4.4函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用

§4.4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用最新考纲考情考向分析1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0

3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径知识拓展1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象是由y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq\f(π,2)个单位长度得到的．(√)(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(×)(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq\f(T,2).(√)(4)由图象求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(√)题组二教材改编2．[P55T2]为了得到函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象()A．向右平移eq\f(π,6)个单位长度B．向右平移eq\f(π,3)个单位长度C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度D．向左平移eq\f(π,3)个单位长度答案A3．[P58A组T3]函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的振幅、频率和初相分别为()A．2,4π，eq\f(π,3) B．2，eq\f(1,4π)，eq\f(π,3)C．2，eq\f(1,4π)，－eq\f(π,3) D．2,4π，－eq\f(π,3)答案C解析由题意知A＝2，f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)＝eq\f(1,4π)，初相为－eq\f(π,3).4．[P62例4]如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]解析从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝eq\f(1,2)×(30－10)＝10，b＝eq\f(1,2)×(30＋10)＝20，又eq\f(1,2)×eq\f(2π,ω)＝14－6，所以ω＝eq\f(π,8).又eq\f(π,8)×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝eq\f(3π,4)，所以y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]．题组三易错自纠5．要得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移eq\f(π,12)个单位长度 B．向右平移eq\f(π,12)个单位长度C．向左平移eq\f(π,3)个单位长度 D．向右平移eq\f(π,3)个单位长度答案B解析∵y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，∴要得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移eq\f(π,12)个单位长度．6．(2016·全国Ⅰ)将函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq\f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))答案D解析函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的周期为π，将函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq\f(1,4)个周期即eq\f(π,4)个单位长度，所得函数为y＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，故选D.7．(2018·长春模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为____________________．答案f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))解析由题图可知A＝eq\r(2)，eq\f(T,4)＝eq\f(7π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,4)，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋φ)，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，－\r(2)))为最小值点，所以2×eq\f(7π,12)＋φ＝2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，所以φ＝2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，又|φ|＜π，所以φ＝eq\f(π,3).故f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换典例已知函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．解(1)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的振幅A＝2，周期T＝eq\f(2π,2)＝π，初相φ＝eq\f(π,3).(2)令X＝2x＋eq\f(π,3)，则y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝2sinX.列表如下：x－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)X0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝sinX010－10y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))020－20描点画出图象，如图所示：(3)方法一把y＝sinx的图象上所有的点向左平移eq\f(π,3)个单位长度，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象；再把y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象；最后把y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象．方法二将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得到y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象；再将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象．思维升华(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．(2)由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练(1)(2018·石家庄调研)若把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度，所得到的图象与函数y＝cosωx的图象重合，则ω的一个可能取值是()A．2B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)答案A解析y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(ω,3)π－\f(π,6)))和函数y＝cosωx的图象重合，可得eq\f(ω,3)π－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.∴2是ω的一个可能值．(2)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移eq\f(π,4)个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．答案y＝cos2x解析由y＝sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin2x，再向左平移eq\f(π,4)个单位长度得y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，即y＝cos2x.

