专题12 线段上的动点与几何图形动角的探究问题（2大基础题+6大提升题）-七年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

PAGE1专题12线段上的动点与几何图形动角的探究问题线段中动点问题多解题1．（23-24七年级上·江西九江·期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则．【答案】1或【知识点】与线段有关的动点问题、线段的和与差【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答．【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：

，，，，，，；当点N在线段AB的延长线上，如图：

，，，，综上所述：的值为1或，故答案为：1或．【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键．2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）在数轴上，O为原点，点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且．动点M从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点N从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒，当点O，M，N中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为．【答案】或33【知识点】线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，由点，之间的关系，可得出点对应的数为，当运动时间为秒时，动点对应的数为，动点对应的数为，分点是线段的中点及点是线段的中点两种情况考虑（由点在点，的右边，可得出只有这两种情况），根据中点到另外两点的距离相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【详解】解：∵点对应的数为3，点在点的左侧，且，∴点对应的数为．当运动时间为秒时，动点对应的数为，动点N对应的数为．当点是线段的中点，即时，，解得：；当点是线段的中点，即时，，解得：．综上所述，的值为或33．故答案为：或33．3．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知点、点是直线上的两点，厘米，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过秒时线段的长为6厘米．【答案】3或9或1【知识点】线段的和与差、两点间的距离【分析】分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段的长为6厘米即可．【详解】解：（1）点P、Q都向右运动时，（秒）；（2）点P、Q都向左运动时，（秒）；（3）点P向左运动，点Q向右运动时，（秒）；（4）点P向右运动，点Q向左运动时，（秒）．∴经过3或9或1秒时线段的长为6厘米．故答案为：3或9或1．【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．4．（21-22七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点，，在数轴上对应的数分别为，1，9．它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为秒．若，，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，则的值为．【答案】1或4或16．【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、与线段有关的动点问题【分析】当运动时间为t秒时，点A在数轴上对应的数为-2t-3，点B在数轴上对应的数为-t+1，点C在效轴上对应的数为-4t+9，然后分三种情况：点B为线段AC的中点、点C为线段AB的中点及点A为线段CB的中点，找出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：根据题意得：当运动时间为t秒时，点A始终在点B的左侧，点A在数轴上对应的数为-2t-3，点B在数轴上对应的数为-t+1，点C在数轴上对应的数为-4t+9，当点B为线段AC的中点时，-t+1-（-2t-3）=-4t+9-（-t+1），解得：t=1；当点C为线段AB的中点时，-4t+9-（-2t-3）=-t+1-（-4t+9），解得：t=4；当点A为线段CB的中点时，-2t-3-（-4t+9）=-t+1-（-2t-3）解得：t=16.故答案为：1或4或16．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．角中动态问题多解题1．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为（用含的代数式表示）．【答案】或【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，分在上方和下方两种情况解答：先求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可求解，根据题意，运用分类讨论思想进行解答是解题的关键．【详解】解：当在上方时，如图，∵，，∴，，∵平分，∴，∴；当在下方时，如图，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；∴的度数为或，故答案为：或．2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，平分．现有射线分别从同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转，则经过秒后，射线的夹角为．【答案】8或20【知识点】几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用．分，相遇之前与相遇之后分别讨论，求出结果即可．【详解】解：∵，平分，∴，设经过秒后，射线、的夹角为，∴或，解得：或．∵射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转，∴，∴，∴经过秒或秒后，射线、的夹角为．故答案为：8或20．3．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【动手操作】如图，为直线上一点，作射线使．将一个直角三角板按图1所示的方式摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，如图2所示．当所在直线恰好平分时，旋转时间为秒．【答案】4或10/10或4【知识点】角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据角平分线定义、平角的定义，列出方程是解答本题的关键．由平角的定义可得，然后根据角平分线的定义列出方程求解即可．【详解】解：∵，∴．∵所在直线平分，∴或．∵图1中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，∴或，解得：或．故答案为：4或10．4．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）如图，若，，，射线绕点O以每秒逆时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，射线绕点O每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，运动秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线．