第13讲 整式（人教版）（解析版）

第13讲整式

【人教版】

·模块一单项式

·模块二多项式及整式

·模块三课后作业

模块一单项式

单项式：

（1）单项式：表示数字或字母乘积的式子，单独的一个数字或字母也叫单项式；

（2）单项式的系数：单项式中的数字因数（要包括前面的符号）；

（3）单项式的次数：单项式中所有字母指数的和（只与字母有关）.

【考点1单项式的相关概念】

3푏

【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）（1）在,푥+1,−2,−,0.72푥푦,푎中，单项式有．

푎3

（2）单项式−4푥2푦3中数字因数为，故其系数为；所有字母指数之和

为，故其次数为．

푏

【答案】−2,−,0.72푥푦,푎−4−455

3

【分析】（1）根据单项式的定义进行分类即可求解；

（2）根据单项式的系数、次数的概念进行求解即可．

푏

【详解】解：（1）−2，−，0.72푥푦，a是单项式，

3

푏

故答案为：−2，−，0.72푥푦，a；

3

（2）单项式−4푥2푦3中数字因数为−4，故其系数为−4；所有字母指数之和为2+3=5，故其次数为5，

故答案为：−4，−4；5，5．

【点睛】本题考查单项式的定义及相关概念，理解并灵活运用相关概念是解题的关键．

【例1.2】（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于单项式−2휋푚2푛的叙述正确的是（）

第1页共24页.

A．系数是−2B．系数是−2πC．次数是2次D．次数是4次

【答案】B

【分析】本题考查了单项式的次数与系数，注意单项式的系数包括前面的符号，它是除字母因数外的部分，

次数则只与字母的指数有关．数与字母的积称为单项式，其中的数称为单项式的系数，所有字母指数的和

叫做这个单项式的次数，根据单项式的系数与次数的含义判断即可．

【详解】解：单项式−2πm2푛的系数是−2π，次数是3次，故选项B正确；

故选：B．

【例1.3】（2023七年级·辽宁葫芦岛·期末）多项式3푥푚푦2−5푥3푦−2与单项式4푥2푦2푧的次数相同，则m的值

为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】本题考查了多项式的次数，单项式的次数，根据题意，列出等式计算即可．

【详解】∵单项式4푥2푦2푧的次数是5，多项式3푥푚푦2−5푥3푦−2与单项式4푥2푦2푧的次数相同，

∴3푥푚푦2−5푥3푦−2的次数是5，

故푚+2=5，

解得푚=3，

故选C．

【变式1.1】（2023七年级·贵州毕节·阶段练习）下列代数式中，是次数为3的单项式的是（）

2

A．−푚3푛B．3C．4푡3−3D．푥푦

2

【答案】D

【分析】本题考查单项式的定义及次数，根据数与字母的积的形式叫单项式，单独的数字，单独的字母也

是单项式及单项式中字母的指数和叫单项式的次直接求解即可得到答案；

【详解】解：由题意可得，

A．−푚3푛是四次单项式，不符合题意，

B．3是单项式但是0次，不符合题意，

C．4푡3−3是3次二项式，不符合题意，

2

D．푥푦是3次三项式，符合题意，

2

故选：D．

第2页共24页.

푚+푛1

【变式】（七年级辽宁葫芦岛期末）在代数式、2푥2푦、、−5、中，单项式的个数是

1.22023··2푥a

个．

【答案】3

【分析】本题考查了单项式的概念，只含加、减、乘、乘方的代数式叫做整式，不含有加减运算的整式叫

做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．据此求解即可．

【详解】解：2푥2푦、−5、a是单项式，共3个；

푚+푛

是多项式；

2

1的分母含字母，不是整式．

푥

故答案为：3．

【变式1.3】（2023七年级·湖南株洲·期末）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是()

A．3푥푦B．3푥2푦2C．−3푥2푦2D．4푥3

【答案】C

【分析】根据单项式的系数和次数的意义即可解答．

【详解】解：A．3xy的系数是3，次数是2，故此选项不符合题意；

B.3x2y2的系数是3，次数是4，故此选项不符合题意；

C．-3x2y2的系数是-3，次数是4，故此选项符合题意；

D．4x3的系数是4，次数是3，故此选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键．

【考点2用单项式表示具体问题中的数量关系】

【例2.1】（2023七年级·全国·课堂例题）学校购买了一批图书，共푎箱，每箱有푏册，将这批图书的一半捐

给社区，则捐给社区的图书有册，这个单项式的系数为，次数

为．

11

【答案】푎푏2

22

【分析】先根据题意列出代数式，再根据单项式的相关概念即可解答．

【详解】解：∵图书一共a箱，每箱有b册，

1

图书一共有푎푏册，则图书的一半为푎푏，

∴2

第3页共24页.