题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式典例(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝________________.答案2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))解析由题图可知，A＝2，T＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))))＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6)，所以函数的解析式为y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))取得最小值时x的集合为________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))解析根据所给图象，周期T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,3)))＝π，故π＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)，0))，代入有2×eq\f(7π,12)＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|<eq\f(π,2)，得φ＝－eq\f(π,6)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，当2x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即x＝－eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)时，y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))取得最小值．思维升华y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练(2018·石家庄质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))对称，则m的值可能为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,2)C.eq\f(7π,6) D.eq\f(7π,12)答案D解析依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋B＝\f(3\r(3),2)，,－A＋B＝－\f(\r(3),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\r(3)，,B＝\f(\r(3),2)，))eq\f(T,2)＝eq\f(π,ω)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，故ω＝2，则f(x)＝eq\r(3)sin(2x＋φ)＋eq\f(\r(3),2).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，故eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即φ＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)．因为|φ|<eq\f(π,2)，故φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(\r(3),2).将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)＋2m))＋eq\f(\r(3),2)的图象，又函数g(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))对称，即h(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)＋2m))的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))对称，故eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,6)＋2m))＝0，即eq\f(5π,6)＋2m＝kπ(k∈Z)，故m＝eq\f(kπ,2)－eq\f(5π,12)(k∈Z)．令k＝2，则m＝eq\f(7π,12).题型三三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型典例如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10答案C解析由题干图得ymin＝k－3＝2，则k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.命题点2函数零点(方程根)问题典例已知关于x的方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．答案(－2，－1)解析方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋eq\r(3)sin2x＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).设2x＋eq\f(π,6)＝t，则t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)π，\f(13,6)π))，∴题目条件可转化为eq\f(m,2)＝sint，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)π，\f(13,6)π))有两个不同的实数根．∴y1＝eq\f(m,2)和y2＝sint，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)π，\f(13,6)π))的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，eq\f(m,2)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))，故m的取值范围是(－2，－1)．引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．答案[－2,1)解析由上例题知，eq\f(m,2)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．

命题点3三角函数图象性质的综合典例(2017·潍坊模拟)已知函数f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为eq\f(π,2).(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))，求当m取得最小值时，g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(7π,12)))上的单调递增区间．解(1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为eq\f(π,2)，得函数f(x)的最小正周期为T＝2×eq\f(π,2)＝eq\f(2π,2ω)，得ω＝1，故函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋m＋\f(π,3)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2m＋\f(π,3)))的图象，根据g(x)的图象恰好经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))，可得eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2m＋\f(π,3)))＝0，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m－\f(π,3)))＝0，所以2m－eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，m＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)，因为m>0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为eq\f(π,6).此时，g(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))).因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(7π,12)))，所以2x＋eq\f(2π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(11π,6))).当2x＋eq\f(2π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，－\f(π,12)))时，g(x)单调递增，当2x＋eq\f(2π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(11π,6)))，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(7π,12)))时，g(x)单调递增．综上，g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(7π,12)))上的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，－\f(π,12)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(7π,12))).思维升华(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．跟踪训练(1)(2018·兰州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2eq\r(2)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，则函数f(x)的解析式为__________．答案f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6)))解析据已知两个相邻最高点和最低点的距离为2eq\r(2)，可得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))2＋1＋12)＝2eq\r(2)，解得T＝4，故ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,2)，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋φ)).又函数图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，故f(2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)×2＋φ))＝－sinφ＝－eq\f(1,2)，又－eq\f(π,2)≤φ≤eq\f(π,2)，解得φ＝eq\f(π,6)，故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)＋\f(π,6))).(2)若函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)满足f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，且函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为________．答案π解析∵f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，∴x＝eq\f(π,6)是f(x)图象的一条对称轴，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝±1，∴eq\f(π,6)×ω＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝eq\f(π,3k＋1)(k∈Z)．又f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有且只有一个零点，∴eq\f(π,6)≤eq\f(T,4)≤eq\f(π,2)－eq\f(π,6)，∴eq\f(2π,3)≤T≤eq\f(4π,3)，∴eq\f(2π,3)≤eq\f(π,3k＋1)≤eq\f(4π,3)(k∈Z)，∴－eq\f(1,12)≤k≤eq\f(1,6)，又∵k∈Z，∴k＝0，∴T＝π.三角函数图象与性质的综合问题典例(12分)已知函数f(x)＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨(1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期；(2)将f(x)解析式中的x换成x－eq\f(π,6)，得g(x)，然后利用整体思想求最值．规范解答解(1)f(x)＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－sin(x＋π)＝eq\r(3)cosx＋sinx[3分]＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，[5分]于是T＝eq\f(2π,1)＝2π.