人教A版高中数学选择性必修第一册第一章1.4.1第3课时空间中直线、平面的垂直课件

第3课时空间中直线、平面的垂直第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系整体感知[学习目标]

1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象)2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的垂直关系．(逻辑推理、数学运算)(教师用书)我们知道，一个平面可用空间一点与该平面的法向量来确定．观察图片，图中旗杆所在的直线和地面垂直，那么如何用向量来表示二者的关系呢？[讨论交流]

问题1．空间直线、平面垂直的向量表示是什么？问题2．用向量解决空间线面垂直问题的一般步骤是什么？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1直线与直线垂直探究问题1如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？[提示]

垂直．[新知生成]两直线垂直的判定方法设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔__________⇔___________．【教用·微提醒】

(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直．(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.u1⊥u2u1·u2＝0

反思领悟

向量法证明线线垂直的思路方法用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种：(1)坐标法：用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0.(2)基向量法：将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0.[学以致用]

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a.若AE⊥PB于点E，求证：DE⊥PB．

探究2直线与平面垂直探究问题2如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？[提示]

平行(共线)．[新知生成]直线和平面垂直的判定方法设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔_________⇔∃λ∈R，使得________．【教用·微提醒】

证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可．u∥nu＝λn【链接·教材例题】例4如图1.4-14，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.

[典例讲评]

2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．

法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)．

[母题探究]若本例条件不变，求证：A1C⊥平面AD1B1.

反思领悟

证明线面垂直的方法(1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零．(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零．(3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线．[学以致用]

2．如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．

探究3平面与平面垂直探究问题3设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？[提示]

垂直．[新知生成]平面和平面垂直的判定方法设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔______⇔_________．【教用·微提醒】

利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．n1⊥n2n1·n2＝0【链接·教材例题】例5证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．已知：如图1.4-15，l⊥α，l⊂β，求证：α⊥β.[证明]取直线l的方向向量u，平面β的法向量n.因为l⊥α，所以u是平面α的法向量．因为l⊂β，而n是平面β的法向量，所以u⊥n.所以α⊥β.[典例讲评]

3．(源自湘教版教材)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．求证：平面BEF⊥平面ABC．

反思领悟

证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理将问题转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．[学以致用]

3．如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．求证：平面EFG⊥平面PBC．

【教用·备选题】如图(1)所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD．

应用迁移23题号41

√B

[∵l1⊥l2，∴a·b＝1×(－2)＋2×3－2m＝0，解得m＝2.]23题号41

√

23题号413．(多选)已知直线l的方向向量为μ，两个不重合的平面α，β的法向量分别为n1，n2，则(

)A．若μ∥n1，则l⊥αB．若μ·n1＝0，则l∥αC．若n1∥n2，则α∥βD．若n1·n2＝0，则α⊥β√√√23题号41

23题号414．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．5

[∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.]5

1．知识链：(1)利用向量证明直线和直线垂直．(2)利用向量证明直线和平面垂直．(3)利用向量证明平面和平面垂直．2．方法链：转化法、向量法．3．警示牌：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．两直线垂直的向量表达式是什么？[提示]

设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.2．直线和平面垂直的向量表达式是什么？[提示]

设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.3．平面和平面垂直的向量表达式是什么？[提示]

设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.4．证明线面垂直有哪些方法？[提示]

(1)基底法：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，然后再证明它们垂直．(2)坐标法，利用线线垂直：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量和平面内两条不共线向量用坐标表示，再证明它们垂直．(3)坐标法，利用平面的法向量：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量的坐标，然后证明它们平行．课时分层作业(九)空间中直线、平面的垂直题号135246879101112131415一、选择题1．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程(

)A．y－z＝0

B．2y－z－1＝0C．2y－z－2＝0

D．z－1＝0√

题号135246879101112131415题号1352468791011121314152．已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是(

)A．x＝1，y＝3

B．x＝4，y＝3C．x＝2，y＝4

D．x＝0，y＝2√C

[由题意a·b＝－28＋4x＋5y＝0，即4x＋5y＝28，代入各选项中的值计算，只有C满足2×4＋4×5＝28.故选C．]题号3524687910111213141513．已知直线l经过点A(1，1，2)，B(0，1，0)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则(

)A．l∥α

B．l⊥αC．l⊂α

D．l与α相交，但不垂直√

题号352468791011121314151

√√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151二、填空题6．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD长为________．

5

题号352468791011121314151

题号3524687910111213141517．已知空间直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的法向量n＝(2，3，3)．若l⊥α，则a＋b＝________．

2题号3524687910111213141518．已知A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是____________．

(－1，0，2)

题号352468791011121314151三、解答题9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．求证：EF⊥平面PAB．题号352468791011121314151

题号35246879101112131415110．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比值为(

)A．1∶2

B．1∶1

C．3∶1

D．2∶1√

题号352468791011121314151题号35246879101112131415111．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(

)A．和AC垂直B．和AA1垂直C．和MN垂直D．与AC，MN都不垂直√√题号352468791011121314151

题号35246879101112131415112．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(

)A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为