1

这个单项式的系数为，次数为2．

2

11

故答案为：푎푏，，2．

22

【点睛】本题考查单项式的有关概念，掌握单项式的相关概念是解题关键．

【例2.2】（2023七年级·全国·课堂例题）如图是一个长方形推拉窗，窗高1.6米，当活动窗扇的拉开长度为

푏米时，活动窗扇的通风面积是平方米．

【答案】1.6푏

【分析】通风面积是拉开长度与窗高的乘积．

【详解】解：根据拉开部分是一个长方形，可得活动窗扇的通风面积为1.6푏平方米．

故答案为：1.6푏．

【点睛】本题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求面积即为长方形的面积．

【例2.3】（2023七年级·全国·课堂例题）对单项式“5푥”，我们可以这样解释：香蕉每千克5元，某人买了x

千克，共付款元．请你对“5푥”再给出另一个实际生活方面的合理解

释：．

【答案】5푥某人以5千米/时的速度走了x小时，他走的路程是5푥千米（解释不唯一，合理即可）

【分析】对单项式“5푥”，是5与x的积，可以表示生活中的乘法计算即可求解．

【详解】解：由题意可得，共付款5푥（元）；

5푥可以理解为：每只钢笔5元，某人买了x支，共付款5푥元，

故答案为：每只钢笔5元，某人买了x支，共付款5푥元．

【点睛】本题考查单项式在生活中的实际意义，只要计算结果为5푥的都符合要求．

【变式2.1】（2023七年级·辽宁大连·期中）根据下列情境列出的代数式是单项式的是（）

A．温度由푡℃上升5℃后是多少

B．若每个篮球和足球的单价分别为a元和b元，买3个篮球、2个足球需要多少钱

C．某种苹果的售价是每千克x元（푥<10），用50元买5kg这种苹果，应找回多少钱

D．一辆汽车从A地出发，3h后到达距A地푠km的B地，求汽车的平均速度

【答案】D

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【分析】本题考查列代数式，单项式的判断．根据具体情境，正确的列出代数式，根据单项式的定义：“数

字与字母的积的形式”，进行判断即可．

【详解】解：A、由题意，列出代数式为：(푡+5)℃，是多项式，不符合题意；

B、由题意，列出代数式为：(3푎+2푏)元，是多项式，不符合题意；

C、由题意，列出代数式为：(50−5푥)元，是多项式，不符合题意；

푠

、由题意，列出代数式为：，是单项式，符合题意；

D3km/h

故选D．

【变式2.2】（2023七年级·湖北·课后作业）如果单项式的字母因数是a3b2c，且a=1，b=2，c=3时，这个单

项式的值为4，则这个单项式为．

1

【答案】32．

3abc

【分析】设这个单项式的数字因数为M，则原单项式为Ma3b2c，代入其字母的值求解M即可.

【详解】解：设这个单项式的数字因数为M，则原单项式为Ma3b2c，

由题意得，M×13×22×3=4，

解得：1，

M=3

1

所以原单项式为：32．

3abc

1

故答案为32．

3abc

【点睛】理解单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的是解题关键.

