专题19 圆的基本概念及其性质（5大考点）（原卷版）

第五部分圆

专题19圆的基本概念及其性质（5大考点）

核心考点一圆周角、圆心角相关问题

核心考点二垂径定理及其推论

核心考点核心考点三圆内接四边形的性质

核心考点四正多边形与圆相关的计算

核心考点五圆的基本性质综合题

新题速递

核心考点一圆周角、圆心角相关问题

例1（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，四边形ABCD是O的内接四边形．若BCD121，则BOD

的度数为（）

A．138°B．121°C．118°D．112°

例2（2022·江苏盐城·统考中考真题）如图，AB、AC是O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，

若BAD35，则C___________°．

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例3（2022·福建·统考中考真题）如图，ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DFAB交BC于

点E，交⊙O于点F，连接AF,CF．

(1)求证：ACAF；

(2)若⊙O的半径为3，CAF30，求AC的长（结果保留π）．

知识点、圆周角

1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。

（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）

2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们

所对应的其余各组量分别相等．

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【变式1】（2023·山东·统考一模）．如图，在ABC中，AC4，以点C为圆心，2为半径的圆与边AB相

切于点D，与AC，BC分别交于点E和点F，点H是优弧EF上一点，EHF70，则BDF的度数是（）

A．35B．40C．55D．60

【变式2】（2022·陕西西安·一模）如图，AB是O的直径，点M是O内的一定点，PQ是O内过点M

的一条弦，连接AM，AP，AQ，若O的半径为4，AM5，则APAQ的最大值为_____．

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【变式3】（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，已知AB为O的直径，过O上点C的切线交AB的延

长线于点E，ADEC于点D．且交O于点F，连接BC，CF，AC．

(1)求证：BCCF；

(2)若AD3，DE4，求BE的长．

核心考点二垂径定理及其推论

例1（2022·湖北鄂州·统考中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了

一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所

示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已

知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，

AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（）

A．10cmB．15cmC．20cmD．24cm

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例2（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）O的直径CD10，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，

OM:OC3:5，则AC的长为______．

例3（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线

上，CP与O相切于点C．

(1)求证：PCBPAD；

(2)若O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．

1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

几何语言：

垂径定理的几个基本图形：

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垂径定理在基本图形中的应用：

2．其它正确结论：

⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．

3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三．

注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径．

4．常见辅助线做法：

⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；

⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．

【变式1】（2022·浙江杭州·校考二模）如图，O的半径ODAB于点C，连接AO并延长交O于点E，

连接EC．若AB8，CD2，则tanOEC为（）

63132213

A．B．C．D．

1713313

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【变式2】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CD延长线上一点P

与点A的连线交O于点F，已知AB10，CD8，AF6，则PF的长为________．

【变式3】（2023·陕西西安·交大附中分校校考二模）如图，已知AB是O的直径，C是O上一点，

ODBC，垂足为D，连接AD，过点A作O的切线与DO的延长线相交于点E．

(1)求证：BE；

(2)若O的半径为4，OE6，求AD的长．

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核心考点三圆内接四边形的性质

例1（2021·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，ADC120，点E

是AD上任意一点，连接BE，CE，则BEC的度数为（）

A．20°B．30°C．40°D．60°

例2（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD内接于O，则AB的长是________

（结果保留π）

例3（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD是圆O的直径，AD，BC的

延长线交于点E，延长CB交PA于点P，BAPDCE90．

(1)求证：PA是圆O的切线；

1

(2)连接AC，sinBAC，BC2，AD的长为______．

3

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圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。

【变式1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）如图，在O中，AD是直径，DAB31，点C

是圆上的一动点（不与点A重合），则ACB的度数为（）

A．31B．59C．31或59D．59或121

【变式2】（2023·广东深圳·校联考一模）如图，点E是正方形ABCD边AB上的一点，已知DEF45，EF

分别交边AC，CD于点G，F，且满足AGDF32，则EG的长为______．

【变式3】（2021·贵州·统考一模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为BC上的一点，连接DP，CP．

(1)求∠CPD的度数；

(2)当点P为BC的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．

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核心考点四正多边形与圆相关的计算

例1（2022·湖北黄石·统考中考真题）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割

之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每

次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形

的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图

l

1中圆内接正六边形的周长l6R，则63．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为

62R

（）

A．12sin15B．12cos15C．12sin30D．12cos30

例2（2022·四川成都·统考中考真题）如图，已知⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假

设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．

例3（2022·浙江金华·统考中考真题）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答

下列问题，作法：如图2，①作直径AF；②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N；③连接

AM,MN,NA．

(1)求ABC的度数．

(2)AMN是正三角形吗？请说明理由．

(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．

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知识点、正多边形与圆

（一）正多边形及有关概念

（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。

（2）正多边形的画法：把圆n等分（n3），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这

个圆就是这个正多边形的外接圆。

（3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。

（4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。

（5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。

（6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。

（二）正多边形的有关计算

n2180360

（1）正n边形的每个内角都等于180.

nn

360

（2）正n边形的每个中心角都等于.

n

（3）正n边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示，

2

18022a

设正n边形的半径为R,一边ABa，边心距OMr，则有BOM,Rr,正n边

n2

形

1

的周长lna,面积SnS2nSlr.