[6分](2)由已知得g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，[8分]∵x∈[0，π]，∴x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，[10分]∴g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))∈[－1,2]．[11分]故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步：(化简)将f(x)化为asinx＋bcosx的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝eq\r(a2＋b2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx·\f(a,\r(a2＋b2))＋cosx·\f(b,\r(a2＋b2))))；第三步：(求性质)利用f(x)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)研究三角函数的性质；第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.1．(2017·全国Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C2答案D解析因为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).故选D.2．(2018·洛阳统考)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()A.eq\f(π,8) B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,8) D.eq\f(5π,4)答案C解析f(x)＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)－2φ))，且该函数为偶函数，故2φ＋eq\f(π,4)＝kπ(k∈Z)，所以φ的最小正值为eq\f(3π,8).3．(2017·衡水中学模拟)若函数y＝sin(ωx－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．ω＝2，φ＝eq\f(π,3) B．ω＝2，φ＝－eq\f(2π,3)C．ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,3) D．ω＝eq\f(1,2)，φ＝－eq\f(2π,3)答案A解析由题图可知，T＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))))＝π，所以ω＝eq\f(2π,T)＝2，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)－φ))＝0，所以eq\f(π,3)－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝eq\f(π,3)－kπ(k∈Z)，而|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，故选A.4．(2018·湖南四校联考)函数y＝sinx－eq\r(3)cosx的图象可由函数y＝sinx＋eq\r(3)cosx的图象至少向右平移的单位长度是()A.eq\f(π,2) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,4)答案B解析y＝sinx－eq\r(3)cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，y＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，因此至少向右平移eq\f(2π,3)个单位长度得到．5．(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则a的最小值是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)答案B解析依题意得f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，因为函数f(x－a)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a－\f(π,6)))的图象关于y轴对称，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a－\f(π,6)))＝±1，a＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即a＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，因此正数a的最小值是eq\f(π,3)，故选B.6．函数f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值为()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案A解析由函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ＋\f(π,3)))的图象，因为是奇函数，所以φ＋eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，又因为|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以当x＝0时，f(x)取得最小值－eq\f(\r(3),2).7．(2017·青岛质检)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移eq\f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________．答案y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10)))解析y＝sinxeq\o(→,\s\up10(向右平移\f(π,10)个单位长度))y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))eq\o(→,\s\up10(横坐标伸长到),\s\do5(原来的2倍))y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10))).8．(2017·河南洛阳统考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，－1))，则f(x)＝________.答案2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))解析由已知得eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)，∴T＝eq\f(2π,3)，又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝3.∵f(0)＝1，∴sinφ＝eq\f(1,2)，又∵0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))(经检验满足题意)．9．(2018·济南模拟)已知函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))，其中x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，m))，若f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),2)))，则m的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)，\f(5π,18)))解析画出函数的图象如图所示．由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，m))，可知eq\f(5π,6)≤3x＋eq\f(π,3)≤3m＋eq\f(π,3)，因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)))＝cosπ＝－1，要使f(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),2)))，只要eq\f(2π,9)≤m≤eq\f(5π,18)，即m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)，\f(5π,18))).10．(2018·长春调研)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．答案eq\f(\r(π),2)解析f(x)＝sinωx＋cosωx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))，因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以ω2＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤eq\f(\f(2π,ω),2)，即ω2≤eq\f(π,2)，即ω2＝eq\f(π,4)，所以ω＝eq\f(\r(π),2).11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，图象上与点P最近的一个最高点是Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，5)).(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间．解(1)依题意得A＝5，周期T＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,π)＝2.故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，∴5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝0，由已知可得eq\f(π,6)＋φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,6)，∴y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(2)由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z，故函数f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．12．(2017·合肥质检)已知函数f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))＋a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a和ω的值；(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．解(1)f(x)＝4cosωx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))＋a＝4cosωx·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinωx＋\f(1,2)cosωx))＋a＝2eq\r(3)sinωxcosωx＋2cos2ωx－1＋1＋a＝eq\r(3)sin2ωx＋cos2ωx＋1＋a＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＋1＋a.当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a.又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1.又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f(x)的最小正周期为T＝π，∴2ω＝eq\f(2π,T)＝2，ω＝1.(2)∵x∈[0，π]，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(13π,6))).当2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，f(x)单调递减，∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))).13．将函数f(x)＝sin(2x＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2)))的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，则φ的值为________．答案eq\f(5π,6)解析g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]＝sin(2x－2φ＋θ)，若f(x)，g(x)的图象都经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))，所以sinθ＝eq\f(\r(3),2)，sin(－2φ＋θ)＝eq\f(\r(3),2)，又－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,2)，所以θ＝eq\f(π,3)，sineq\b\lc\(\