【变式2.3】（2023六年级下·全国·假期作业）若(푎+3)푥푏푦2是关于x，y的五次单项式，求a，b应满足的

条件．

【答案】푎≠−3,푏=3

【分析】本题考查单项式，掌握单项式的次数是所有字母的指数和，对于一个次数不小于1的单项式，其

系数不能为0是解题的关键．

【详解】因为(푎+3)푥푏푦2是关于x，y的五次单项式．

所以푎+3≠0,푏+2=5，

解得푎≠−3,푏=3．

【规律方法综合练】

【题型1】（2023七年级·全国·课后作业）若−3푥푚푦푛（푚，푛为非负整数）是含有字母푥和푦的五次单项式，

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请写出符合条件的所有单项式．

【答案】−3푥푦4，−3푥2푦3，−3푥3푦2，−3푥4푦

【分析】根据单项式的次数为五，可得到푚+푛=5，再分别写出符合要求的单项式即可．

【详解】∵−3푥푚푦푛是含有字母푥和푦的五次单项式，

∴푚+푛=5，푚≠0，푛≠0，

∴푚=1，푛=4或푚=2，푛=3或푚=3，푛=2或푚=4，푛=1，

∴符合条件的单项式有：−3푥푦4，−3푥2푦3，−3푥3푦2，−3푥4푦．

【点睛】本题考查了单项式的次数概念，熟练掌握单项式的相关概念是解答本题的关键．

【题型2】（2023·云南曲靖·七年级期末）若有一组按一定规律排列的单项式：2푦，−2푥푦2，2푥2푦3，−2푥3

푦4，2푥4푦5，−2푥5푦6，…，则第n个单项式是（）

A．−2푥푛−1푦푛B．2푥푛−1푦푛C．(−1)푛−1⋅2푥푛−1푦푛D．(−1)푛⋅2푥푛−1푦푛

【答案】C

【分析】

本题考查了单项式的数字规律探索，零指数幂的定义，解答本题的关键是根据题目所给的式子找出规律．根

据题目所给的几个单项式可得单项式的系数为(−1)푛−1⋅2，x的次数为푛−1，y的次数为n，据此即可写出第

n个单项式．

【详解】由题意得，单项式的系数为(−1)푛−1⋅2，x的次数为푛−1，y的次数为n，则第n个单项式是

(−1)푛−1⋅2푥푛−1푦푛．

故答案为：(−1)푛−1⋅2푥푛−1푦푛．

【题型3】（2023七年级·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为

−3；③次数为5，则这样的单项式共有（）

A．5个B．6个C．7个D．8个

【答案】B

【分析】本题考查了单项式．根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指

数的和，按要求写出即可．

【详解】解：同时满足条件①②③的单项式有−3푥3푦푧，−3푥푦3푧，−3푥푦푧3，−3푥2푦2푧，−3푥2푦푧2，−3푥푦2

푧2，共有6个．

故选：B．

第6页共24页.

【拓广探究创新练】

【题型1】（2023七年级·全国·专题练习）指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．

2푎5

−3푎푏，−푎，24푥4，，3휋푎2푦2，a－3，-，-3×108푡푚2，푥2푦

4푚푛3

【答案】见解析

【分析】根据单项式的定义以及单项式次数与系数的定义分别分析得出即可．

25

【详解】−3푎푏，−푎，24푥4，3휋푎2푦2，−，−3×108푡푚2，푥2푦是单项式，其中

43

23

−3푎푏的系数是−，次数是3；−푎的系数是－1，次数是1；24푥4的系数是24，次数是4；3휋푎2푦2的系数是

44

5

3휋，次数是4；−为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；−3×108푡푚2的系数为－3×108，

3

次数是3；푥2푦只含有字母因数，系数是1，次数为3．

【点睛】本题考查单项式的定义、单项式的系数和次数，熟练掌握相关的定义是解题关键．

11

【题型2】（2023七年级·全国·课后作业）已知有如下一组单项式:7x3z2,8x3y,x2yz,-3xy2z,9x4zy,zy2,-

25

xyz,9y3z,xz2y,0,3z3.我们用下面的方法确定它们的先后次序:对任两个单项式,先看x的指数,规定x的指数高的

单项式排在x的指数低的单项式前面;若x的指数相同,则再看y的指数,规定y的指数高的单项式排在y的指

数低的单项式前面;若y的指数也相同,则再看z的指数,规定z的指数高的单项式排在z的指数低的单项式前

面.将这组单项式按上述方法排序,那么,9y3z应排在第几位?

【答案】8

【分析】读懂题意，先根据x的指数降幂排列，若x的指数相同，再按y的指数降幂排列，再根据z的指

数排列.

【详解】按照题意把这几个单项式排序如下:

11

9x4zy,8x3y,7x3z2,x2yz,-3xy2z,xz2y,-xyz,9y3z,zy2,3z3,0,所以9y3z应排在第8位.

25

【点睛】本题考查了对单项式次数的理解和降幂排列，熟练掌握单项式次数的定义是解答的关键.

【题型3】（2023七年级·浙江杭州·阶段练习）同时含有字母a，b，c，系数为1的6次单项式按以下规则

排序：先看a的次数，a的次数高的单项式排在前面，若相同，再比较b的次数，最后比较c的次数，均是

先高次后低次，则푎2푏2푐2排在第位．

【答案】5

【分析】先根据题意得到满足条件的单项式，再根据先高次后低次的顺序即可求解．

【详解】∵同时含有字母a，b，c，系数为1的6次单项式按以下规则排序：先看a的次数，a的次数高的单

第7页共24页.

项式排在前面，若相同，再比较b的次数，最后比较c的次数，

∴先高次后低次为a4bc，a3b2c，a3bc2，a2b3c，a2b2c2，……

∴a2b2c2排在第5位．

故答案为：5

【点睛】本题主要考查了单项式，解题的关键是理解题意，确定a，b，c的指数关系．

模块二多项式及整式

1.多项式：

（1）多项式：几个单项式的和叫多项式；

（2）多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多

项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.

