专题04 方程（组）及其应用（8大考点）（解析版）

第二部分方程（组）与不等式（组）

专题04方程（组）及其应用（8大考点）

核心考点一等式的基本性质

核心考点二一元一次方程的解法及其应用

核心考点三二元一次方程组的解法及其应用

核心考点四分式方程的解法及其应用

核心考点

核心考点五一元二次方程及其解法

核心考点六一元二次方程根的判别式

核心考点七一元二次方程根与系数的关系

核心考点八一元二次方程的实际应用

新题速递

核心考点一等式的基本性质

例1（2022·青海·中考真题）下列说法中，正确的是（）

A．若acbc，则abB．若a2b2，则ab

ab1

C．若，则abD．若x6，则x2

cc3

【答案】C

【分析】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质分析得出答案．

【详解】解：A、若ac=bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；

B、若a2b2，则ab，故此选项错误；

ab

C、若，则ab，故此选项正确；

cc

1

D、若x6，则x18，故此选项错误；

3

故选：C．

【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键．

41

例2（2021·安徽·中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且bac，则下列结论正确的是（）

55

A．abcB．cbaC．ab4(bc)D．ac5(ab)

【答案】D

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【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．

41

【详解】解：A．当a5，c10，bac6时，cba，故A错误；

55

41

B．当a10，c5，bac9时，abc，故B错误；

55

14

C．ab4(bc)整理可得bac，故C错误；

55

41

D．ac5(ab)整理可得bac，故D正确；

55

故选：D．

【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．

例3（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：

设任意一个实数为x，令xm，

等式两边都乘以x，得x2mx．①

等式两边都减m2，得x2m2mxm2．②

等式两边分别分解因式，得xmxmmxm．③

等式两边都除以xm，得xmm．④

等式两边都减m，得x＝0.⑤

所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．

【答案】④

【分析】根据等式的性质2即可得到结论．

【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，

∴第④步等式两边都除以xm，得xmm，前提必须为xm0，因此错误；

故答案为：④．

【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．

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知识点、等式的基本性质（注意:等式的基本性质是解方程的依据）

基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.

基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.

性质3：如果ab，那么ba（对称性）

性质4：如果ab，bc，那么ac（传递性）

112

【变式1】（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足ac2b，．则下列结

acb

论正确的是（）

A．若ab0，则cb0B．若ac1，则b1

C．a，b，c不可能同时相等D．若a2，则b28c

【答案】B

11112

【分析】A.根据a＞b＞0，则＜，根据，得出c＜b；

abacb

112

B.根据，得出2acbac，把ac2b代入得：b2ac1，即可得出答案；

acb

112

C.当abc时，可以使ac2b，，即可判断出答案；

acb

D.根据解析B可知，b2ac2c，即可判断．

【详解】A.∵a＞b＞0，

11

∴＜，

ab

112

∵，

acb

11

∴＞，

cb

∴c＜b，故A错误；

112ac2

B.∵，即，

acbacb

∴2acbac，

把ac2b代入得：2ac2b2，

b2ac1，

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解得：b1，故B正确；

112

C.当abc时，可以使ac2b，，

acb

∴a，b，c可能同时相等，故C错误；

D.根据解析B可知，b2ac，把a2代入得：b22c，故D错误．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和

等式的性质，是解题的关键．

abcabc

【变式2】（2022·安徽芜湖·二模）已知三个实数a，b，c满足abc0,a,c，则下

22

列结论不成立的是（）

A．b0B．c=0C．abD．ab

【答案】A

【分析】将等式整理得abc①，cab②，①+②可求c=0值，进而可判断B的正误，将c代入①式

得ab，可判断C的正误，由abc0，c=0，ab，计算求解可判断A，D的正误．

abcabc

【详解】解：∵a，c

22

∴abc①，cab②

①+②得cc，即2c0

解得c=0

∴B正确，故不符合题意；

将c=0代入①式得ab

∴C正确，故不符合题意；

∵abc0

∴ab0

∴ab，2b0

∴b0

∴D正确，故不符合题意；A错误，故符合题意；

故选A．

【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键在于对等式性质的熟练掌握与灵活运用．

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x2xy

【变式3】（2022·贵州黔西·二模）已知，则______.

