专题13 三角形（6大考点）（原卷版）

第四部分三角形

专题13三角形（6大考点）

核心考点一三角形及边角关系

核心考点二三角形中的重要线段

核心考点三等腰三角形

核心考点

核心考点四等边三角形

核心考点五直角三角形

核心考点六等腰直角三角形

新题速递

核心考点一三角形及边角关系

例1（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中

ACB90，ABC60，EFD90，DEF45，AB//DE，则AFD的度数是（）

A．15B．30C．45D．60

例2（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）三个数3，1a,12a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数

为边长能构成三角形，则a的取值范围为______

例3（2022·北京·统考中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，

完成证明．

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三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，

已知：如图，ABC,

求证：ABC180.

方法一

方法二

证明：如图，过点A作DE//BC.

证明：如图，过点C作CD//AB.

三角形是初中阶段几何图形学习的基础，也是中考必考内容之一；三角形及边角关系内容比较简单，

中考中一般会出在选择题、填空题，解答题偶有出现，注意以下最基本的三角形边角关系：

1.两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

2.2.三角形的内角和为180°；

3.3.三角形外角和为360°；

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【变式1】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在ABC中，A60,ABC80，BD是ABC的高线，BE

是ABC的角平分线，则DBE的度数是（）

A．10B．12C．15D．18

【变式2】（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在Rt△ABC中，ACB90，将ABC绕顶点C顺时针旋

转得到△ABC，D是AB的中点，连接BD，若BC2，ABC60，则线段BD的最大值为（）

A．3B．23C．3D．4

【变式3】（2022·广东韶关·校考二模）如图，ABC中，C90，AC10，BC8，线段DE的两个端

点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE6，若点△M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_________．

【变式4】（2023·广东佛山·校考一模）如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，E为对角线AC的

中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD52，则EBD_____°．

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【变式5】（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在ABC和VADE中，ABAC，ADAE，且BACDAE，

且B，D，E在同一直线上，连接EC．

(1)求证：BDEC．

(2)若ACB55，求BEC的度数．

核心考点二三角形中的重要线段

例1（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在ABC中，AC22，ACB120，D是边AB的中点，

E是边BC上一点，若DE平分ABC的周长，则DE的长为（）

521

A．B．C．2D．3

22

例2（2021·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线AB//CD，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直

线CD上，EG平分CEF，则1的度数为_________°．

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例3（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．

例如：如图①．在ABC和ABC中，AD,AD分别是BC和BC边上的高线，且ADAD，则ABC和

ABC是等高三角形．

【性质探究】

如图①，用SABC，SABC分别表示ABC和ABC的面积．

11

则S△BCAD,S△BCAD，

ABC2ABC2

∵ADAD

∴S△ABC:S△ABCBC:BC．

【性质应用】

(1)如图②，D是ABC的边BC上的一点．若BD3,DC4，则S△ABD:S△ADC__________；

(2)如图③，在ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB1:2，CD:BC1:3，S△ABC1，则

S△BEC__________，S△CDE_________；

(3)如图③，在ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB1:m，CD:BC1:n，SABCa，

则S△CDE__________．

三角形中的主要线段包括三角形的高线，中线和角平分线。

三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，从顶点到垂足之间的线段叫做这个三角形的高线，简称

三角形的高。

在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做这个三角形的中线。一个三角形共有三条中线，这

三条中线相交于一点，这个点叫三角形的重心。

三角形中一个角的角平分线与这个角的对边相交，得到顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

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【变式1】（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，在ABC中，小美同学按以下步骤作图：①以点C为圆

1

心，以BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD；②分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径

2

画弧，两弧交于点E；③作射线CE交BD于点F，连接AF.若ABC的面积为10，则△ACF的面积为（）

A．2.5B．5C．7.5D．8

【变式2】（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相

交于点O，ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若BM22，则线段AC的长为()

．．．．

A424B422C426D42

【变式3】（2022·江西九江·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB2，AD4，点E在△ABD边上运动，

设线段CE的长度为m，则m的取值范围是______．

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【变式4】（2022·内蒙古包头·包钢第三中学校考三模）在Rt△ABC中，BAC90，D是BC的中点，E是

AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，若AB8，四边形ADBF的面积为40．则

AC______．

【变式5】（2022·浙江杭州·翠苑中学校考二模）在图1，图2，图3中，AF，BE是ABC的中线，AF⊥BE，

垂足为P．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

(1)①如图1，当ABE=45，c22时，a，b．

②如图2，当ABE30，c8时，a，b．

(2)观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明．

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核心考点三等腰三角形

例1（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，已知ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将ABC绕A

点逆时针旋转50°得到AB′C′，以下结论：①BC＝B△′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝△∠ACC′，

正确的有（）△

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

例2（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在RtABC中，ACB90，ACBC3，D为AB边上一点，

且BDBC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE

的长为___________．

例3（2022·山东日照·统考中考真题）如图1，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分

别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩△形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．

(1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；

(2)①当a=b时，求∠ECF的度数；

②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．

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知识点：等腰三角形的性质

1、等腰三角形

（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫

做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（2）性质

①两腰相等

②两底角相等（简称等边对等角）

③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）

④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。

证明题目中的写法：

①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD

②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD

（3）等腰三角形的构造

（1）“角平分线+平行线”构造等腰三角形

①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形

②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形

（2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形

如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形

（3）“角平分线+中线”构造等腰三角形

如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形

（4）“中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示

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(5)“平行+等腰”构造等腰三角形

已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线

知识点：等腰三角形的判定

等腰三角形的判定

①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）

总结：

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【变式1】（2022·江苏南京·南京大学附属中学校考模拟预测）如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中

垂线，直线m为ABC的角平分线，l与m相交于P点．若A60，ÐACP=24°，则ABP的度数是（）

A．24B．30C．32D．36

【变式2】（2022·四川乐山·统考二模）如图，在Rt△ABC中，BC2，BAC30，斜边AB的两个端点

分别在相互垂直的射线OM和ON上滑动，给定下列命题，其中正确命题的序号是（）．

①若C、O两点关于AB对称，则OA23；

②C、O两点距离的最大值为4；

③若AB平分CO，则ABCO；

3

④斜边AB的中点D运动路径的长为．

2

A．①③④B．②③④C．①④D．①②

【变式3】（2023·山东济南·山东大学附属中学校考一模）如图，点E是正方形ABCD边BC的中点，AD2，

连接AE，将ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长EF，交AD的延长线于点M，交CD于点N．则MN的

长度为______．

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【变式4】（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）如图，▱ABCD中，ABAD，点E是AB上一点，

连接CE、DE，且BCCE，若BCE40，则ADE______．

【变式5】（2023·陕西西安·统考一模）如图，在YABCD中，BAD，ADC的平分线AF，DE分别与线段

BC交于点F，E，AF与DE交于点G．

(1)求证：AFDE，BFCE．

(2)若AD10，AB6，AF8，求DE的长度．

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核心考点四等边三角形

例1（2022·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y3x3与x轴交于点A，与y轴

交于点B，将AOB绕O点逆时针旋转到如图△AOB的位置，A的对应点A恰好落在直线AB上，连接BB，

则BB的长度为（）

333

A．B．3C．2D．

22

例2（2022·山东日照·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x

轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．

例3（2022·青海·统考中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的

底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)问题发现：

如图1，若ABC和VADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BDCE；

图1

(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同

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一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的

数量关系并说明理由.

图2

知识点：等边三角形的性质与判定

等边三角形

（1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。

（2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°

（3）判定：

①三条边都相等的三角形是做等边三角形

②三个角都相等的三角形是等边三角形

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

（4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。

总结：

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1等腰三角形和等边三角形对比

图形等腰三角形等边三角形

两条边都相等三条边都相等

性

两个角都相等三个角都相等，且都是60º

质底边上的中线、高和顶角的平分线互相每一边上的中线、高和这一边所对的角的

重合平分线互相重合

对称轴（1条）对称轴（3条）

②等腰三角形和等边三角形的判定

图形等腰三角形等边三角形

三条边都相等的三角形是等边三角

从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形

判形

定

三个角都相等的三角形是等边三角

从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形

形

等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

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【变式1】（2022·广东东莞·东莞市横沥中学统考一模）如图，在矩形ABCD中，E为AC上运动，EFAB，

