作业------------>

（时间：12分钟满分：100分）

一、基础巩固（60分）

1.（10分）（一百j=3,（J拒）=7?=5,J（一=5.

2.（10分）已知，则」二-8.

3.（10分）已知Ia|+西0,则/（a-l）2=\-a.

4.（10分）化简：J（后—2）=2-叵,J（x+2]=]户2].

5.（10分）下列等式错误的是（C）

A.（-石'）2=a（aN0）B.若4r=a.HO（>/a）2=a

C.若=-a,则a<0D.若-J怖*--ab,则abWO

6.（10分）计算：（1）/+衣1（夜一、（2）7x2-2x4-1+V9-6x+x2（Kx<3）

解:⑴（6+5/才（女一百『⑵

Vx"—2,x4-1+，9—6x+厂

㈣2-网2

=\=x-l+3-x

=2

二、综合应用（20分）

7.（10分）a、b、c为三角形的三边长，化简：^（a^b-cf+\b-a-c].

解：由三角形两边之和大于第三边得：井b~c〉O,升l杨0.

:.J（a+〃-c）~+2_a_d

=cH-Zre+(a+c)-Z?

-2a

8.(10分)化简J4?-4x+4+卜3-2X)2+3x.

3

解：由3-2x20,得后一.

2

**•J%>-4x+4+(J3-2x1+3x

:4(x-臂+(j3-2»+3x

=2-户3-2户3x

=5

三、拓展延伸(20分)

9.(10分)在实数范围内分解因式：x4-l.

解:X4-4=(X2-2)(x2+2)=)(A+C)(X2+2).

10.(10分)已知5^石是整数，求正整数〃的最小值.

解：疯^是整数，・•・24〃是完全平方数，又•・•24炉22X6〃,；・正整数〃的最小值为

6.

16.2二次根式的乘除

笫1课时二次根式的乘法

一、新课导入

1.导入课题

一个长方形的长和宽分别是历和2Ji,求这个长方形的面积.你列出的算式是什

么？这个算式应怎样计算呢？

2.学习目标

(1)能归纳二次根式的乘法法则6・石=而(a20,620),理解法则4岳々・6与

a•b=ab(a20,620)的关系及运用.

(2)会运用公式6和而二6・扬(40,心0)进行二次根式的乘法

运算和化简.

3.学习重、难点

重点：•、历=和>/月=夜•、份(&20,620)的运用.

难点：熟练运用法则进行化简和计算.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导

(1)自学内容：探究二次根式的乘法法则.(二次根式的乘法怎么运算？)

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学方法：通过从特殊到一般归纳出运算法则，注意法则成立的条件.

(4)探究提纲：

①计算下列各式，比较计算结果：

74x79=2X3=6；V4^9=J(4x9)=6；

1X4=2；

1X16=^16=^(ixl6)=2.

②从①中你发现了什么规律？请用一个等式表示这个规律.

\[a*\[b=4ab(aN0,〃>0).

③用文字表示二次根式的乘法法则是：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不

变.

④计算：

72x78；4乂眄;x/oJxV32;>/288x^.

答案：4；J5；4；2.

2.自学：学生结合探究提纲进行自学.

3.助学

(1)师助生：

①明了学情：了解学生能否通过计算发现探究提纲中第①题中的规律.

②差异指导：引导学生理解a-8与仍表达的意义.

（2）生助生：同桌之间相互研讨，交流学习成果，帮助解决疑难问题.

4.强化：

强调二次根式的乘法法则公式及公式的使用条件.

・M第二层次学习■■■

1.自学指导

（1）自学内容：教材月例1后面到月练习前面的部分.

（2）自学时间：6分钟.

（3）自学方法：理解公式夜・扬=痴（a20,620）逆向变形依据，注意运算时的

算理及应满足的条件.

（4）自学参考提纲：

①公式点=6•后是用来进行什么样的式子的运算？

②使用公式而=6•、份化简二次根式的一般步骤是什么？

③说说算式机6•〃斯的计算方法是什么？

④进行二次根式的乘法时，所得结果应该怎样？

⑤按课本例题的格式化简或计算下列各题：

749x121；V225；历：yll6ab2c3；-3岛2而.

答案：77;15;2折4从疝；-306.

⑥计算：~V12x6V3x（-2>/6）.

解：=6xV6x>/2x>/3x-\/6=36y/6.

2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：了解学生是否能根据算式特点合理利用法则及逆用法则.