y3y

5

【答案】

3

x222xy

【分析】根据可得到xy，将xy代入求解即可得到答案．

y333y

x2

【详解】解：，

y3

2

xy，

3

2xy

将xy代入得

3y

25

yyy

xy5，

33

yyy3

5

故答案为：．

3

【点睛】本题考查代数式求值，根据条件用一个未知数表示另一个未知数代入求值是解决问题的关键．

【变式4】（2021·江苏·正衡中学一模）设实数a、b、c满足abc3，a2b2c24，则

a2b2b2c2a2c2

=_______．

2c2a2b

【答案】3

4c24a24b2

【分析】将a2b2c24变形，分别代入原式的分子中，得到，化为最简后，代入

2c2a2b

abc3即可.

【详解】解：∵abc3，a2b2c24，

a2b2b2c2a2c24c24a24b22c2c2a2a2b2b

∴===2-c+2-a+2

2c2a2b2c2a2b2c2a2b

-b=6-abc=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了分式中的条件求值，需注意观察条件与结论区别与联系，整体代入是解题的关键.

bccaab

【变式5】（2022·江西·石城县教育局教研室二模）已知abc0，且0，求证：

abc

bcbccacaabab

0．

b2c2c2a2a2b2

【答案】见解析

bccaab

【分析】将abc0和0两边都同时乘abc，整理，再相加，最后再除a2b2c2，即可

abc

证明．

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【详解】解：abc0①，

bccaab

0②，

abc

将①，②两边同时乘abc，得a2bcb2acc2ab0③，

bc(bc)ac(ca)ab(ab)0，

整理，得：a2(bc)b2(ca)c2(ab)0④

③+④，得：a2bcb2acc2aba2(bc)b2(ca)c2(ab)0，

整理，得：a2(bcbc)b2(acca)c2(abab)0⑤．

由题意可知abc都不为0，

∴可将⑤两边同时除a2b2c2，

bcbccacaabab

得：0．

b2c2c2a2a2b2

【点睛】本题考查等式的性质，整式的混合运算，分式的混合运算，分式有意义的条件．熟练掌握等式的

性质是解题关键．

核心考点二一元一次方程的解法及其应用

x1x2

例1（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程1的步骤如下：

23

解：方程两边同乘6，得3x112x2①

去括号，得3x312x2②

移项，得3x2x231③

合并同类项，得x4④

以上解题步骤中，开始出错的一步是（）

A．①B．②C．③D．④

【答案】A

【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．

【详解】解：方程两边同乘6，得3x162x2①

∴开始出错的一步是①，

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故选：A．

【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关

键．

例2（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2

元，则该商品的标价为每件______元．

【答案】15

【分析】设该商品的标价为每件x元，根据八折出售可获利2元，可得出方程：80%x-10=2，再解答即可．

【详解】解：设该商品的标价为每件x元，

由题意得：80%x-10=2，

解得：x=15．

所以该商品的标价为每件15元．

故答案为：15．

【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是仔细审题，得出等量关系，列出方程，难度一般．

例3（2022·江苏镇江·中考真题）某地交警在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测，统计数据

如下表：

车速（km/h）404142434445

频数6815a32

其中车速为40、43（单位：km/h）的车辆数分别占监测的车辆总数的12%、32%．

(1)求出表格中a的值；

(2)如果一辆汽车行驶的车速不超过40km/h的10%，就认定这辆车是安全行驶．若一年内在该时段通过此路

口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．

【答案】(1)16

(2)19200辆

【分析】（1）由车速的占比求得总的车辆数，然后相乘可得

（2）先计算安全行驶的占比，再用该占比估算即可

（1）

6

方法一：由题意得50，

12%

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a5032%16；

6a

方法二：由题意得，

12%32%

解得：a16；

（2）

由题意知，安全行驶速度小于等于40110%44km/h．

50248

因为该时段监测车辆样本中安全行驶的车辆占总监测车辆的占比为，

5050

48

所以估计其中安全行驶的车辆数约为：2000019200（辆）

50

【点睛】本题考查了频数的计算，掌握频率的计算公式是解题关键，频率=频数÷总数．本题的占比就是频

率．

知识点一、一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有1个未知数(元)，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这

