人教A版高中数学选择性必修第二册第五章5-2-1基本初等函数的导数课件

5.2.1基本初等函数的导数第五章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算整体感知[学习目标]

1．了解利用定义求函数的导数．(数学运算)2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算)3．能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)

[讨论交流]

问题1．几个常用函数的导数是什么？问题2．基本初等函数有哪几类？问题3．基本初等函数的导数公式是什么？[自我感知]经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构

探究问题2当x0在定义域内任意取值时，问题1中的f′(x0)的值如何？

[新知生成]1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x22．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝__________f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝___________f(x)＝exf′(x)＝____f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f(x)＝lnxαxα-1cosx－sinxaxlnaex

探究2利用导数公式研究曲线的切线方程[典例讲评]

2．(源自人教B版教材)已知函数f(x)＝x2，而l是曲线y＝f(x)的切线，且l经过点(2，3)．(1)判断(2，3)是不是曲线y＝f(x)上的点；(2)求l的方程．[思路导引]利用导数的几何意义求解，但要注意点(2，3)不在曲线上，应另设切点求解．

[母题探究]

1．将本例变为“求曲线f(x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”处的切线方程．[解]

由题意f′(x)＝－2x-3，所以曲线f(x)＝x-2在点(a，a-2)处的切线方程为y－a-2＝－2a-3(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2.2．将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线”，试求k的值．

√发现规律

(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线______就是该点处的导数．②如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤斜率[学以致用]

2．(1)函数y＝x3的图象在点(2，8)处的切线方程为(

)A．y＝12x－16

B．y＝12x＋16C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16(2)已知曲线y＝lnx的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为________．√－1

探究3导数公式的实际应用【链接·教材例题】例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)之间的关系为p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)?[解]

根据基本初等函数的导数公式表，有p′(t)＝1.05tln1.05.所以p′(10)＝1.0510ln1.05≈0.08.所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．

[典例讲评]

3．从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cost表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．[解]

由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒、第7秒时的电流强度分别是－sin5安，－sin7安．反思领悟

由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．这种变化率在描述经济变化率、物理变化率、化学变化率等方面有着广泛的应用．[学以致用]

3．某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln1.1≈0.095)[解]

由题意得p′(t)＝1.1tln1.1，所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，所以在第5个年头，该城市房价上涨的速度大约是0.15万元/年．243题号1应用迁移√

C

[常数的导数等于0.故选C.]23题号14

√

√23题号41√

√243题号1

11．知识链：(1)常用函数的导数．(2)基本初等函数的导数公式及应用．(3)利用导数研究曲线的切线方程．2．方法链：方程思想、待定系数法．3．警示牌：因公式变形不够彻底导致求导错误．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何理解常见的几个幂函数的求导？[提示]

几个常见幂函数的求导，也包括根式函数的求导，都可以统一为f(x)＝xα，f′(x)＝αxα-1.2．对于三角函数关系式，如何求导？[提示]

对含有三角函数式的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．3．求函数“在”或“过”某点处的切线方程时，有什么策略？遵循什么步骤？[提示