②差异指导：引导学生结合算式选用公式.

（2）生助生：学生之间相互交流帮助.

4.强化

（1）合理运用&♦韭=猴9Nq,b20）和金=20,bNO）进行计算

或化简.

（2）把两个二次根式的乘法推广到多个二次根式的乘法

反之亦成立.

:\[a*\[b*\/c=\labc（a>0,b>0fc>0）,

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：小组代表介绍自己小组的学习表现及收获和困

惑.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生在课堂上学习态度、方法、成果及不足进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教帅的自我评价（教学反思）.

通过创设情境，给出实例，列出本课时所要学习的内容.通过分层次学习，由特殊例子

到一般法则的归纳，发掘了学生学习的自主性，作为学习的主导者，主动去观察、分析、

归纳与总结得到更深刻、透彻的知识，并且从中体会成功.

«-----------评价作业------------>

（时间:12分钟满分：100分）

一、基础巩固（70分）

1.（io分）化简=同理可得而=77々=2自.

2.（10分）计算=

3.（10分）若直角三角形两条直角边的边长分别为Jiicm和疝cm,那么此直角三

角形的面积是3JMc初2

4.（10分）下列各等式成立的是（D）

A.45x25=85B.53x42二2（）5

C.48x3g=76D.58x4。=2（）行

5.（10分）下列各式正确的是（D）

A.\/25x9=5x9=45

B.7（-9）x（-4）=、Kx

C.\/72+242=7+24=31

D.V202-122=7(20+12)(2()-12)=V32x8=16

6.(20分)化简或计算：

(1)盟；(2)4Sx(-4J)；

K：(l)立Jx历.^Tx8x5g・3x3x2x2・18立；

(2)8x(・451=-AX2X>/?X5=-3x/lO;

(3)7l8x廊x府；(4)-2府K

M:(3)Mx顾xM=vOTx5TXJ=3X2X5X项=3073ff;

二、综合运用（15分）

7.如果J（x+训2—x）成立,那么x应满足什么条件？

解：由题意用仁<・・.-IW/W2.

（2-x>0f

三、拓展延伸（15分）

8.如图，从一个大正方形中截去面积为15cllI?和24cmz的小正方形，求留下部分的面

解:留下部分面积：（"*厄『-24-15=24+1215-24-15

=12；10（cm）.

16.2二次根式的乘除

第2课时二次根式的除法

一、新课导入

1.导入课题

设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b,如果夕后，ZF>/5,那么怎样求

呢？你能列出算式吗？

2.学习目标

[a4a[a>fa

(1)能归纳除法法则公式布=忑(a20,Z?>0),知道(g0,Z)>0)

与=J京(a20,b>Q)的意义.

(2)会运用公式a/Fab(a20,b>0)和a/Fa6(a20,b>0)进行二次根式的除法运算

和化简.

3.学习重、难点

重点：(a20,6>0)和(a20,b>0)的运用.

难点：熟练运用法则进行化简和计算.

二、分层学习

第一层次学习

i.自学指导

(1)自学内容：探究：二次根式除法的运算法则.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学方法：由具体运算归纳一般的运算法则，注意法则中的条件.

(4)探究提纲：

①计算下列各式，并比较它们的结果：

②从①中你发现了什么规律？请用一个等式表示这个规律.

案书心0,b>0).

③用文字表示二次根式的除法法则是：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.

④计算：

力8’2詈；应"，46”；月,焉.

答案：3;2J3；y；2k/L

2.自学：学生参照探究提纲进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：了解学生是否能从具体运算中归纳出一般规律.

②差异指导：引导从具体算式到一般形式；将除式写成分式；强调除数不为0.

（2）生助生：相互交流帮助，矫正错误，展示成果.

4.强化：

强调二次根式的除法法则表达式及成立的条件.

第二层次学习

i.自学指导

（1）自学内容：教材用例4后面到内例6的部分.

（2）自学时间：5分钟.

（3）自学方法：注意*=g（a20,b>0）逆向变形外，还有没有其余方法？参

看例6解法2.

（4）自学参考提纲：

①逆用法则伊得化简二次根式的一般步骤是什么？

②说说算式机6+〃6的计算方法是什么？

③进行二次根式的除法运算时，所得结果应该怎样？

④按课本例题的样子化简下列各式：

2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.

3.助学

(1)师助生：

①明了学情：了解学生是否看懂例题的每步计算过程及依据，特别是教材为例6的解

法2.