2.整式：

单项式和多项式统称为整式（整式是，但是不一定是整式）.

【考点1多项式的相关概念】

푎+푏23

【例1.1】（2023七年级·全国·专题练习）下列式子：①푎2푏+푎푏−푏2；②；③−푥푦；④−푥+；⑤0；

23푦

푥

2；，多项式的个数是（）

⑥푥⑦2

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【分析】多项式是几个单项式和的形式．

푎+푏

【详解】解：多项式有：푎2+푎푏−푏2、共2个

2

故选：B．

【点睛】本题考了多项式的概念，抓住多项式是几个单项式的和．

【例1.2】（2023七年级·湖北武汉·期末）多项式2+3푥4−4푥2푦−푥3푦+6푥的项数和次数之积为．

【答案】20

【分析】本题考查了多项式的项和次数的概念，根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多

项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数进行分析

第8页共24页.

即可．

【详解】解：多项式2+3푥4−4푥2푦−푥3푦+6푥是四次五项式，

∴项数和次数之积为5×4=20，

故答案为：20．

【例1.3】（2023七年级·广东广州·期末）多项式3푥2푦푎−4푦2+2푥是五次三项式，则푎的值为；二次项系

数为．

【答案】3；−4．

【分析】本题考查了单项式与多项式的概念，分别利用单独的一个数或一个字母是单项式，单项式中的数

字因数是单项式的系数，多项式中次数最高项的次数是多项式的次数，进而得出答案，正确把握相关定义

是解题的关键．

【详解】由多项式3푥2푦푎−4푦2+2푥是五次三项式，

则푎+2=5，解得：푎=3，

多项式3푥2푦푎−4푦2+2푥中二次项是−4푦2，系数为−4，

故答案为：3；−4．

【变式1.1】（2023七年级·全国·课后作业）指出下列各式中哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？

푎+푏112

x2+y2，﹣x，，10，6xy+1，，m2n，2x2﹣x﹣5，

3푥7푥+푥2

单项式：{_________________________}

多项式：{________________________}

整式：{________________________}．

1푎+푏1푎+푏

【答案】﹣x，10，m2nx2+y2，，6xy+1，2x2﹣x﹣5﹣x，10，m2n，x2+y2，，

7373

6xy+1，2x2﹣x﹣5

【分析】根据单项式、多项式、整式的概念解答即可.

1

【详解】单项式有：﹣，，2；

x107mn

푎+푏

多项式有：x2+y2，，6xy+1，2x2﹣x﹣5；

3

1푎+푏

整式有：﹣x，10，m2n，x2+y2，，6xy+1，2x2﹣x﹣5，

73

【点睛】本题考查了单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是熟练掌握单项式、多项式、整式的定义.

【变式1.2】（2023七年级·黑龙江鸡西·期末）对于多项式－x2yz＋2xy2－xz－1是次项式，最高次项

第9页共24页.

的系数是，常数项是．

【答案】四四-1-1

【分析】根据多项式的项和次数的定义，确定最高次项和常数项，注意要带有符号．

【详解】解：多项式－x2yz＋2xy2－xz－1是四次四项式，最高次项的系数是-1，常数项是-1．

故答案为：四，四，-1，-1．

【点睛】本题考查与多项式相关的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，

就是这个多项式的次数．

【变式1.3】（2023七年级·江苏无锡·期中）请写出一个只含有字母푎的二次多项式，且无论푎取何值时该二

次多项式的值大于2023，则这个二次多项式可以为．

【答案】푎2+2024（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了多项式的次数：“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”，熟记定义是解题关

键．根据多项式的次数的定义、偶次方的非负性求解即可得．

【详解】解：由题意，这个二次多项式可以为푎2+2024，

故答案为：푎2+2024（答案不唯一）．

【考点2用多项式表示具体问题中的数量关系】

【例2.1】（2023·山西阳泉·七年级期末）某商店销售一种品牌的电冰箱，其中某一型号的电冰箱每台标价

为푎元，商城促销活动电冰箱一律按标价的八折销售，张先生购买该型号的电冰箱时又用了一张200元的代

金券，则张先生实际支付的费用是元．

【答案】(0.8푎−200)

【分析】本题考查列代数式．根据题意可以得到最后打折后的零售价，从而可以解答本题．

【详解】解：由题意可得，

张先生实际支付的费用是：(0.8푎−200)元，

故答案为：(0.8푎−200)．

【例2.2】（2023七年级·海南三亚·期中）一个花坛的形状如图所示，这的两端是半径相等的半圆，求：

（1）花坛的周长L；

（2）花坛的面积S．

第10页共24页.