【答案】或或8【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，角度的计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．由题意可得，在旋转过程中，，，，根据角平分线的定义分四种情况讨论，分别解方程求解即可．【详解】解：设经过的时间为x秒，，，，在旋转过程中，，，，令，，解得：，．即当时，三条射线停止运动．①当为、夹角的角平分线时，．，解得：，此时，不合题意；②当为、夹角的角平分线时，．，解得：；③当为、夹角的角平分线时，．解得：；④当为、夹角的角平分线时，．解得：；综上可知，运动或或秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线，故答案为：或或8．线段上动点求时间问题1．（23-24七年级上·福建三明·期末）【知识准备】若数轴上两点所表示的数分别为，点为线段的中点，则有两点之间的距离，线段的中点所对的数为．（1）若，则______，______；【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为．（2）为何值时，中点所对应的数为3？（3）为何值时，两点相距4个单位长度？【答案】（1）；（2）为5时，中点所对应的数为3；（3）为或时，两点相距4个单位长度【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、线段中点的有关计算【分析】本题考查数轴综合问题，涉及非负式性质、非负式和为零成立的条件、数轴上线段中点坐标求法及两点之间距离表示等知识，熟练掌握数轴上两点之间距离及线段中点表示方法是解决问题的关键．（1）利用非负数性质及非负式和为零成立的条件解方程即可得到答案；（2）根据运动速度表示出，再由线段中点坐标表示列方程求解即可得到答案；（3）根据运动速度表示出，再由数轴上两点之间距离的表示方法，分情况列方程求解即可得到答案．【详解】解：（1），且，，且，解得，故答案为：；（2）设运动时间为，则表示的数为，表示的数为，中点所对应的数为3，，解得；（3）设运动时间为，则表示的数为，表示的数为，两点相距4个单位长度，分两种情况讨论如下：①当相遇前，，解得；②当相遇后，，解得；综上所述，当为或时，两点相距4个单位长度．2．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，点C是线段上一点，，，点P从点A处出发，以的速度沿向右运动，终点为点B处；点Q从点B处出发，以的速度沿向左运动，终点为点A处．已知点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P的运动时间为．(1)当点P运动到点C处时，线段的长度为__________；(2)当P，Q两点重合时，求t的值；(3)是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)值为4或7或．【知识点】线段中点的有关计算、行程问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了一元一次方程在线段上动点问题中的应用，线段的中点，能根据不同的中点进行分类讨论是解题的关键．（1）先求出当点P运动到点C处时，所用时间，再求出点Q移动的路程即可解答；（2）当、两点重合时，、两点运动的距离之和为线段的长；（3）分类讨论：①当点是线段的中点时，②当点是线段的中点时，③当点是线段的中点时．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为，（2）解：由题意可得：，，当、重合时，，解得：；（3）由题意可得：，①当点是线段的中点时，，解得：；②当点是线段的中点时，，解得：；③当点是线段的中点时，解得：；综上所述，满足条件的值为4或7或．3．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，点以每秒的速度从点沿向点运动，经过1秒后点以每秒的速度从点沿向点运动，当点到达点时，、同时停止运动，设点运动的时间为秒．(1)当时，求线段的长度；(2)当为何值时，线段的长为？(3)当为何值时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点？【答案】(1)(2)当为6或时，线段的长；(3)当为6，或时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点．【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查的是线段的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键．（1）先求解当时，，，再利用线段的和差运算即可得到答案；（2）利用线段的和差关系建立方程求解即可；（3）分三种情况：当点为的中点时，当点为的中点时，当点为的中点时，建立方程求解即可．【详解】（1）解：当时，，，∴．（2）由题意，，，当点在点左侧时，，解得；当点在点右侧时，，解得．综上所述，当为6或时，线段的长．（3）当点为的中点时，，解得；当点为的中点时，，解得；当点为的中点时，，解得．综上所述，当为6，或时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点．线段上动点定值问题1．（24-25七年级上·全国·假期作业）在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，．(1)求的长；(2)若点是的中点，用含的代数式表示的长；(3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值．【答案】(1)8(2)当时，；当时，．(3)是定值，理由见解析【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段中点的有关计算【分析】本题考查列代数式及数轴，熟知数轴上两点之间距离的计算公式是解题的关键．（1）根据数轴上两点之间距离的计算公式即可解决问题．（2）对点与点的位置进行分类讨论即可解决问题．（3）设运动时间为，用含有的代数式分别表示出及的长即可解决问题．【详解】（1）解：因为点，所表示的数分别是，6，所以．（2）解：因为点是的中点，所以，则点表示的数是2．当时，．当时，．（3）解：设运动的时间为，则点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，因为的中点为，所以点所表示的数为．因为中点为，所以点所表示的数为，所以，，，所以．2．（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点．(1)出发多少秒后，？(2)当P在线段上运动时，试说明为定值．(3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值．【答案】(1)出发6秒后；(2)，理由见解析；(3)选，，理由见解析．【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度．（1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可．（2），，，表示出后，化简即可得出结论．（3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断．【详解】（1）解：设出发x秒后，当点P在点B左边时，，，，由题意得，，解得：；当点P在点B右边时，，，，由题意得：，方程无解；综上可得：出发6秒后．（2）解：，，，；（3）解：选；，，，，定值；变化．3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）直线l上依次排列点A，B，C，D，已知，，点E是线段的中点，点F是线段的中点．