②差异指导：引导思考：J万x()是有理数，缶X()是有理数等.

(2)生助生：学生交流研讨疑难之处.

4.强化

(1)强调两种化简的方法和步骤.

(2)回顾本节所学知识点和数学思想方法.

第三层次学习

1.自学指导

(1)自学内容：教材凡例6后面到例7上面的部分内容.

(2)自学时间：3分钟.

(3)自学方法：认真阅读课文中最简二次根式给定的两个条件，弄懂所给文字表达的

具体含义.

(4)自学参考提纲：

①什么样的二次根式是最简二次根式？

②如果被开方数是一个多项式，该怎么判断其是否含有开得尽方的因数或因式？

③二次根式的运算的结果必须达到的两点要求是：(1)被开方数中不含分母；(2)被

开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

④下列二次根式是否是最简二次根式？为什么？

71.8;\/1()1;-2a2b+而2;寸.

答案：.8,V101,W-2,b+〃//不是最简二次根式,+/)2是最简二次根式

⑤化简下列二次根式，并用最简二次根式的特点验证化简是否彻底.

套案.4五.2a.3口

口KC.r—,3'91*7

2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：了解学生是否掌握最简二次根式满足的条件，能否说明条件包含的

具体内容.

②差异指导：a被开方数是小数的算不算，含分母的算不算.九如何查找被开方数

中有无开得尽方的因数或因式.

（2）生助生：相互交流，帮助矫正错误，展示学习成果.

4.强化

（1）强调检验二次根式是最简二次根式的两条标准.

（2）二次根式化简思路及方法.

第四层次学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材内例7后面到灯0练习上面的部分.

（2）自学时间：5分钟.

（3）自学方法：体会列式、化简的过程，类比有理数的乘除混合运算顺序来考虑二次

根式的乘除混合运算顺序.

（4）自学参考提纲：

的结果是逅

①化简

ma

②化噫的结果是备

2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：了解学生自学中存在的疑点问题.

②差异指导：对个别学生在运算步骤不清和法则运用不当的地方进行引导.

（2）生助生：相互交流，帮助矫正错误.

4.强化:

（1）总结自学参考提纲第①题的化简方法.

（2）总结自学参考提纲第②题的化简方法.

（3）总结自学参考提纲第③题的运算技巧.

（4）回顾本节所学知识点和数学思想方法.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：小组代表介绍自己的学习方法、收获和困惑.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：对学生在课堂学习中的态度、方法、成果和不足进行进行点评.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）.

创设情境，不仅达到了复习之前所学二次根式的乘法法则的效果，还导入本课时所要

学习的内容，通过类比学习的方法，使学生更容易学习二次根式的除法运算.由特殊到一

般，循序渐进，让学生经历观察、思考、讨论、分析、归纳总结的过程，从而更加深刻学

习，最后运用乘法检验，到达知识上下的连接，形成知识网络.

评价作业

（时间：12分钟满分：100分）

一、基础巩固（60分）

成立,那么（B）

A.x20B.x>3C.xH3D.x23

2.(10分)下列各式中，是最简二次根式的是(C)

A.V18B.yfa^bC.Ja2+b?D.g

工“0分)计袅;(3)耳+小；(4)府X回

62]5V218

解:⑴亳="=圣C)W邛；⑴后，耳=51=2;(4)府“闻:4

=15;(5)6+(2xA)=&+6=1.

4.（10分）若殖TG和5后是同类最简二次根式，则必产6.

5.（10分）已知方程后=底则x=141.

6.（10分）如图，在.RtAABC中,N090°,力32百，S△力叱，求的的长.

解:SAABC二;・AC・/“：=j~x2BXB（：=3原二BC=36.在由中，由勾股定

理得：』3二74C2+BC2=J（28产+（3二瓦

二、综合运用（20分）

7.阅读理解与运用.

（1）当*20,y20时，，同理可得：x-2yfxy+y=（yfx-4y}2.

4a-b^4a+4\/ab+b

（2）a,6均为非负数，且aWb,化简

2>fa-\[b2y/a+4b

4a

解.T4。+4+b

2R-R2£+5

二（25+扬）（26-历）]（26+4产

―26-62G'+7

=2/+J5+2万+jb

=4。+2Jb.