【答案】（1）2a+2πr；（2）2ra+πr2

【分析】（1）利用花坛的周长=圆的周长+长方形的两条边求解．

（2）利用花坛的面积=圆的面积+长方形的面积求解，

【详解】解：（1）花坛的周长l=2a+2πr；

（2）花坛的面积S=2ra+πr2；

【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是熟记圆的周长及面积公式．

【例2.3】（2023七年级·山东济宁·期中）已知关于x的多项式(푎+푏)푥4−(푎−2)푥3+(푏+1)푥2−푎푏푥+1不

含푥3项和푥2项，则当푥=−1时，这个多项式的值为．

【答案】0

【分析】本题考查了多项式中不含某项的条件，求多项式的值；由多项式中不含某项的条件可得

−(푎−2)=0，求出、的值，化简出多项式，再代入求值即可；理解多项式中不含某一项就是使得这一

푏+1=0푎푏“

项的系数为零”是解题的关键．

【详解】解：∵多项式不含푥3项和푥2项，

−(푎−2)=0，

∴푏+1=0

解得：푎=2，

푏=−1

∴原多项式为푥4+2푥+1，

当푥=−1时，

原式=(−1)4+2×(−1)+1

=1−2+1

=0；

故答案：0．

【变式2.1】（2023七年级·甘肃定西·期末）一个两位数，十位上的数字是x，个位上的数字是y，把这个两

位数十位上数字与个位上数字调换位置后的两位数用代数式表示为（）

A．푥푦B．푦푥C．10푥+푦D．10푦+푥

第11页共24页.

【答案】D

【分析】本题主要考查列代数式，理解题意，根据计数方法得出答案即可．

【详解】解：一个两位数，十位上的数字是x，个位上的数字是y，则这个数是10푥+푦，

把这个两位数十位上数字与个位上数字调换位置后，

即十位上的数是y，个位上的数字是x，

所以对调后的两位数用代数式表示为10푦+푥，

故选：D．

【变式2.2】（2023七年级·陕西汉中·期中）如图所示，一块正方形纸板剪去四个相同的三角形后留下了阴

影部分的图形，已知正方形的边长为a，三角形的高为h．

（1）用代数式表示阴影部分的面积；

（2）当a＝8，h＝2时，求阴影部分的面积．

【答案】（1）a2﹣2ah；（2）32

【分析】（1）利用正方形的面积减去四个三角形的面积即可；

（2）把a、h的值代入代数式求值即可．

【详解】（1）阴影部分面积：

1

a2﹣ah×4

2

＝a2﹣2ah；

（2）把a＝8，h＝2代入a2﹣2ah中得：

82﹣2×8×2

＝32．

【点睛】此题考查整式的列式计算，（1）中正确理解题意是解题的关键，阴影面积用正方形的面积减去四

个三角形的面积即可求出；（2）中将字母的值代入求值即可。

【变式2.3】（2023七年级·山西大同·期中）小华上午从尖草坪地铁站出发到长风街地铁站，有以下三种出

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行方式可供选择：A自驾：路程为16公里，每公里耗油0.06升，每升汽油7元．B乘坐出租车：太原市出

租车收费标准如下：日间起程价8元/3公里，超出部分每公里1.6元；营运中停车等待计时，累计5分钟以

1公里计价，不足5分钟不计价．乘出租车路程为16公里，中途等待计时8分钟．C乘坐地铁：一人的票

价为4元．

（1）求A，B两种出行方式的费用，比较三种出行方式，哪种最省钱？

（2）如果不考虑中途等待时间，当路程为a公里（a＞3且a为整数）时，请用含a的式子表示A，B两种

出行方式的费用．

【答案】（1）乘地铁最省钱；（2）A:0.42a，B:1.6a+3.2

【分析】（1）根据题意，计算A、B两种出行方式的费用，进行比较即可；（2）根据题意用含a的式子表

示即可．

【详解】（1）A：16×0.06×7=6.72（元），

B：(16-3)×1.6+8+1.6=30.4（元），

C：4元，

则有4＜6.72＜30.4，

答：乘地铁最省钱．

（2）A：a×0.06×7=0.42a（元），

B：当a＞3时，(a-3)×1.6+8=(1.6a+3.2)（元），

答：A用式子表示为0.42a元，B用式子表示为(1.6a+3.2)元．

【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是正确理解题意并列出式子．

【规律方法综合练】

2

【题型1】（2023七年级·上海·期中）多项式−5푎−푎+1中一次项是．

3

푎

【答案】

3

【分析】直接利用多项式中各部分名称分析得出答案．

22푎1

【详解】解：多项式−5푎−푎+1=−5푎+−，

3333

2푎

故多项式−5푎−푎+1中的一次项是：．

33

푎

故答案为：．

3

【点睛】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的相关定义是解题关键．

第13页共24页.