样的方程叫做一元一次方程。任何一个一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常数，且a≠0）的形式。

温馨提示

形如axb0(其中a，b为常数，且a0)的方程为一元一次方程，判断时应抓住以下两点：

(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一个未知数，且未知数的次数为1。

若未知数的系数有分母，则要去分母。注

去分母意要在方程的两边都乘以各分母的最小公

倍数。

若方程含有括号，则先去小括号，再去中

括号，最后去大括号。若去括号时括号前

去括号

是负号，去掉括号后，括号内的各项均

要。

把含有未知数的项移到等式的一边，其他

移项

项移到另一边。一般把含的项移到

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等式左边。移项要改变符号。

合并同类项把方程化成axb（a0）的形式。

方程两边同未知数的系数，得到方

系数化为1

程的解。

知识点二、一次方程（组）的实际应用

1、列一次方程(组)解应用题的步骤

审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清题中的等量关系；

设：设关键未知数；

列：根据题中的等量关系，列方程(组)；

解：解方程(组)；

验：检验所解答案是否符合题意；

答：规范作答，注意单位名称。

2、常见的关系式

基本关系式:路程=速度×时间.

相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=总路程.

行程问题

追及问题:同地不同时出发:前者走的路程=后者走的路程;同时不同地出发:慢者走的路程+两地间距离=快者走的

路程.

储蓄问题本金×利率×期数=利息,本金+利息=本息和.

利润

销售问题总价=单价×数量,利润率=×100%,利润=售价-成本(或进价)=利润率×成本.

成本

分配问题总量=甲的数量+乙的数量,总金额=甲的金额+乙的金额.

工程问题工作总量=工作效率×工作时间,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增长率问

已知基础量为a,增长后为b,若设增长率为x,则可得a(1+x)=b.

题

数字问题十位a，个位b，表示为10a+b；百位a，十位b，个位c，表示为100a+10b+c

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【变式1】（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）在风凰山教育共同体数学学科节中，为展现数学的魅力，M

老师组织了一个数学沉浸式互动游戏：随机请A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈，每个人心里先

想好一个实数，并把这个数悄悄的告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的

平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那

个数是（）

A．3B．4C．5D．9

【答案】D

【分析】设报D的人心里想的数是x，则再分别表示报A，C，E，B的人心里想的数，最后通过平均数列

出方程，解方程即可．

【详解】解：设D同学心里想的那个数是x，报A的人心里想的数是10-x，报C的人心里想的数是x-6，报

E的人心里想的数是14-x，报B的人心里想的数是x-12，

所以有x-12+x=2×3，

解得：x=9．

故选：D．

【点睛】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用，把题中的等量关系全部展示出来，再

结合题意进行整合，问题即可解决．

【变式2】（2022·浙江金华·二模）一条数轴上有点A、B，点C在线段AB上，其中点A、B表示的数分别

是－8，6，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B=4，则C点表示的数是（）

A．1B．－1C．1或－2D．1或－3

【答案】D

【分析】设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，表示出AC的距离，在根据A′B=4，表示出A′C，

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由折叠得，AC=A′C，列方程即可求解．

【详解】解：设点C所表示的数为x，AC=x-（-8）=x+8，

∵A′B=4，B点所表示的数为6，

∴A′表示的数为4+6=10或6-4=2，

∴AA′=10-（-8）=18，或AA′=2-（-8）=10，

1

根据折叠得，AC=AA′，

2

11

∴x+8=×18或x+8=×10，

22

解得：x=1或-3，

故选：D．

【点睛】本题考查了数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点A、B在数

轴上表示的数分别为a、b，则AB=|a-b|．

【变式3】（2020·浙江·模拟预测）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以

点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A落在点B的右边，并且AB3，则C点表示的数是______．

