第18讲 解一元一次方程（二）-去括号与去分母（人教版）（解析版）VIP

第18讲解一元一次方程（二）——去括号与去分母

【人教版】

·模块一利用“去括号”解一元一次方程

·模块二利用“去分母”解一元一次方程

·模块三课后作业

模块一利用“去括号”解一元一次方程

【考点1利用“去括号”解一元一次方程】

【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）补全解方程5(푥−4)−3(2푥+1)=2(1−2푥)−1的过程：

解：去括号，得．

移项，得．

合并同类项，得．

系数化为1，得．

【答案】5푥−20−6푥−3=2−4푥−15푥−6푥+4푥=2−1+20+33푥=24푥=8

【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行解方程即可求解．

【详解】解：5(푥−4)−3(2푥+1)=2(1−2푥)−1，

去括号得，5푥−20−6푥−3=2−4푥−1，

移项得，5푥−6푥+4푥=2−1+20+3，

合并同类项得，3푥=24，

系数化为1得，푥=8，

故答案为：5푥−20−6푥−3=2−4푥−1，5푥−6푥+4푥=2−1+20+3，3푥=24，푥=8．

【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．

【例1.2】（2023七年级·海南海口·期中）已知푦1=2(푥−1)，푦2=4−3푥，若푦1与푦2的值互为相反数，则푥等

于（）

A．3B．−3C．2D．−2

【答案】C

【分析】本题考查了解一元一次方程和相反数，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．根据互

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为相反数的两个数的和为0得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可．

【详解】解：∵푦1=2(푥−1)，푦2=4−3푥，若푦1与푦2的值互为相反数，

∴2(푥−1)+(4−3푥)=0，

∴2푥−2+4−3푥=0，

2푥−3푥=−4+2，

−푥=−2，

푥=2．

故选：C

【例1.3】（2023七年级·福建福州·期中）将푦=2푥−1代入3푥−푦=4，去括号后，可得（）

A．3푥−2푥+1=4B．3푥+2푥+1=4

C．3푥+2푥−1=4D．3푥−2푥−1=4

【答案】A

【分析】本题考查代入求值和去括号，把푦=2푥−1整体代入后去括号即可解答．

【详解】解：将푦=2푥−1代入3푥−푦=4得3푥−(2푥−1)=4，

去括号得3푥−2푥+1=4，

故选A．

【变式1.1】（2023七年级·河南南阳·阶段练习）在解方程2(푥−1)−3(2푥−3)=0时，去括号正确的是（）

A．2푥−1−6푥+9=0B．2푥−2−6푥−3=0

C．2푥−2−6푥−9=0D．2푥−2−6푥+9=0

【答案】D

【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出

解．方程去括号得到结果，即可做出判断．

【详解】解：将方程去括号，得2푥−2−6푥+9=0．

故选：D

【变式1.2】（2023六年级下·上海浦东新·期中）解方程：2(5−푥)=33−3(5푥+1)．

20

【答案】푥=

13

【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1

即可．

【详解】解：2(5−푥)=33−3(5푥+1)，

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去分母得：10−2푥=33−15푥−3，

移项整理得：13푥=20，

20

解得：푥=．

13

【变式1.3】（2023七年级·全国·课堂例题）当푥取什么值时，式子5(푥+2)的值比2(1−3푥)的值小3？

【答案】푥=−1

【分析】根据题意列一元一次方程，求解即可得到答案．

【详解】解：由题意得：5(푥+2)=2(1−3푥)−3，

解得：푥=−1，

即当푥=−1时，式子5(푥+2)的值比2(1−3푥)的值小3．

【点睛】本题考查的是解一元一次方程，根据题意正确列出一元一次方程是解题关键．

【考点2去括号解方程的应用】

1

【例2.1】（2023·浙江嘉兴·七年级期末）已知物体自由下落的距离可以表示为푆=푣푡，푣表示物体下落

2底底

的末速度，푡表示物体下落的时间，声音传播的速度为340米/秒．若将一块石头从井口自由落下，7秒后听到

它落水的声音，测得푣底=60米/秒，设石头下落的时间为푥，则可列得方程（）

A．30푥=340×7B．30푥=340(7−푥)

C．30(7−푥)=340푥D．30(7+푥)=340×7

【答案】B

【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程式是解题的关键．

根据题意列出方程式即可选出．

【详解】解：∵声音传播的速度为340米/秒．若将一块石头从井口自由落下，7秒后听到它落水的声音，设

石头下落的时间为푥

∴从石头落水时，传到井口用的时间为7−푥，

∴从井底到井口的总路程푆=340×(7−푥)，

11

将푣=60米/秒，石头下落的时间为푥，代入푆=푣푡，得340×=×60푥，

2底(7−푥)2

即30푥=340(7−푥)，

故选B．

【例2.2】（2023七年级·全国·假期作业）小军玩抛硬币的游戏，规则是：将一枚硬币抛起，落下后正面朝

上就向前走8步，反面朝上就后退6步，小军一共抛了10次硬币，结果向前走了52步，有次反面朝

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上．

【答案】2

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“一共抛了10次硬币”，可以设有푥次反面朝上，则有(10−푥)