【题型2】（2023七年级·贵州遵义·阶段练习）若代数式(푎−2)푥|푎+1|푦2−3푥푦3是五次二项式，则푎的值是．

【答案】−4

【分析】根据多项式次数和项数的定义可得|푎+1|=3且푎−2≠0，进而可得答案．

【详解】解：因为代数式(푎−2)푥|푎+1|푦2−3푥푦3是五次二项式，

所以|푎+1|=3且푎−2≠0，解得a=﹣4．

故答案为：﹣4．

【点睛】本题考查了多项式的相关概念和简单的绝对值方程，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的

关键．

【题型3】（2023七年级·河北沧州·期末）做一个数字游戏：

2

第一步：取一个自然数푛1=5，计算푛1+1得푎1；

2

第二步：算出푎1的各位数字之和得푛2，计算푛2+1得푎2；

2

第三步：算出푎2的各位数字之和得푛3，计算푛3+1得푎3；…，

以此类推，则푎2023=（）

A．26B．65C．122D．278

【答案】A

【分析】本题主要考查探索数字变化规律，解答的关键是按照规则写出前几个数，总结出规律．根据所给

的游戏规则，写前5个数，能得出푎3的值；不难发现所得的数列，每3个循环出现，据此由

2023÷3=674⋯1，从而可判断푎2023的值等于푎1．

2

【详解】解：∵푛1=5，则푎1=5+1=26，

2

∴푛2=2+6=8，则푎2=8+1=65，

2

푛3=11，则푎3=11+1=122，

2

푛4=5，则푎4=5+1=26，

2

푛5=2+6=8，则푎5=8+1=65，

……

∴观察可知，所得的数列，每3个循环出现，

∵2023÷3=674余1，即푎2023=푎1，

∴푎2023=26．

故选A．

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【拓广探究创新练】

【题型1】（2023七年级·全国·专题练习）关于x的多项式(푎−4)푥푎−푥2+푥−푎+1（a为正整数）是二次三

项式，则푎=．

【答案】4或2/2或4

【分析】根据多项式的项和次数的定义．列出方程，即可求解．

【详解】解：由题意得：푎−4=0，

解得：푎=4，

当푎=2时，

原式=−3푥2+푥−1，符合题意，

故答案为：4或2．

【点睛】本题考查了多项式．解题的关键是要明确相关概念（组成多项式的每个单项式叫做多项式的项；

多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数；多项式中不含字母的项叫常数项）．

【题型2】（2023七年级·陕西渭南·期末）已知关于x、y的多项式푥푦3−3푥4+푥2푦푚+2−5푚푛是五次四项式

（m，n为有理数），且单项式5푥4−푚푦푛−3的次数与该多项式的次数相同．

(1)求m，n的值；

(2)将这个多项式按x的降幂排列．

【答案】(1)푚=1，푛=5

(2)−3푥4+푥2푦3+푥푦3−25

【分析】本题考查整式的项与次数．

（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得2+푚+2=5，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可

得4−푚+푛−3=5，求解即可；

（2）按x的指数从大到小排列即可．

【详解】（1）解：∵多项式푥푦3−3푥4+푥2푦푚+2−5푚푛是五次四项式，单项式5푥4−푚푦푛−3的次数与该多项式的

次数相同，

∴2+푚+2=5，4−푚+푛−3=5，

解得：푚=1，푛=5．

（2）由（1）可知，这个多项式为푥푦3−3푥4+푥2푦3−25，

将这个多项式按x的降幂排列为−3푥4+푥2푦3+푥푦3−25．

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【题型3】（2023·贵州贵阳·中考真题）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长

为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．

（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；

（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．

【答案】（1）S＝ab﹣a﹣b+1；（2）矩形中空白部分的面积为2；

【分析】（1）空白区域面积=矩形面积-两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积；

（2）将a=3，b=2代入（1）中即可；

【详解】（1）S＝ab﹣a﹣b+1；

（2）当a＝3，b＝2时，S＝6﹣3﹣2+1＝2；

【点睛】本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部分面积是解题的关

键．

模块三课后作业

1．（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列结论正确的是（）

푥+푦

．是单项式．多项式2푥2−푥+5是二次三项式

A2B

π푥푦1

．单项式的系数是．32푎푏3的次数是

C55D6

【答案】B

【分析】本题考查了单项式,单项式的系数是数字因数,单项式的次数是字母指数和,注意휋是常数不是字母．

푥+푦

【详解】是多项式，原说法错误；

A.2

B.多项式2푥2−푥+5是二次三项式，说法正确；

π푥푦1

单项式的系数是휋，原说法错误；

C.55

D.32푎푏3的次数是4，原说法错误；

故选B．

2．（2023七年级·江西宜春·期末）若3푥푦푚+(푛+1)푥是关于푥、푦的三次二项式，则푚、푛的值是（）

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A．푚≠2，푛≠−1B．푚=2，푛≠−1C．푚≠2，푛=−1D．푚=2，푛≠1