AOBBOM2

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【变式1】（2023·安徽安庆·统考一模）如图，五边形ABCDE是O的内接正五边形，AF是O的直径，则

CDF的度数是（）

A．18B．36C．54D．72

【变式2】（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角COD顶点

3

在圆心O上，这个角绕点O任意转动，在转动过程中，扇形COD与扇形AOB有重叠的概率为，求

10

___________．

【变式3】（2023·山东青岛·统考一模）【问题提出】

正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径R和中心角有什么关系？

【问题探究】

如图①，ABC是等边三角形，半径OAR，AOB是中心角，P是ABC内任意一点，P到ABC各边

、、

距离PF、PE、PD分别为h1h2h3，设ABC的边长是a，面积为S．过点O作OMAB．

11

∴OMRcosAOBRcos60，AMRsinAOBRsin60，AB2AM2Rsin60，

22

1

∴S3S3ABOM3R2sin60cos60，①

ABCAOB2

1

∵S又可以表示ahhh②

ABC2123

1

联立①②得ahhh3R2sin60cos60

2123

1

∴2Rsin60hhh3R2sin60cos60

2123

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∴h1h2h33Rcos60

【问题解决】

如图②，五边形ABCDE是正五边形，半径OAR，AOB是中心角，P是五边形ABCDE内任意一点，P到

五边形ABCDE各边距PH、PM、PN、PI、PL分别为h1、h2、h3、h4、h5，参照（1）的分析过程，探究

h1h2h3h4h5的值与正五边形ABCDE的半径R及中心角的关系．

【性质应用】

（1）正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和h1h2h3h4h5h6_______．

（2）如图③，正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和h1h2hn1hn______．

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核心考点五圆的基本性质综合题

例1（2021·广西梧州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴

正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（）

A．3342B．12C．6+33D．63

例2（2022·内蒙古·中考真题）如图，在等腰直角三角形ABC中，ACBC1，点P在以斜边AB为直

径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是_______．

例3（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不

重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．

(1)求证：BE是⊙O的切线；

(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．

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圆的基本性质综合题型，主要是要将圆相关的知识点结合起来考查，包括圆心角、圆周角、垂径定理、

切线长定理等，关键在于明确题目考查的方向，灵活运用知识点解决问题.

【变式1】（2023·安徽滁州·校联考一模）如图，在ABC中，ABACBC4，延长BA至点D，连接CD，

ADC=45，点P为BC边上一动点，PEAB于E，PFCD于F，连接EF，则EF的最小值为（）

3311

A．26B．36C．326D．336

2222

【变式2】（2023·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，

ACB90，BC2，AC23，P是以斜边AB为直径的半圆上一动点，M为PC的中点，连接BM，则

BM的最小值为______

【变式3】（2023·安徽滁州·校联考一模）如图，已知四边形ABCD内接于O，直径AC与BD

交于E点，BD平分ADC．

(1)若ADBD，求证：DCDE；

AD5BD

(2)若=，求的值．

CD2AC

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【新题速递】

1．（2022·台湾·统考模拟预测）如图，点C是⊙O的弦AB上一点．若AC6，BC2，AB的弦心距为3，

则OC的长为（）

A．3B．4C．11D．13

2．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DEOB，AOC87，

则E等于（）

A．30B．29C．28D．27

3．（2023·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，PA、PB分别与O相切于A、B，P70，C为O上

一点，则ACB的度数为（）

A．110°B．120°C．125°D．130°

4．（2023·安徽合肥·一模）如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若BAC28，

则D的度数是（）

A．56B．58C．62D．72

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5．（2023·陕西西安·西北大学附中校考三模）如图，在Rt△ABC中，ACBC，ACB90，以点O为圆

心的量角器（半圆O）的直径和AB重合，零刻度落在点A处（即从点A处开始读数），点D是AB上一点，

连接CD并延长与半圆交于点P，若BDC72，则点P在量角器上的读数为（）

A．36B．54C．64D．72

6．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，AB是O的直径，C、D是O上的点，CDB20，

过点C作O的切线交AB的延长线于点E，则E等于（）

A．70B．50C．40D．20

7．（2023·安徽淮北·校联考一模）如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形ABCD内一点，连

接PA，PC，PD，若PAPD，则PC的最小值为（）

A．2134B．2103C．2D．4

8．（2023·河北衡水·校考二模）如图1，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽AB20米，长BC24

米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要

求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角

AMB45．甲、乙二人给出了找点M的思路，以及MC的值，下面判断正确的是()

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甲：如图2，在矩形ABCD中取一点O，使得OAOBOM，M即为所求，此时CM10米；

乙：如图3，在矩形ABCD中取一点O，使得OAOB，且AOB90，以O为圆心，OA长为半径画弧，

交CD于点M1，M2，则M1，M2均满足题意，此时MC8或12．

A．甲的思路不对，但是MC的值对B．乙的思路对，MC的值都对且完整

C．甲、乙求出的MC的值合在一起才完整D．甲的思路对，但是MC的值不对

9．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）如图，O的半径为2，OABC，CDA22.5，则弦BC

的长为___________．

10．（2022·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图四边形ABCD为O的内接四边形，ACBD于点E，若AB8，

CD6，则O的半径为_____．

11．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，点A，B，C，D在半径为5的O上，连接AB，BC，CD，AD．若

ABC108，则劣弧AC的长为________．

12．（2023·湖北孝感·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点

O重合，ABx轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90，则第2023次旋转结束时，

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点A的坐标为______．

13．（2022·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数

6

y(x0)图像上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线yx相交，交点为A、B，当弦AB

x

的长等于25时，点P的坐标为______．

14．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，D是等腰Rt△ABC的斜边BC边上一点，连接AD，作△ABD的外

10

接圆，并将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E恰好落在△ABD的外接圆上，若cosADB，

10

AB310．①BE_____②△ABD的外接圆的面积为__________（结果保留）

15．（2023·湖北省直辖县级单位·校考模拟预测）如图，在ABC中，ADBC，垂足是D．

(1)作ABC的外接圆O（尺规作图）；

(2)若AB8，AC6，AD5，求ABC的外接圆O半径的长．

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16．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，在