(1)如图1，当点B与点C重合时，求线段的长．(2)如图2，当线段从图1位置沿直线l向右运动时，的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由；(3)当线段从图1位置沿直线l向右平移a个单位长度时，若满足，则求a的值．【答案】(1)7(2)是定值，3(3)3【知识点】线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查与线段中点有关的计算，正确的识图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键．（1）根据中点的性质，求出的长，进而求出的长即可；（2）设的长为，根据线段的和与差，以及中点的性质，表示出的长，即可得出结论；（3）根据线段之间的和差关系，列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：当点B与点C重合时，则：，，∵点E是线段的中点，点F是线段的中点，∴，∴；（2）是定值；设的长为，则：，∵点E是线段的中点，点F是线段的中点，∴，∴，为定值．（3）由题意，得：，∴，∵点E是线段的中点，点F是线段的中点，∴，∴，∵，∴，∴．4．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为．【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______．【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点．①点表示的数是______（用含的代数式表示）；②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间；③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值．【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段中点的有关计算【分析】（）根据题意，求出，再根据结论解答即可求解；（）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可；根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解；根据两点之间的距离公式求出，得到，当时即可求出常数的值，进而求出定值．【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数，∴，，∴；线段的中点表示的数为；故答案为：；；（）秒后，点表示的数为，点表示的数为，∵点是线段的中点，∴点表示的数是，故答案为：；当点为中点时，则，解得，不合，舍去；当点为中点时，则，解得；当点为中点时，则，解得；∴运动时间的值为或；当点在点左侧时，，，∴，当时，∴，此时，定值．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键．几何图形中动角定值问题1．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．

(1)若，请说明射线是的角平分线；(2)射线在直线上方，平分，，①当时，求的度数②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①或；②存在；时，为定值【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】（1）先求出，根据，求出，求出，得出，即可证明结论；（2）①分两种情况：当在左侧时，当在左侧时，分别画出图形，求出结果即可；②根据，，得出一定在内部，得出，，表示出，得出结果即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴射线是的角平分线．（2）解：设度，则度，，①当在左侧时，如图所示：