【答案】B

【分析】此题考查了多项式的概念，根据多项式的项数：“多项式中单项式的个数”，次数：“最高项的次

数”，进行求值即可．

【详解】解：由题意，得：푚+1=3,푛+1≠0，

∴푚=2，푛≠−1；

故选B．

푥+푦5332

3．（2023七年级·广西柳州·期中）在代数式①；②−푥+푦；③0.25푚2푛4；④2021；⑤1+；⑥中整

푥2푥휋

式的个数有（）个．

A．5B．4C．3D．2

【答案】B

【分析】此题主要考查了整式，正确掌握整式的定义是解题关键．

根据单项式和多项式统称为整式，进而得出答案．

532

【详解】解：是整式的有−푥+푦，0.25푚2푛4，2021，，

2휋

共四个，

故选：B

4．（2023·云南昆明·七年级期末）按一定规律排列的多项式：푎2−푏2，푎4−푏3，푎6−푏4，푎8−푏5，푎10−

푏6，…，第n个多项式是（）

A．푎푛−푏푛B．푎2푛−푏푛C．푎푛−푏푛+1D．푎2푛−푏푛+1

【答案】D

【分析】此题考查了寻找多项式的规律的知识，关键是通过归纳总结从特殊到一般找到规律．

从两个方面（系数、指数）总结规律，即可求解．

【详解】通过观察即可发现：

a的指数的规律为：2푛；b的指数的规律为：푛+1，

综合后，第n个多项式为：푎2푛−푏푛+1，

故选D．

5．（2023·陕西西安·七年级期末）下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，

摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，……，摆第10个这样的“小屋子”需要的棋子数为（）

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A．53B．59C．65D．50

【答案】B

【分析】本题考查图形类规律探究，根据已有图形抽象出相应的数字规律，进行求解即可．

【详解】解：由已知图形可知，后一个小屋子所需的棋子的数量比前一个多6个；

∴第푛个图形需要：5+6(푛−1)=(6푛−1)枚棋子，

∴摆第10个这样的“小屋子”需要的棋子数为6×10−1=59；

故选B．

2푥푦푎푏+푥31

6．（2023七年级·宁夏银川·期中）在푏，+3，−2，，，，单项式有．多项式

325푥푦푎+푏

有，整式有．

2푥푦푎푏+푥2푥푦푎푏+푥

【答案】푏，−2+3，푏，−2，+3，

325325

【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积

的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称．根据单项式，多

项式，整式的定义逐一判断即可．

2

【详解】解：푏，−2是单项式；

3

푥푦푎푏+푥

+3，是多项式；

25

2푥푦푎푏+푥

푏，−2，+3，是整式；

325

2푥푦푎푏+푥2푥푦푎푏+푥

故答案为：푏，−2；+3，；푏，−2，+3，．

325325

7．（2023七年级·广东深圳·期末）写出一个同时满足以下三个条件的单项式：①系数是负数；②次数是

4；③只含有a和b两个字母．这个单项式可以是．

【答案】−3푎3푏（答案不唯一）

【分析】此题考查了单项式的概念，根据题目要求写出这个单项式即可，答案不唯一．

【详解】根据题意，这个单项式可以是−3푎3푏．

第18页共24页.

故答案为：−3푎3푏（答案不唯一）

532

8．（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知多项式−5푥+5푥푦−8，其中五次项系数的和与常数项的差