【答案】2

【分析】设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，根据AC＝A′C，列出关于x的方程，解出方程

即可．

【详解】解：设点C所表示的数为x，则AC＝x+16，BC＝9﹣x，

∵A′B＝3，B点表示的数为9，

∴点A′表示的数为9+3＝12，

根据折叠得，AC＝A′C

∴x+16＝12﹣x，

解得，x＝﹣2，

故答案为：﹣2．

【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离问题，能用两点间的坐标正确地表示出两点间的距离是解题的关

键．

【变式4】（2022·北京四中模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大

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利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算

4671，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位

数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相

乘，则k______．

【答案】6

【分析】根据“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．

【详解】解：根据题意可得

10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k

解得k=6

故答案为：6．

【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据“格子乘法”分析图示，列出方程是关键．

【变式5】（2022·辽宁朝阳·模拟预测）根据小王在两个超市看到的商品促销信息解决下列问题：

甲超市促销信息栏乙超市促销信息栏

不超过300元不优惠；

全场8.5折超过300元而不超过500元，打9折；

超过500元，500元部分优惠10%，超过500元部分打8折．

(1)当一次性购物标价总额是400元时，甲、乙两超市实付款分别是多少？

(2)当一次性购物标价总额是多少时，甲、乙两超市实付款一样？

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【答案】(1)甲超市实付款340元，乙超市实付款360元；

(2)当一次性购物标价总额为1000元时，甲、乙两超市实付款一样．

【分析】（1）根据两家超市的优惠方案，可知当一次性购物标价总额是400元时，甲超市实付款=购物标价

0.85，乙超市实付款4000.9，分别计算即可；

（2）设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样．根据甲超市实付款=乙超市实付款列出方程，求解

即可．

【详解】（1）当一次性购物标价总额是400元时，

甲超市实付款为4000.85340（元），

乙超市实付款为4000.9360（元），

答：甲超市实付款340元，乙超市实付款360元；

（2）由题意可知：当一次性购物标价总额不超过500元时，

乙超市实付款一定比甲超市多，

设一次性购物标价总额为x元时，甲、乙两超市实付款一样，

由题意可得：0.85x500（110%）（x500）0.8，

解得：x1000，

答：当一次性购物标价总额为1000元时，甲、乙两超市实付款一样．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解两家超市的优惠方案，进行分类讨论是解题的关键．

核心考点三二元一次方程的解法及其应用

例1（2022·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——

九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例

如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）

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A．9B．10C．11D．12

【答案】D

【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可．

【详解】解：设如图表所示：

根据题意可得：x+6+20=22+z+y，

整理得：x-y=-4+z，

x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，

整理得：x=-2+z，y=2z-22，

∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，

解得：z=12，

∴x+y

=3z-24

=12

故选：D．

【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解

题关键．

第14页共75页.

1016

例2（2020·甘肃天水·中考真题）已知a2b，3a4b，则ab的值为_________．

33

【答案】1

【分析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．

1016

【详解】解：a2b①，3a4b②，

33

②-①得，2a+2b=2，

解得：a+b=1,

故答案为：1．

【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关

键．

例3（2022·贵州黔西·中考真题）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A、B

两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植

费用为300元．

(1)每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？

(2)若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B两种花卉的成活率分别为70%和

90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何

安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．

【答案】(1)每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元

(2)种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元

【分析】（1）设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据“3盆A种花卉和4盆

B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元”列二元一次方程组，解

方程组即可求解；

（2）设种植A种花卉的数量为m盆，种植两种花卉的总费用为w元，根据“两种花卉在明年共补的盆数不

多于80盆”列不等式求得m的范围，再求得w与m的关系式，利用一次函数的性质求解．

3x4y330

（1）解：设每盆A种花卉种植费用为x元，每盆B种花卉种植费用为y元，根据题意，得，

4x3y300

x30

解这个方程组，得答：每盆A种花卉种植费用为30元，每盆B种花卉种植费用为60元；

y60

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（2）解：设种植A种花卉的数量为m盆，则种植B种花卉的数量为400m盆，种植两种花卉的总费用