则，∵平分，∴，∵，∴，解得：，∴；当在左侧时，如图所示：

，∴，∵平分，∴，∵，∴，解得：，∴；综上分析可知，或；②存在；∵，，∴一定在内部，如图所示：

∵，，又∵平分，∴，∵，，∴，∴当，即时，为定值．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的倍数关系，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．2．（23-24七年级上·福建福州·期末）点O在直线上，在直线的下方作射线、，满足（其中），将射线绕着点O逆时针旋转得到射线．(1)①如图1，当时，直接写出的度数_____；②若比大，求出的值；(2)如图2，若，射线从开始绕着O点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为t，射线是由射线绕O点逆时针旋转得到，作射线平分，当为定值时，求t的取值范围及对应的定值．【答案】(1)①；②或或(2)当时，，是定值【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用：（1）①根据题意并结合图形可得，代入数据计算即可；②分当，当时，当时，当时，四种情况画出图形讨论求解即可；（2）分当时，当时，两种情况画出图形分别求出即可得到答案．【详解】（1）解：①∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线，∴，∵，∴，∴的度数为，故答案为：；②当，∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线，∴，∵，比大，∴，∵，∴，解得：；当时，∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线，∴，∵，比大，∴，∵，∴，解得：；当时，此时，不符合题意；当时，∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线，∴，∵，比大，∴，∵，∴，解得：；综上所述，的值为或或；（2）解：①当时，如图，∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，∴，，，∴，，∴，∴，不是定值；当时，∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线，∴，，，∴，，∴，∴，是定值；综上所述，当时，，是定值．3．（23-24七年级上·福建三明·期末）已知，，平分，平分．(1)如图1，当、重合时，求的度数；(2)按以下条件探究：探究一：从图1所示位置绕点顺时针旋转到图2位置，的值是否为定值?若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由；探究二：当从图1所示位置绕点逆时针旋转时，是否存在，使得?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)探究一：的值是定值；探究二：【知识点】角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查的是角平分线的有关计算和角的和差计算，正确理解题意和角平分线的定义是解题关键，（1）根据角平分线的定义得，即可解出；（2）探究一：设，则，，求出值即可；探究二：先用含n的式子分别表示，再根据等式列方程并解方程即可解决．【详解】（1）解：当、重合时，，.，∵平分，∴.，∵平分，∴.，∴.；（2）解：探究一：的值是定值，理由如下：设，则，，∵平分，∴.，∵平分，∴.，∴，∴的值是定值；探究二：如图3，当时，，，，∴，∵平分，∴.∵平分，∴，∴.∵，∴，解得：，符合题意，∴．几何图形中动角数量关系问题1．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，把一副三角尺拼在一起，其中三角形是等腰直角三角形，，并且B，C，E三点在同一直线上．

(1)如图1，求的度数；(2)如图2，若射线，分别从，位置开始，同时绕点以每秒的速度顺时针匀速旋转，平分，平分，设旋转的时间为秒．①当时，的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；②当为何值时，？【答案】(1)；(2)①是，；②6秒或30秒．【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用；（1）根据三角形是等腰直角三角形，，得出，进而即可求解；（2）①当时，，．根据角平分线的定义可得，，进而求得，根据即可求解；②当时，由①可得，，．分别求得，根据建立方程，当时，同理可得，根据建立方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵三角形是等腰直角三角形，，．．（2）①的度数是等于一个定值为，理由如下．，旋转速度相同，设，当时，则，．平分，．平分，．．．②当时，由①可得，，．．当时，则，解得．秒．

当时，，旋转速度相同，设，，，．平分，．平分，．．．当时，则，解得．．综上，秒或30秒时，．

2．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）如图，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：

(1)填空：如图，，，三点共线，且，则______°；(2)第三节腿部运动中，如图，洋洋发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请判断洋洋的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由；(3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图．运动停止时，直接写出______；请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系．【答案】(1)；(2)小田的发现是正确的，这个定值是；(3)；当时，；当时，．【知识点】几何图形中角度计算问题【分析】（）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出；（）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解；（）算出运动停止时间，求出运动的角度，进而求出度数；由的运动过程可知，需要分类讨论，在点，，三点共线前和点，，三点共线后，分别求解即可；本题考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系．【详解】（1）如图，∵，，三点共线，∴，∵，∴，故答案为：；（2）小田的发现是正确的，这个定值是，理由，如图，∵，设，则，∴，，∴，∴小田的发现是正确的，这个定值是；（3）如图，∵，∴，，设运动时间为，则，则，运动停止时，即时，如图，旋转的角度为，∴，故答案为：；当点，，三点共线时，；∴当时，，，∴；当时，，，∴，综上，当时，；当时，．3．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知是直线上的一点，是直角，平分．【猜想】如图1，当的两边在直线同侧时，小明通过实验测量得到与的相关数量，如下表：猜想与的数量关系．【探究】小明将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．探究和的数量关系是否符合【猜想】中的结论，并说明理由．【拓展】将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点顺时针旋转，旋转的速度为每秒10度，旋转时间秒（），为的角平分线，当时，求的值．