AB2，BC23，则BFBE的最小值为（）

A．22B．32C．3D．23

【变式2】（2022·重庆渝中·重庆市求精中学校校考一模）在等边ABC中，D是边AC上一点，连接BD，

将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到BAE，连接ED，若BC5，BD4.5，有下列结论：①AE∥BC；

②ADEBDC；③BDE是等边三角形；④VADE的周长是9.5，其中，正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【变式3】（2022·贵州遵义·统考一模）如图，D为等边三角形ABC内一点，AD10，BD6，CD8，

将△BCD绕点C顺时针旋转60得到△ACE，则图中阴影部分的面积为___________．

【变式4】（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）已知菱形ABCD的边长为1，DAB60，E为AD

上的动点，F在CD上，且AECF1，设BEF的面积为y，AEx，当点E运动时，则y与x的函数关

系式是__________．

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【变式5】（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考一模）如图1，在等腰三角形ABC中，

A,ABAC,ADAE，连接BE．点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．

(1)当a120时，

①观察猜想：图1中，点D、E分别在边AB、AC上，线段NM、NP的数量关系是，MNP的大小

为．

②探究证明：把VADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，求证：

ABDACE．

③在②的条件下，如图2，求证：△MPN是等边三角形

(2)拓展延伸：当a90时，ABAC10,，ADAE6时，把VADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，

请直接写出△MNP面积的最大值．

核心考点五直角三角形

例1（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，

连接OE，ABC60，BD43，则OE（）

A．4B．23C．2D．3

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例2（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，点D，E分

别在AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B恰好落在AB上，连接CB，若CBBB，

则AD的长为_________．

例3（2022·北京·统考中考真题）在ABC中，ACB90，D为ABC内一点，连接BD，DC，延长DC

到点E，使得CEDC.

(1)如图1，延长BC到点F，使得CFBC，连接AF，EF，若AFEF，求证：BDAF；

(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2AE2BD2，用等式表示线段CD

与CH的数量关系，并证明．

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概念：直角三角形，指的是有一个角是直角的三角形；

性质：

1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、在直角三角形中，两个锐角互余。

3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径

R=C/2）。该性质称为直角三角形斜边中线定理。

4、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

5、如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

（1）（AD)²=BD·DC。

（2）（AB)²=BD·BC。

（3）（AC)²=CD·BC。

射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边的射影的比例

中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。

6、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

1

【变式1】（2023·陕西西安·校考二模）如图AD是ABC的高，AB4，BAD60，tanCAD，则BC

2

的长为（）．

A．31B．232C．231D．34

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【变式2】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，两点E，F分别在矩形ABCD的AD和CD边上，AB6，AD8，

BEF90，且BEEF，点M为BF的中点，则ME的长为（）

93

A．B．25C．32D．10

22

【变式3】（2023·四川成都·统考一模）如图，在ABC中，ACB90，点D为AB边上一点，连接CD．现

将ACD沿CD翻折使得点A落在AB边的中点E处．若BC6，则BD__________．

【变式4】（2023·辽宁大连·统考一模）如图，已知AGC90,C30,EAG150,DCAE．若

AG1,DG3，则DE的长为__________．

【变式5】（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在ABC中，ACB90，点E是边AC上的点，过点E作

EFAB于点F．连接BE，点O是BE的中点，CO交AB于点D．

(1)若A30，求COF的度数；

(2)若AEF≌CBD，

①求证：DFDB；

EF

②求的值．

CD

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核心考点六等腰直角三角形

例1（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线yx1和x轴之间由小到大依次

画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，

则第100个等腰直角三角形的面积是（）

A．298B．299C．2197D．2198

例2（2022·四川广元·统考中考真题）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板

CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E

同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为_____cm．

例3（2022·湖南湘潭·统考中考真题）在ABC中，BAC90，ABAC，直线l经过点A，过点B、C

分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．

(1)特例体验：

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如图①，若直线lBC，ABAC2，分别求出线段BD、CE和DE的长；