为w元，根据题意，得170%m190%400m80，解得m200，

w30m60400m30m24000，∵300，∴w随m增大而减小，当m200时，

wmin302002400018000．答：种植A、B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低

费用为18000元．

【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是

明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

知识点一、二元一次方程（组）及其解法

1、二元一次方程（组）定义

定义方程的解解的情况

二元一次含有个未知数，并且所含未使二元一次方程两边的值的两有无数组解

方程知数的项的次数都是1的方程。个未知数的值。

二元一次把具有相同未知数的两个二元一一般地，二元一次方程组的两个方程只有一组公共解

方程组次方程合在一起。的 叫做二元一次方程组的解。

2、二元一次方程（组）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代

入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等(或通过适当变形后可

以使同一个未知数的系数相反或相等)时，把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未

知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

消元法使用技巧（解题时依据方程自身特点，灵活运用消元思想）

一般地，当二元一次方程组中的一个方程的某个未知数的系数是1或-1时，选择代入消元法

较简单。

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当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关

系时，选择加减消元法较简单。

注：还可以用整体代入消元或换元法化繁为简，快速解题。

知识点二、三元一次方程组

1.三元一次方程组:一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的

次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.

2.解三元一次方程组的基本思路

三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程

【变式1】（2022·广东·华南师大附中三模）如果|x+y-1|和2（2x+y-3）²互为相反数，那么x,y的值为（）

x1x1x2x2

A．B．C．D．

y2y2y1y1

【答案】C

【分析】根据非负数的性质，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可．

【详解】解：∵xy1(2xy3)20，

xy10

∴，

2xy30

x2

解得：，

y1

故选：C．

【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，|x+y-1|和2（2x+y-3）2都是非负数，所以这个数都是0．

4x3y6

【变式2】（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于x，y的方程组的解是整数，那么

6xmy26

整数m的值为（）

A．4，4，5，13B．4，4，5，13

C．4，4，5，13D．4，5，5，13

【答案】B

【分析】先将m看作已知量，解二元一次方程组，用m表示出y，再结合x，y为整数，得出y的整数解，

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然后把y的整数解代入①，得出x的解，再把方程组的整数解代入②，即可得出m的值．

4x3y6①

【详解】解：，

6xmy26②

34

由②2①3，可得：y，

2m9

∵x，y为整数，

∴当2m9为34，17，2，1，34，17，2，1时，y为整数，

34

∴把2m9的值代入y，可得：y1，y=2，y17，y34，y1，y2，y17，y34，

2m9

345957

∴把y的整数解代入①，可得：x，x0，x，x24，x，x3，x，x27，

4444

4x3y6x0x24x3x27

∴方程组的整数解为，，，，

6xmy26y2y34y2y34

把方程组的整数解代入②，可得：m13，m5，m4，m4．

故选：B

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m的代数式表示y．

【变式3】（2021·四川成都·三模）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝

3a+b﹣7c，则m的最小值为_________________．

5

【答案】－

7

【详解】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围从而求

得m的最小值．

3a2bc5

【解答】解：由题意可得2ab3c1，

3ab7cm

7m511m1m2

解得a，b，c＝，

333

由于a，b，c是三个非负实数，

∴a≥0，b≥0，c≥0，

15

∴﹣≥m≥．

117

5

所以m＝．

最小值7

5

故本题答案为：．

7

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【点睛】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式组的解法，难点是部分同学不会解含参数m的三元