【答案】猜想：；探究：符合，理由见解析；拓展：的值为3或15【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】猜想：由角平分线的定义结合角的和差运算可得，而，从而可得结论；探究：设，则，由角平分线可得，再结合角的和差运算可得结论；拓展：分两种情况讨论：①当时，，则，②当时，，则，再建立方程求解即可．【详解】解：猜想：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，探究：符合，理由如下：如图，

设，则，∵平分，∴，∵，∴，∴，拓展：①当时，，则，

∵为的角平分线，，∴，∵平分，∴，∴，∴，②当时，，则，

∵为的角平分线，，∴，∵平分，∴，∴，∴．综上所述，的值为3或15．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，熟练的利用方程解决问题是解本题的关键．4．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）【思路导引】几何图形的运动中伴随着一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”．遇这类问题的分析思路是：了解图形运动的全过程，“动中见静”，寻找运动变化的过程中不变性及变化规律．如“角”，可以看成是由一条射线绕它的端点旋转而成的．【问题情境】已知：是由射线绕点O旋转而成，始边与终边所成的角的度数为α（α为锐角），射线，绕点O运动．【特例感知】（1）如图1，射线是的角平分线，若，求∠AOE的度数；（2）如图2，射线OE在的内部时，射线平分，射线平分，求的度数．（用含α的代数式表示）【探索发现】（3）射线、射线绕点O运动到直线上方，且射线与射线在射线的两侧，的度数为，射线在的内部，的度数为m，平分，求的度数．（用含m，n，α的代数式表示）【答案】（1）；（2）；（3）或或．【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论思想，观察图形得出角之间的数量关系是解题的关键。（1）根据角平分线的定义计算即可；（2）根据角平分线的定得出，即可得出，从而求出的度数。（3）先求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，再根据图形分情况讨论计算即可【详解】解：（1）射线是的角平分线，，，，；（2）射线平分，射线平分∠BOE，，，；（3）如图3，，，，平分，，，；如图4，，，，平分，，，；如图5，，，，平分，，，；综上，的度数为或或．几何图形中动角求运动时间问题1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图，点O在直线上，，把直角三角板按如图位置放置，和重合．(1)求的度数．(2)把三角板绕点O逆时针旋转，转速是秒，求旋转5秒时的度数．(3)在（2）的情况下，射线同时以秒的速度逆时针转动，当和第一次重合停止转动，求当时，时间t是多少？【答案】(1)(2)(3)或27【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题【分析】本题考查的是几何图形中角的和差关系，角的动态定义的理解，一元一次方程的应用，“数形结合与利用一元一次方程解决动态几何问题”是解本题的关键．（1）根据平角的概念求解即可；（2）根据题意列式求解即可；（3）根据题意分还没追上和追上后两种情况讨论，然后分别列出一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：∵，∴；（2）解：由题意得；（3）解：当还没追上时，，解得；当追上后，，解得；综上所述，或27．2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，射线从开始，绕点以每分钟的速度逆时针旋转，射线从开始，绕点以每分钟的速度逆时针旋转，和同时旋转，设旋转时间为分钟．(1)当为何值时，射线与重合；(2)当为何值时，射线；(3)若在射线与旋转的过程中，射线同时绕着点以每分钟的速度顺时针旋转，是否存在某个时刻，使射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)当为时，射线与重合(2)当为或时，(3)、或【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题由角的边的旋转考查了角的和差运算，角平分线的定义；（1）当与重合时，根据角度关系可知，利用题中射线的旋转速度，由角度时间旋转速度，列出方程，求解即可得到射线与重合时的时间；（2）当时，可分为两种情况，当位于的右边时：；当位于左边时：，列出对应的方程，求解即可；（3）分三种情况来考虑，当为角平分线时，当为角平分线时，当为角平分线时，分别列方程求解即可．【详解】（1）解：由题意得，，解得，即当分钟时，射线与重合；（2）当位于的右边时：，则可得，解得分钟；当位于左边时：，则可得，解得分钟；故当或时，∠；（3）存在，依题意，当为角平分线时：，则可得，解得分钟；当为角平分线时：，则可得，解得分钟；当为角平分线时：，则可得，解得分钟故当或或分钟时，射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线3．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图1是某游乐园的摩天轮的结构图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30分钟．如图2是摩天轮的主视图，座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为表示的是摩天轮的支架，且．(1)摩天轮每分钟转动____________°，____________°；(2)如图2，在某一时刻，连接点转动到的内部，此时．