三、拓展延伸（20分）

、_1_J11111,L'

8.计算-p—+——-+——-+•••+—=———•/TT+1

3+22+回7iT+W

（\।।\\

解：~p-+~F—F+—-...—————I.（VTT+1）

\jl+\J3+]22+B++V1T+阿

B-i2-5..旧-师

=---------------H-------------------1----------------+…H-------------------------

L（5+i）x（^-i）（A+E）x（A—g）（2+8）X（2-8）（yrr+师）x（行一场）

=（2-1+B-回+2-A+…+阿）・（7TT+1）

=（ViT-i）•（4T+1）

=n-i

=io.

16.3二次根式的加减

第1课时二次根式的加减法

一、新课导入

1.导入课题

大家非常熟悉8+18等于多少，那么我+JK是多少呢？怎么计算呢？今天我们一起

来学习二次根式的加法.

2.学习目标

（1）知道怎样的二次根式能进行合并.

（2）知道进行二次根式的加减法运算的步骤和方法.

3.学习重、难点

重点：会进行二次根式的加减法运算.

难点：二次根式的加减法运算步骤.

二、分层学习

第一层次学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材%的内容.

（2）自学时间：6分钟.

（3）自学方法：体会列式、化简的过程，联想多项式相加时，合并同类项的方法来类

比课文中二次根式的合并方法.

（4）自学参考提纲：

①下面每组中的二次根式能否合并？为什么？

2夜与3"日与赤6与屈.

答案：能；能；不能.理由：前两个式子为同类二次根式，最后一个不是，不能合并.

②合并二次根式的要点是什么？

③二次根式的加减运算的一般步骤是什么？

④下列计算是否正确？为什么？

回-。二口+回=。=2。;23+30=55

答案：x；x；J;X.理由：第1、2、4个式子不是同类二次根式，不能合并.第3个式

子为同类二次根式，可以合并.

2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.

3.助学

(1)师助生：

①明了学情：了解学生是否掌握怎样的二次根式能够合并，合并的方法是什么.

②差异指导：对是不是被开方数不同就不能合并，合并前应做什么等问题进行指导.

(2)生助生：学生相互研讨疑难之处.

4.强化

(1)归纳合并二次根式的方法和要点.

(2)总结二次根式的加减运算的一般步骤.

1.自学指导

(1)自学内容：教材P”例1和例2.

(2)自学时间：5分钟.

(3)自学方法：先独立运用刚才总结的二次根式加减法法则计算，然后对照课本步骤

验证方法是否正确.

(4)自学参考提纲：

①计算+石，并说明其中的道理.

②二次根式的加减与整式的加减有哪些类似之处？

③例题中(1)、(2)先做了什么？然后做什么？

④计算：

2口-67;JT8+(,^8—应力；--5;(^24♦-5)

答案：-4V7;10a-3百3底376+—；

4

2.自学：学生可结合自学参考提纲进行自学.

3.助学

(1)师助生：

①明了学情：了解学生是否熟悉了例题介绍的计算步骤及方法，存在哪些疑点.

②差异指导：不是最简二次根式的先化简；化简后找被开方数相同的二次根式.

（2）生助生：相互交流，帮助矫正错误.

4.强化

（1）强化自学提纲中该重点强化的内容.

（2）点学生板演自学参考提纲第④题，并点评.

（3）回顾本节所学知识点和数学思想方法.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：小组代表介绍小组成员怎样学习，有哪些收获和

不足.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：点评学生的学习态度、方法、成果及存在的问题.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）.

本课时通过创设情境，给出实例.由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老

师加以启发和引导，让学生明白二次根式的加减的实质是合并同类二次根式；师生共同总

结出二次根式加减法运算的步骤：（1）化成最简二次根式；

（2）找出被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式，可简化为：

化简一判断一合并.

+-----------评价作业------------>

（时间:12分钟满分:100分）

一、基础巩固（70分）

L（IO分）二次根式：①②扬"；③岛④历中，能与石合并的二次根

式是（C）

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.（10分）下列计算正确的是（C）

A.。+5=6B.2+五=25

c.2x8=6D.《二2

AB

3.（10分）若最简二次根式212%+1与j3x-2能进行合并,则x=2

4.(40分)计算:

(1)2回+；48-^-癖;(2)(^5+48)-(^-VT25);

(3』(0+国一:(2一百)；(4"屈+3〃>^7.

解:⑴2^+yx/18-y>52=4后+1>2-9X4叵二■|~巨；

(2)(原+炳-(区-x/ny)=35+32-2①+55=85+"；

(3)y(叵+⑸一12一所)=苧+孝回4口-亨；

(4)〃2\ISa+3〃\/50〃3=2a2•\fif7+3(i•5a\/2a=1la2x/2(i.