次正面朝上；根据题意，正面朝上就向前走8步，则正面朝上一共向前走了8(10−푥)步；反面朝上就后退6

步，则反面朝上一共向后退了6푥步；等量关系：正面朝上向前走的步数−反面朝上向后退的步数=结果一

共向前走的总步数，据此列出方程，并求解．

【详解】解：设有푥次反面朝上，则有(10−푥)次正面朝上．

由题意可得8(10−푥)−6푥=52

解得：푥=2，

有2次反面朝上，

故答案为：2．

【例2.3】（2023六年级下·上海青浦·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺

五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，

不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问

长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为．

【答案】푥+4.5=2(푥−1)

【分析】本题考查的是一元一次方程组的应用，设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还

剩余4.5尺”可得绳长为(푥+4.5)尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺”可得绳长为2(푥−1)尺；

从而可得答案．

【详解】解：根据题意，得푥+4.5=2(푥−1)，

故答案为：푥+4.5=2(푥−1)．

【变式2.1】（2023·安徽合肥·七年级期末）端午节即将来临，小明和妈妈打算去超市买粽子，他们购买10

个肉粽和5个素粽共用去70元，已知每个肉粽比素粽多1元，那么每个肉粽多少元?

【答案】5元．

【分析】设每个肉粽푥元，则每个素粽(푥−1)元，利用总价=单价×数量，即可得出关于푥的一元一次方程，

解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关

键．

【详解】解：设每个肉粽푥元，则每个素粽(푥−1)元，

依题意得：10푥+5(푥−1)=70，

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解得：푥=5．

答：每个肉粽5元．

【变式2.2】（2023七年级·全国·专题练习）在甲地劳动的有29人，在乙地劳动的有19人．现在从乙地调一

部分人到甲地去支援，使在甲地的人数为在乙地的人数的2倍，应从乙地调多少人到甲地去？

【答案】应从乙地调3人到甲地去

【分析】设乙地调푥人到甲处，根据从乙地调一部分人到甲处，使甲处人数=乙处人数的2倍，列出方程，

解方程即可．

【详解】解：设乙地调푥人到甲处，根据题意得：

29+푥=2(19−푥)，

解得：푥=3，

答：应从乙地调3人到甲地去．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，列出方程．

【变式2.3】（2023·江苏无锡·七年级期末）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟

十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得洒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10

斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，则清酒斗．

【答案】15

7

【分析】本题考查一元一次方程的应用，设清酒x斗，根据现在拿30斗谷子，共换了5斗酒得：

10푥+3(5−푥)=30，即可解得答案．

【详解】解：设清酒x斗，则醑酒(5−푥)斗，

根据题意得：10푥+3(5−푥)=30，

15

解得푥=，

7

15

∴清酒斗．

7

故答案为：15．

7

【规律方法综合练】

【题型1】（2023·江苏盐城·七年级期末）已知x＝3是关于x的方程ax﹣5＝9x﹣a的解，那么关于x的方

程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a的解是x＝．

【答案】4

【分析】根据一元一次方程解的定义，把x＝3代入原方程得到关于a的方程，求出a的值，然后解关于x

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的方程即可．

【详解】解：把x＝3代入方程ax﹣5＝9x﹣a，

得3a﹣5＝27﹣a，

解得a＝8，

把a＝8代入方程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a得：

8（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣8，

8（x﹣1）﹣9（x﹣1）＝5﹣8，

﹣（x﹣1）＝﹣3，

x﹣1＝3，

x＝4．

故答案为：4．

【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义及解法，熟练掌握一元一次方程解的定义及解法是解题的关键．

【题型2】（2023·陕西西安·七年级期末）小嫄每天早上要到距家1000米的学校上学．某一天，小嫄以80

米/分的速度出发5分钟后，小嫄的爸爸发现她忘了带数学课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小嫄，

并且在途中追上了她．求爸爸追上小嫄用了多长时间？

【答案】4分钟

【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设小嫄爸爸追上小嫄用了xmin，根据题意列出方程求解即可

求解．

【详解】解：设爸爸追上小嫄用了xmin，

依题意有180푥=80×(5+푥)，

解得푥=4．

答：爸爸追上小嫄用了4min长时间．

【题型3】（2023·山东聊城·七年级期末）聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥

青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构

图与结构简式如下：

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若图(푚)和图(푚+1)的分子中共含有242个C原子，则푚的值．