一次方程组．

2axby40x1

【变式4】（2022·甘肃庆阳·二模）已知，关于x，y的二元一次方程组的解为，则

axby10y1

2a－b＝______．

【答案】4

x1

【分析】把代入方程组，得出关于a、b的方程组，求出方程组的解即可．

y1

x12axby40

【详解】解：把代入得：

y1axby10

2ab4

，

ab1

a1

解得：，

b2

∴2a－b=2×1-（-2）=2+2=4，

故答案为：4．

【点睛】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题的关键是得出关于a、b的方程组．

【变式5】（2022·河南洛阳·二模）已知实数x，y满足3x2y7①，x3y9②，求2x5y和5x4y的

值．

本题常规的解题思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值．再代入欲求值的代数式得到答案，常

规思路运算量较大．其实，仔细观察两个方程未知数x，y的系数与所求代数式中x，y的系数之间的关系，

本题还可以通过适当的变形整体求得代数式的值．由①②得：2x5y2，由①②2得5x4y25，

这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．

问题解决：

2xy6

(1)已知二元一次方程组，则xy值为，xy的值为．

x2y9

(2)某班组织活动购买奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本

日记本共需58元．则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

(3)对于实数x，y，定义新运算：x*yaxbyc，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法

运算．已知3*515，4*728，则1*1的值为．

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【答案】(1)5，3

(2)30元

(3)11

【分析】（1）根据方程组中两个方程的特点，由①②即可求出xy的值，①-②即可求出xy的值；

20x3y2z32①

（2）设1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，列出方程组，先求出xyz6，

39x5y3z58②

再求出5(xyz)30，即可得出答案；

3a5bc15①

（3）根据题意得出方程组，求出abc11，即可求出1*1的值．

4a7bc28②

【详解】（1）解：由①②，可得3x3y15，

∴xy5，

由①-②，可得xy3．

故答案为：5，3；

（2）（2）设1支铅笔x元、1块橡皮y元、1本日记本z元，

20x3y2z32①

由题意，可得，

39x5y3z58②

由①2-②，可得xyz6，

∴5(xyz)30（元)，

答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；

（3）∵3*515，4*728，

3a5bc15①

∴，

4a7bc28②

由①3-②2，可得abc11，

∴1*1abc11．

故答案为：11．

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及三元一次方程组的整体求法，理解题意，熟练掌握整体计算方

法是解题关键．

核心考点四分式方程的解法及其应用

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mx1

例1（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）若关于x的方程3无解，则m的值为（）

x1

A．1B．1或3C．1或2D．2或3

【答案】B

【分析】先将分式方程化成整式方程(m3)x2，再分①整式方程(m3)x2无解，②关于x的方程

mx1

3有增根两种情况，分别求解即可得．

x1

mx1

【详解】解：将方程3化成整式方程为mx13x3，即(m3)x2，

x1

mx1

因为关于x的方程3无解，

x1

所以分以下两种情况：

①整式方程(m3)x2无解，

则m30，解得m3；

mx1

②关于x的方程3有增根，

x1

则x10，即x1，

将x1代入(m3)x2得：m32，解得m1；

综上，m的值为1或3，

故选：B．

【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．

11xa

例2（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是

xx1x(x1)

__________．

【答案】a1且a0

【分析】把a看作常数，去分母得到一元一次方程，求出x的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为0

列不等式并求解即可．

11xa

【详解】解：由得xa1，

xx1x(x1)

11xa

关于x的方程的解为负数，

xx1x(x1)

x0a10a1

x0，即a10，解得a1，即a1且a0，

x1a11a0

故答案为：a1且a0．

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【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．

例3（2020·新疆·中考真题）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多

10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．

(1)A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？

(2)由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温

杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，

两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

【答案】(1)A款保温杯的销售单价是30元，B款保温杯的销售单价是40元

(2)进货方式为购进B款保温杯数量为40个，A款保温杯数量为80个，最大利润是1440元

【分析】（1）设A款保温杯的销售单价是x元，B款保温杯的销售单价是（x+10）元，根据用480元购买B

款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同列分式方程解答即可；

（2）设购进B款保温杯数量为y个，则A款保温杯数量为（120-y）个，根据题意求出0<y≤40，设总销售

利润为W元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．

（1）

解：设A款保温杯的销售单价是x元，B款保温杯的销售单价是（x+10）元，

480360

，

x10x

解答x=30，

经检验，x=30是原方程的解，

∴x+10=40，

答：A款保温杯的销售单价是30元，B款保温杯的销售单价是40元；

（2）

B款保温杯销售单价为40×（1-10%）=36元，

设购进B款保温杯数量为y个，则A款保温杯数量为（120-y）个，

120-y≥2y，

解得y≤40，

∴0<y