二、综合运用(15分)

5.化偌：7^7

解：7-aJ-a2/--«-aJ-。-J''

Ma-a

三、拓展延伸(15分)

6.已知：a♦b■-4,而工3•求I，，的值.

=

M：Va♦4=-4fa6=3./.a<0,i<0fA/^■*，)=--

16.3二次根式的加减

第2课时二次根式的混合运算

一、新课导入

1.导入课题

整式四则运算的运算法则大家比较熟悉，那么二次根式的四则运算又该怎样进行呢？

今天我们来学习二次根式的四则混合运算.

2.学习目标

熟练应用二次根式的加减乘除法运算法则及乘法公式进行二次根式的混合运算.

3.学习重、难点

重点：类比整式混合运算进行二次根式的混合运算.

难点：混合运算的顺序、运算律及乘法公式的灵活运用.

二、分层学习

1.自学指导

（1）自学内容：教材PH例3.

（2）自学时间：8分钟.

（3）自学方法：类比多项式乘以（除以）单项式的法则学习例3.

（4）自学参考提纲：

®（a+b^c=ac+bc.

②（a+b）+c=a+c+b+c・

③运用①、②中的结论体会教材％例3中两道题的算理.

④例3中第（2）题也运用了分配律吗？为什么？

⑤计算：

团B+5）；（而T+师）4-S

答案：6+x/10；4+2]2.

2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：了解学生是否领会例3中的算理，存在的疑点在哪里.

②差异指导：指导整式运算方法；例3第（2）题可写成（/而•。的形式.

（2）生助生：同桌之间相互研讨，帮助解决疑难之处.

4.强化：乘法分配律：机（a+〃）=ma+/wb在二次根式运算中同样适用.

1.自学指导

（1）自学内容：教材％例4.

（2）自学时间：5分钟.

（3）自学方法：类比多项式乘以多项式的运算法则和乘法公式学习例4.

（4）自学参考提纲：

①（a+b）-an^an^bm^bn.

②（a+b）（a-b）=a-if.

(3)(a+tt)2=a+2ab^l)；(a-b)1=a-2ab^t).

④结合①©③说明例4中两题的算理.

⑤（2石十=（2百『十2x（2百）x（30）十（3近『=30+12娓.

⑥计算：

（5.3）（6.2）;（5+。）（8-加；（44^（4-^）;（6+时（6-$）;（6+2广；（2I

答案：上面6个小题答案依次为11+5Ji,4,%a-b,7+4瓜22-4屈.

2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：了解学生对教材例4中（1）、（2）计算的理由是否弄清楚.

②差异指导：指导学生按多项式乘法法则和乘法公式来体会例题中的计算依据.

（2）生助生：同桌之间相互研讨.

4.强化

（1）整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算.

（2）回顾本节所学知识点、数学思想方法及运算技巧.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：小组代表交流学习方法、收获及存在的疑惑.

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：点评学生的学习态度、方法、成果及存在的不足.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）.

本课时的教学内容为二次根式的混合运算，教学过程中要将整式运算的知识迁移过来.

强调有理数的运算定律、多项式乘法法则及乘法公式在二次根式的计算中仍然适用.同时也

要注意二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加

减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）.培养学生利用概念、法则进行计算和化简

的严谨态度和科学精神.

«-----------评价作业------------>

（时间：12分钟满分：100分）

一、基础巩固（50分）

1.（1（）分）计算：（x/i2+5用XB

解：（反+5R）X京=23x口+5x2乏XA=6+1（）行

2.（1（）分）计算：衣;5-6X2A

解：国.口一RX23=22—62二-4J2

3.（10分）计算：（35+5J3）2

解：（35+5技尸=（3£/+2x35X58+（53）2=120+30715

4.（10分）计算：（2J-5）（。+B）

解：（28-5）（2+回）=26+2X3-石XN-5x回=26+6-师-炳

5.（1（）分）计算：（6+口）（6-J2）

解：（E+叵）（后一2）=（石）2一（0）2=4

二、综合运用（20分）

6.计算：（3-而■产［3十回■严睛

解：（3-师）刈5（3+府■产,

=［（3-呵（3+呵产

=（9-10产

=-1

三、拓展延伸（30分）

7.计算：（用简便方法）

（1）（542），

解：（5+