专题11 难点探究专题：整式中的规律探究问题压轴题七种模型全攻略（原卷版）

专题11难点探究专题：整式中的规律探究问题压轴题七种模型全攻略

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目录

【典型例题】...................................................................................................................................................1

【类型一数字类规律探索之单项式问题】......................................................................................................1

【类型二数字类规律探索之排列问题】..........................................................................................................2

【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】..................................................................................................3

【类型四数字类规律探索之新运算问题】......................................................................................................3

【类型五数字类规律探索之等式问题】..........................................................................................................4

【类型六图形类规律探索之数字问题】..........................................................................................................6

【类型七图形类规律探索之数量问题】..........................................................................................................7

【典型例题】

【类型一数字类规律探索之单项式问题】

1111

例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）观察这一系列单项式的特点：x2y，x2y2，x2y3，x2y4，…

24816

那么第8个单项式为（）

8897

128128128128

A．xyB．xyC．xyD．xy

2222

【变式训练】

aa2a3a4

1．（2023秋·全国·七年级专题练习）按一定规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式

35917

是（）

nnn1n1

1an1an1an1an

A．B．C．D．

2n12n112n12n11

2.（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）一组数据x，3x2，5x3，7x4，9x5…请按这种规律写出第十

个数是．

3．（2023秋·七年级课时练习）观察下列单项式：x,3x2,5x3,7x4,,37x19,39x20,．解决下列问题：

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(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？

(2)这组单项式的次数的规律是什么？

(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？

(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．

【类型二数字类规律探索之排列问题】

例题：（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为0．

（1）第5行第10列的数字是．

（2）数字2023在图中的第行，第列．

【变式训练】

1．（2023秋·全国·七年级专题练习）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，m的值

是（）

A．86B．52C．38D．74

2．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列三行数：

2，4，8，16，32，64，……

0，6，6，18，30，66，……

1

，1，2，4，8，16……

2

(1)第①行数第七个数是128，那么第二行数第七个数是_____，第三行第七个数是_____．

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(2)列式计算：取每行的第9个数，求这三个数的和．

【类型三数字类规律探索之末尾数字问题】

例题：（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列算式：301，313，329，3327，3481，

35243，36729，372187…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得32003的个位数字是（）

A．1B．3C．9D．7

【变式训练】

1（.2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）观察下列算式：①(x1)(x1)x21；②(x1)(x2x1)x31；

③(x1)(x3x2x1)x41寻找规律，并判断2(2011)2(2017)2221的值的末位数字为（）

A．1B．3C．5D．7

2.（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数

学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来

表示，即：212，224，238，2416，2532，……，请你推算212223242522023的个

位数字是（）

A．8B．6C．4D．2

12345

3．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）观察下列算式：33，39，327，381，3243，，

根据上述算式中的规律，你认为32023的末位数字是．

【类型四数字类规律探索之新运算问题】

例题：（2022·湖南株洲·统考二模）定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为3n5；（2）

nn

当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n58，第一

2k2k

次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，……；若n9，

则第2020次运算结果是（）

A．1B．2C．7D．8

【变式训练】

2

1.（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3

2a

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21

2

的“哈利数”是2，2的“哈利数”是，已知a14，a2是a的“哈利数”，a是a2的“哈利数”，

2322213

a4是a3的“哈利数”，．．．，依此类推，则a2022（）

23

A．4B．1C．D．

32

111

2．（2023秋·全国·七年级专题练习）一列数a1，a2，a3…an，其中a11，a2，a3，…，an，

1a11a21an

则a1a2a3a2020（）

A．1B．1C．2020D．2020

3.（2023秋·全国·七年级专题练习）已知整数a1，a2，a3，a4，……满足下列条件：a10，a2a11，

a3a21，a4a31…，以此类推，则a6的值为，a2022的值为

4．（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则fa3a1；若a

a8

为偶数，则fa，例如f535116，f84，若a10，afa，afa，

2212132

a4fa3，…，依此规律进行下去，得到一列数a1,a2,a3,a4,,an,（n为正整数），则

a1a2a3a2023．

【类型五数字类规律探索之等式问题】

例题：（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列等式：

112

第1个等式：．

1223123

112

第2个等式：．

2334234

112

第3个等式：．

3445345

……

按照以上规律，解决下列问题：

(1)请直接写出第4个等式：．

(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由．

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【变式训练】

1．（2023春·山东济南·七年级统考期中）已知x1，观察下列等式；

1x1x1x2；

1x1xx21x3；

1x1xx2x31x4；

…

(1)猜想：1x1xx2x3xn1________；

(2)应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：

①121222232425________；

②x1x2022x2021x2020x2x1________．

(3)求21002992982221的值是多少？

2．（2023春·云南昭通·七年级统考期中）小明计算：122223L2992100的过程如下：

解：令S122223L2992100①

则2S2222321002101②

②-①得

S21011

∴122223L299210021011

请参照小明的方法，计算：155253L5202252023．

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3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）找规律，完成下列各题：

111

(1)如图①，把正方形看作1，1．

244

1111

(2)如图②，把正方形看作1，1．

2488

1111

(3)如图③，把正方形看作1，1．

24816

11111

(4)计算：．

2481632

111111111

(5)计算：．

248163264128256512

【类型六图形类规律探索之数字问题】

例题：（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，根据图形中数的规律，可推断出a的值为（）

A．128B．216C．226D．240

【变式训练】

1．（2023春·山东济南·六年级统考开学考试）填在下面各方框中的三个数之间都具有相同的规律．根据图中

数字的规律，yx（）

2468

512177237228xy

A．450B．463C．465D．526

2（.2023春·贵州毕节·七年级统考期末）根据图中数字的规律，若第n个图中ABCD的值为196，则n

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（）

A．12B．13C．14D．15

3.（2022秋·河南周口·七年级校考期中）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据

此规律，则第n（n为正整数）个三角形中，用n表示y的式子为（）

A．2n+1B．2nnC．2n1nD．2nn1

【类型七图形类规律探索之数量问题】

例题：（2023·全国·七年级假期作业）用火柴棒按如图的方式搭图形．

(1)按图示规律完成下表：

图形标号①②③④⑤……

火柴棒根数59__________________……

(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？

(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？

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【变式训练】

1．（2023秋·河北张家口·七年