2021年江苏南京二十九中特长生考试数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2021年二十九中特长生考试数学部分一、统考部分1．因式分解：．填空题（共4题，每题3分，共12分）2．矩形中，沿翻折到，，，求．3．已知半径为2的，一直线距点的距离为6，等边三角形一边在直线上，另外两边所在直线与相切，问等边三角形的边长为．4．已知一元二次方程的解为，，且，、均为负整数，求的值为．解答题（共3题，每题6分，共18分）5．在中，，为8，为6，为中点，为上一动点，连接，逆时针转为，连接，设为，为．(1)问与的函数关系．(2)的最大值为多少．6．已知，中，若，则，若，则．(1)如图1，为中点，连接，，求证：．(2)如图2，，，请说明与长度的关系．7．已知，为平面直角坐标系内两点，，．(1)当时，求最小值．(2)当时，求最小值．二、数学加试部分8．尺规作图．(1)作，使，周长为．(2)作，使，边高为，周长为．9．点是直线与轴交点，半径为，是上一动点，若是直角三角形，求点坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】本题考查了利用公式法因式分解，先将式子变形为，再利用完全平方公式得出，最后利用平方差公式分解即可得出答案．【详解】解：．2．【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形内角和定理，求出，结合求出，最后再由勾股定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．【详解】解：如图：连接交于点，连接，，，∵四边形为矩形，∴，，由折叠的性质可得：，，，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，，，，，，∴，，．3．或或【分析】分三种情况：分别画出图形，利用切线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，计算即可得出答案．【详解】解：分三种情况：①如下图，当在直线上，、所在直线与相切时，令切点分别为、，作于，此时、、在同一直线上，，由题意得：，，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即等边边长为；②如下图，当在直线上，、所在直线与相切时，此时、在同一直线上，且，作于，于，，则四边形为矩形，∴，∵为等边三角形，∴，∴，即等边边长为；③如下图，当在直线上，、所在直线与相切时，令切点分别为、，作于，此时、、在同一直线上，，由题意得：，，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即等边边长为；综上，答案为或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．4．【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程的解为，，∴，，，，∴，，整理得，，，、均为负整数，，，，值为．故答案为：-45．(1)(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形面积公式、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．（1）过作，垂足为，过点作，垂足为，，垂足，，．分三种情况：若；若；若，分别利用全等三角形的判定与性质以及三角形面积公式计算即可得出答案；（2）根据二次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）解：如图，过作，垂足为，过点作，垂足为，，垂足，，．①若，由旋转的性质可得：且，∴，∴，∴，∴，∴，，∴．②若，如红色部分同理，，∴，，∴．③若，如绿色部分，同理，，∴，，．综上：；（2）解：当时，，故，，当时，，故，，最大值．6．(1)证明见解析(2)，证明见解析【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，三角形的边角关系，解题的关键是正确作出辅助线．（1）延长至点，使，连接，证明出，得到，，然后利用角的关系求解即可；（2）将绕点逆时针方向旋转至位置，使与重合，连接，得到，得到，，，然后利用三角形边角关系求解即可．【详解】（1）延长至点，使，连接，，，，，，，，，，．（2）如图，将绕点逆时针方向旋转至位置，使与重合，连接，∴，，，，，，，，，，．7．(1)1(2)【分析】（1）当时，表示出，结合即可得出答案；（2）由题意可得在函数图象上，为抛物线，在函数图象上，在直线上，结合直线始终在抛物线下方，得出抛物线上任一点到直线上最短距离即垂线段长度，若最短，则是垂足，是抛物线上距直线最近的点，过点与平行的直线与抛物线只有一个交点，求出平行线为：，联立得出，表示出，即可得解．【详解】（1）解：当时，，∵，故当时，最小值为1；（2）解：当时，由题意可得：在函数图象上，为抛物线，在函数图象上，在直线上，∵直线始终在抛物线下方，抛物线上任一点到直线上最短距离即垂线段长度，若最短，则是垂足，是抛物线上距直线最近的点，过点与平行的直线与抛物线只有一个交点，设过点与平行的直线的解析式为，将代入得，∴，∴平行线为：，∴，有唯一一组解，，∴，，∴，，∴，∵，∴，最小．【点睛】本题考查了两点之间的距离、勾股定理、二次函数的性质、求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．8．(1)画图见解析(2)画图见解析【分析】本题考查了作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）作，在射线上取点，再线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求；（2）作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求．【详解】（1）解：作，在射线上取点，再线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求，如图：，理由：由作图可得，，，∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴的周长等于线段，∵，∴满足条件；（2）解：作，过作，在上截取，过作交射线于，在线段上截取，在射线上截取，连接，作的垂直平分线交线段于，连接，即为所求，，理由：由作图可得，，∴到的距离等于，同（1）可得的周长等