9.5 第4课时 因式分解的方法 习题练

苏科版七年级下9.5.4多项式的因式分解

因式分解的方式第九章整式乘法与因式分解温馨提示：点击进入讲评习题链接1234567810119分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四

“变”的步骤，即首先看有无公因式可提，其次看能否直接

利用乘法公式.若前两个步骤不能实施，则可用分组分解法，

分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续

分解.若上述方法都行不通，则可以尝试用配方法、换元法、

待定系数法、试除法、拆项(添项)法等解决问题.方法1

提公因式法1.若m＋2n＝1，则3m2＋6mn＋6n的值为

⁠.3

2.把下列各式分解因式：(1)－3ma3＋6ma2－12ma；(2)(m－n)(2m＋n)＋(m－n)(4m＋3n)；(3)x(x－y)(a－b)－y(y－x)(b－a).【解】原式＝－3ma(a2－2a＋4).原式＝(m－n)(2m＋n＋4m＋3n)＝(m－n)(6m＋4n)＝2(m

－n)(3m＋2n).原式＝x(x－y)(a－b)－y(x－y)(a－b)＝(x－y)·(a－b)(x－y)

＝(x－y)2(a－b).

方法2

公式法4.(母题：教材P87练一练T2)

把下列各式分解因式：(1)4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2；【解】原式＝[2(a－b)－3a]2＝(－a－2b)2＝(2b＋a)2.(2)(x2＋1)2－4x2；【解】原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2.(3)(m＋n)2－4(m＋n－1).原式＝(m＋n)2－4(m＋n)＋4＝(m＋n－2)2.5.利用因式分解计算：662－6600＋2500.【解】原式＝662－2×66×50＋502＝(66－50)2＝256.方法3

分组分解法6.[2023·绥化]因式分解：x2＋xy－xz－yz＝

⁠.(x＋y)(x－z)

7.观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因

式分解：

甲：x2－xy＋4x－4y

＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组)

＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式)

＝(x－y)(x＋4).

乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组)＝a2－(b－c)2(直接运用公式)＝(a＋b－c)(a－b＋c).请你在他们的解法的启发下，把下列各式分解因式：(1)m3－2m2－4m＋8；【解】m3－2m2－4m＋8＝m2(m－2)－4(m－2)＝(m－2)(m2－4)＝(m－2)(m＋2)(m－2)＝(m＋2)(m－2)2.【解】x2－2xy＋y2－9＝(x－y)2－32＝(x－y＋3)(x－y－3).(2)x2－2xy＋y2－9.方法4

十字相乘法8.

［新考法

阅读类比法］阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3.(1)二次项系数2＝1×2，常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，(2)验算“交叉相乘之和”：1×3＋2×(－1)＝1，1×(－1)＋2×3＝5，1×(－3)＋2×1＝－1，1×1＋2×(－3)＝－5.(3)发现③的“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数－1，则

2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3).像这样，通过十字交叉线的帮

助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

仿照以上方法，分解因式：3x2＋5x－12＝

⁠⁠.【点拨】

根据“十字相乘法”分解因式得出3x2＋5x－12＝(x＋3)(3x－4).(x＋3)(3x－4)

方法5

换元法9.下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式

分解的过程.解：设x2－4x＝y，则原式＝(y＋2)(y＋6)＋4

(第一步)

＝y2＋8y＋16(第二步)

＝(y＋4)2(第三步)

＝(x2－4x＋4)2.(第四步)回答下列问题：(1)该同学因式分解的结果是否彻底？

.(填“彻

底”或“不彻底”)

若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：

⁠.

不彻底(x－2)4

(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(m2－2m)(m2－2m＋2)

＋1进行因式分解.【解】设m2－2m＝n，则原式＝n(n＋2)＋1＝n2＋2n＋1＝

(n＋1)2＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.方法6

拆项法10.阅读并解答.在分解因式x2－5x＋6时，李老师是这样做的：

x2－5x＋6

＝x2－4x＋4－x＋2

(第一步)

＝(x－2)2－(x－2)

(第二步)

＝(x－2)(x－2－1)

(第三步)

＝(x－2)(x－3).

(第四步)(1)从第一步到第二步运用了

⁠公式；(2)从第二步到第三步运用了

⁠；(3)仿照上面的方法分解因式：x2＋2x－3.【解】x2＋2x－3＝x2＋3x－x－3＝x(x＋3)－(x＋3)＝(x－1)(x＋3).完全平方提公因式法方法7

配方法11.阅读下面文字内容：对于二次三项式x2＋4x－5，就不能直接用完全平方公式

分解了.对此，我们可以添上一项4，使它与x2＋4x构成一

个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不

变，即x2＋4x－5＝(x2＋4x＋4)－4－5＝(x＋2)2－9＝(x＋

2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1).其中涉及的把一个二次三项

式变成含有完全平方式的式子的方法，叫做配方法.请用配方法来解下列问题：(1)已知x2＋y2－8x＋12y＋52＝0，求(x＋y)2的值；(2)求x2＋8x＋7的最小值.

【解】由x2＋y2－8x＋12y＋52＝0，得(x2－8x＋16)＋(y2＋12y＋36)＝0，则(x－4)2＋(y＋6)2＝0.所以x－4＝0，y