①求此时的的度数；②求当第一次平分时，摩天轮的转动时间以及此时的度数；③设摩天轮转动的时间为t，在连接点到达到最高处前，是否存在的时刻？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)12；45(2)①；②转动时间为，；③存在，t的值为或【知识点】角平分线的有关计算、实际问题中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用)【分析】本题考查角度的和差计算，一元一次方程的几何应用，角平分线的相关计算等知识，理解各角之间的数量关系和正确表示出各角是解题的关键．（1）利用转动一周的时间和周角的大小即可求出摩天轮每分钟转动的角度，根据周角平分成16份，而占其中的两份即可得解；（2）①结合图形，利用角度的和差关系即可得解；②作的角平分线交AB于，则，从而求出转动的角度，继而求出转动时间，同时转动的角度也是，从而求出；③用t表示出和，再利用列方程求解即可．【详解】（1）解：依题意得：摩天轮每分钟转动的角度是：，，故答案为：12；45；（2）①∵，，∴，又∵，∴；②作的角平分线交AB于，则，∴，即转动的角度是，∴转动时间为，转动的角度也是，∴等于转动的角度减去原来的角度，即；③存在，t的值为或，理由如下：∵是的角平分线，∴，∴，∴点到达到最高处时，时间为：，∴．依题意得：，，∵，即，解得：或，∴存在，t的值为或．线段与角中动态的新定义型问题1．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”．【问题感知】（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）【问题初探】（2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________；【问题推广】（3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可）【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，；【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、列代数式【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键．（1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可；（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；（3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可．【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义，故答案为：是；（2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论：当时，如图，∵，∴；当时，如图，∵∴；当时，如图，∵，∴；综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”．（3）∵射线是的“量尺金线”，∴在的内部，∴在的外部；分三种情况：①如图，当时，如图所示：∴，∴；②如图，当时，如图所示：∴，∴；③当时，如图所示：∵，∴，∴；综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”．2．（23-24七年级上·江西上饶·期末）如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“倍角线”．(1)一个角的平分线________这个角的“倍角线”；（填“是”或“不是”）(2)平面内，若射线绕点O从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转．当与首次成时停止旋转，旋转的时间为t秒．①如图2，若，求当t为何值时，射线是的“倍角线”；②如图3，若，射线同时从原的位置绕点O以每秒的速度逆时针旋转并与同时停止，请直接写出当射线是的“倍角线”时t的值．【答案】(1)是(2)①；②t为或10【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算【分析】本题考查了角的“倍角线”的定义，一元一次方程的应用，正确理解角的“倍角线”的定义、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．（1）根据角平分线的定义、角的“倍角线”的定义解答；（2）分、、三种情况，根据角的“倍角线”的定义解答；（3）仿照（2）的作法解答即可．【详解】（1）如果平分，那么，∴一个角的平分线是这个角的“倍角线”，故答案为：是；（2）①由题意得：，当（或）时，，解得：；当时，，解得：；当时，，解得：；综上所述：当时，射线是的“倍角线”；②当t为或10时，射线是的“倍角线”．由题意得：，，当时，，解得：；当时，，解得：；当时，，解得：（不合题意）；综上所述：当t为或10时，射线是的“倍角线”．3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作．【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________；若，，则_________．(2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动．①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当为何值时，；③若时，，则___________．【答案】(1)；18(2)①；②；③或【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段的数量关系，解题关键在于理解新定义，根据新定义列出方程即可．