(2)规律探究：

①如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转045，请探究线段BD、CE和DE的数量关系并

说明理由；

②如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转4590，与线段BC相交于点H，请再探线

段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；

(3)尝试应用：

在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE3，DE1，求S△BFC．

等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它具有直角三角形所有的性质，同时它也有它的特殊性：

（1）两底角等于45°。

（2）两腰相等。

（3）等腰直角三角形三边比例为1:1:2

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【变式1】（2022·贵州遵义·统考一模）如图所示的是32的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线

段AB，CD的端点均在格点上，线段AB，CD交于点O，则BOD的度数为（）

A．30B．45C．50D．60

【变式2】（2022·四川南充·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BAC90，ABAC，直角EPF的顶点

P是BC的中点，将EPF绕顶点P旋转，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F．下列四个结论：

1

①AECF；②!PEF是等腰直角三角形；③EFAP；④S四边形S△ABC．在EPF旋转过程中，上

AEPF2

述四个结论始终正确的有（）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

【变式3】（2022·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考模拟预测）如图，在等腰ABC中，ABC90，D为

底边AC中点，过D点作DEDF，交AB于E，交BC于F．若AE12，FC5，EF长为______．

【变式4】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）如图一次函数yx3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把

直线AB绕点B顺时针旋转30交x轴于点C．则线段AC的长为______．

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【变式5】（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）据图回答下列各题．

【问题：】如图1，在Rt△ABC中，ABAC，点D是BC边上一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A

逆时针旋转90得到AE，连接EC，则线段BD，CE之间满足的数量关系式为．

【探索：】如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，ABAC，ADAE，将VADE绕点A旋转，使点D落在BC

边上，请探索线段AD，BD，CD之间满足的数量关系，并证明你的结论．

【应用：】如图3，在四边形ABCD中，ABCACBADC45，若BD9，CD3，求AD的长．

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【新题速递】

1．（2023·海南省直辖县级单位·统考一模）如图，已知CAD≌CBE，若A20，C60，则CEB的

度数为（）

A．80°B．90°C．100°D．110°

2．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，在Rt△ABC中，ACB90,A30,BC4．将ABC绕顶点C旋

转得到△ABC，若点O是BC中点，点P是AB中点，在旋转过程中，线段OP的最大值等于（）

A．4B．6C．8D．10

3．（2023·辽宁阜新·校考一模）如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，

4，H为线段DF的中点，则图中阴影部分的面积是（）

A．12B．6C．72D．52

4．（2023·吉林长春·校考一模）如图，在RtABC中，B90，AB3，BC4，将ABC折叠，使点B恰

好落在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB的长为（）

A．3cmB．2.5cmC．1.5cmD．1cm

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5．（2023·广西河池·校考一模）在矩形ABCD中，过AC的中点O作EFAC，交BC于E，交AD于F，连

接AE、CF．若AB3，DCF30，则EF的长为（）

A．2B．3C．23D．3

6．（2022·河南焦作·统考一模）如图，OAB中，AOB60，OA4，点B的坐标为6，0，将OAB绕点

A逆时针旋转得到CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（）

A．53，53B．53，5C．7，5D．7，33

7．（2022·贵州遵义·三模）已知：如图ABC中，BD为ABC的角平分线，且BDBC，E为BD延长线上

的一点，BEBA，过E作EFAB，F为垂足．下列结论：其中正确的是（）

①ABD≌EBC；②BCEBCD180；③ADAEEC；④BABC2BF．

A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④

8．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在ABC中，B45，C75，AB4，D

为BC边上一个动点，过点D作DEAC于点E，DFAB于点F，连接EF，则EF的最小值为（）

A．3B．2C．5D．6

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9．（2023·广西河池·校考一模）如图，ab，交直线l于A、B两点，过点A作ACl交直线b于点C，若

158，则2_____度．

10．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC中，C90，CAB60，按以下步骤作图：①分别以

1

A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于

2

点E，连接AE．若CE4，则AE__．

11．（2022·浙江杭州·翠苑中学校考二模）如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，在AD上

取一点E，连结CE，使得AECE，若ECD20，则B_____．

12．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，M，N是AOB的边OA上的两个点（0OMON），AOB45，

OMa，MN4．若边OB上有且只有1个点P，满足PMN是等腰三角形，则