2

是．

【答案】4

【分析】本题主要考查了多项式的次数与多项式的项和常数项，熟练掌握多项式的相关知识是解答本题的

关键．根据多项式的次数，多项式的项以及常数项的定义求解即可．

53255

【详解】解：∵多项式−5푥+5푥푦−8=−푥5+푥3푦2−4，

222

53255

∴多项式−5푥+5푥푦−8的五次项系数为−和，常数项为−4，

222

∴五次项系数的和与常数项的差为−5+5−(−4)=4，

22

故答案为：4．

9．（2023七年级·福建厦门·期中）若关于푥的多项式푥4+(푎−2)푥3−(푏+1)푥−3不含푥的三次项和一次项，

则푎为，푏为．

【答案】2−1

【分析】本题考查了多项式的相关概念，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项

式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫

做常数项；根据题意易得푎−2=0，푏+1=0，即可求出푎、푏的值．

【详解】解：∵关于푥的多项式푥4+(푎−2)푥3−(푏+1)푥−3不含푥的三次项和一次项，

∴푎−2=0，푏+1=0，

解得：푎=2，푏=−1，

故答案为：2，−1．

10．（2023·湖南益阳·七年级期末）甲烷、乙烷、丙烷、丁烷等分子结构相似的一类有机化合物，统称为“烷

烃”，烷烃的命名与分子中碳原子的个数有关，下表是“烷烃”化学式的排列规律：

物质甲烷乙烷丙烷丁烷戊烷己烷···

化学式퐶퐻4퐶2퐻6퐶3퐻8퐶4퐻10퐶5퐻12퐶6퐻14…

则含푛个碳原子数的“烷烃”的分子式为．

【答案】퐶푛퐻2푛+2/퐶푛퐻2+2푛

【分析】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出氢原子变化规律“푎푛=2푛+2”．设碳原

第19页共24页.

子的数目为푛（푛为正整数）时，氢原子的数目为푎푛，列出部分的值，根据数值的变化找出变化规律“푎푛

=2푛+2”，依此规律即可解决问题．

【详解】解：设碳原子的数目为푛（푛为正整数）时，氢原子的数目为푎푛，

由表可知：碳原子的数目为1、2、3……푛，

当푛=1时，푎푛=4=2×1+2，

푛=2时，푎푛=6=2×2+2，

푛=3时，푎푛=8=2×3+2，

……

∴푎푛=2푛+2，

∴含푛个碳原子数的“烷烃”的分子式为퐶푛퐻2푛+2．

故答案为：퐶푛퐻2푛+2

11．（2023七年级·河南许昌·期中）已知多项式푥2푦푚+2+푥푦3−3푥4−5是五次四项式．

(1)求出푚的值．

(2)单项式5푥2푛−3푦4−푚的次数与该多项式的次数相同，求푛的值．

【答案】(1)1

5

(2)

2

【分析】本题主要考查了多项式的次数和单项式的次数．

（1）先根据多项式的次数得出푚+2=3，即可求出m的值．

（2）由（1）可知：푚=1，把푚=1代入单项式，再根据单项式的次数也是5即可得出2푛−3=2，进而可

求出n的值．

【详解】（1）解：∵多项式푥2푦푚+2+푥푦3−3푥4−5是五次四项式，

∴푚+2=3，

∴푚=1．

（2）由（1）可知：푚=1，

∴单项式5푥2푛−3푦4−푚为5푥2푛−3푦3，

∵单项式5푥2푛−3푦3的次数与该多项式的次数相同，

∴2푛−3=2，

第20页共24页.

5

解得：푛=．

2

12．（2023七年级·河南郑州·期中）有下列三个代数式：푥4+3푥푦−2푥푦4−5푥3푦3−1,2024,−푥．

(1)单项式的个数是______．

(2)2024的次数是______，−푥的系数是______．

(3)写出푥4+3푥푦−2푥푦4−5푥3푦3−1的二次项、常数项．

(4)푥4+3푥푦−2푥푦4−5푥3푦3−1是______次______项式．

【答案】(1)2；

(2)0；−1；

(3)二次项为3푥푦；常数项为：−1；

(4)6；5

【分析】题目主要考查单项式及多项式的基本定义和相关概念，

（1）根据单项式的定义判断即可；

（2）根据单项式的次数及系数的定义即可求解；

（3）由多项式的相关定义求解即可；

（4）根据多项式的次数为单项式的最高次数，项数为单项式的个数即可求解．

【详解】（1）解：三个单项式中，2024,−푥是单项式，

故答案为：2；

（2）2024的次数是0，−푥的系数是−1；

故答案为：0；−1；

（3）푥4+3푥푦−2푥푦4−5푥3푦3−1中，

二次项为3푥푦；常数项为：−1；

（4）푥4+3푥푦−2푥푦4−5푥3푦3−1是6次5项式，

故答案为：6；5．

13．（2023七年级·全国·专题练习）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相

应的横线上：

푎+푏112

푚2+푛2；−푥；；10；6푥푦+1；；푚2푛；2푥2−푥−5；푎7；

①②③3④⑤⑥푥⑦7⑧⑨⑩푥+푦

单项式：_________________________；

第21页共24页.

多项式：_________________________；

整式：___________________________．

【答案】②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨

2

【分析】1，的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据单项式、多项式和整式

푥푥+푦

的概念来分类．

1

【详解】解：单项式有：−푥，10，푚2푛，푎7；

7

푎+푏

多项式有：푚2