【答案】19

【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给结构简式，发现퐶原子的个数的规律即可解决问题．

【详解】解：由所给分子结构图及结构简式可知，

图（1）的分子中含C原子的个数为：10=1×6+4；

图（2）的分子中含C原子的个数为：16=2×6+4；

图（3）的分子中含C原子的个数为：22=3×6+4；

…，

所以图（n）的分子中含C原子的个数为(6푛+4)个．

由图(푚)和图(푚+1)的分子中共含有242个C原子，

6푚+4+6(푚+1)+4=242，

解得푚=19，

所以m的值为19．

故答案为：19．

【拓广探究创新练】

【题型1】（2023七年级·福建莆田·阶段练习）如图，点퐶、퐷为线段퐴퐵上两点，퐴퐶+퐵퐷=6，且

4

퐴퐷+퐵퐶=퐴퐵，设퐶퐷=푡，则关于푥的方程3푥−7=푡−2的解是．

3(푥−1)(푥+3)

【答案】푥=5

41

【分析】本题考查了线段之间的和差关系，解一元一次方程，根据퐴퐷+퐵퐶=퐴퐵+퐶퐷=퐴퐵，得出퐶퐷=

33

퐴퐵，进而得出2퐶퐷=퐴퐶+퐵퐷，即可推出퐶퐷=푡=3，把푡=3代入3푥−7(푥−1)=푡−2(푥+3)即可求解．

4

【详解】解：퐴퐷+퐵퐶=퐴퐵+퐶퐷=퐴퐵，

∵3

1

퐶퐷=퐴퐵，

∴3

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2

퐴퐶+퐵퐷=퐴퐵，则2퐶퐷=퐴퐶+퐵퐷，

∴3

∵퐴퐶+퐵퐷=6，

∴2퐶퐷=6，

解得：퐶퐷=푡=3，

把푡=3代入3푥−7(푥−1)=푡−2(푥+3)得：3푥−7(푥−1)=3−2(푥+3)，

解得：푥=5，

故答案为：x=5．

【题型2】（2023·河北邢台·七年级期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)求一个暖水瓶与一个水杯的价格分别是多少元？

(2)某商场出售这样的暖水瓶和水杯，为了迎接新年，商场搞促销活动，规定：暖水瓶打八折．若某单位想

要买5个暖水瓶和20个水杯，总共要花多少钱？

【答案】(1)一个暖水瓶的价格20元，一个水杯的价格10元

(2)280元

【分析】本题考查一元一次方程的应用、有理数四则混合运算的应用，理解题意，找准等量关系并正确列

出方程是解答的关键．

（1）设一个暖水瓶的价格为x元，则一个水杯的价格为(30−푥)元，根据题意列一元一次方程求解即可；

（2）根据题意列算式求解即可．

【详解】（1）解：设一个暖水瓶的价格为x元，则一个水杯的价格为(30−푥)元，

由题意列方程为3푥+4(30−푥)=100，解得푥=20，

∴30−푥=10，

答：一个暖水瓶的价格20元，一个水杯的价格10元；

（2）解：需花费用为5×20×0.8+20×10=280（元），

（3）答：总共要花280元．

【题型3】（2023七年级·江苏泰州·阶段练习）用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定

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푎⊗푏＝푎푏2+2푎푏+푎．如：1⊗3=1×32+2×1×3+1=16

(1)求2⊗(−1)的值；

(2)若(푎+1)⊗3=32，求a的值；

(3)若푚=2⊗푥,푛=1푥⊗3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．

4

【答案】(1)0

(2)1

(3)푚>푛

【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，整式的加减运算．掌握新定义的运算法则，是解

题的关键．

（1）根据新运算的法则，列出算式计算即可；

（2）根据新运算的法则，列出方程计算即可；

（3）根据新运算的法则，列出代数式，作差法比较大小即可．

【详解】（1）解：2⊗(−1)=2×(−1)2+2×2×(−1)+2=2−4+2=0；

（2）(푎+1)⊗3=32⋅(푎+1)+2×3(푎+1)+(푎+1)=32，

整理，得：16푎+16=32，

解得：푎=1；

（3）푚=2⊗푥=2푥2+2×2푥+2=2푥2+4푥+2，

111

푛=1푥⊗3=32⋅푥+2×3⋅푥+푥=4푥，

4444

∴푚−푛=2푥2+4푥+2−4푥=2푥2+2≥2>0，

∴푚>푛．

模块二利用“去分母”解一元一次方程

【考点1解含分母的一元一次方程】

1푥−3

【例1.1】（2023七年级·四川遂宁·期中）解方程−=1下面去分母正确的是（）

23

A．1−(푥−3)=1B．3−2(푥−3)=6C．2−3(푥−3)=6D．3−2(푥−3)=1

【答案】B

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【分析】本题考查解一元一次方程——去分母，注意方程两边同时乘以最简公分母，不要漏乘项，分子是

多项式时，要看做一个整体加括号．运用等式的性质，方程两边同时乘以6，计算即可．

【详解】解：方程两边同时乘以6，得

3−2(푥−3)=6，

故选：B．

푥+22푥+3

【例1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）将方程=的两边乘可得到3=2，

23(푥+2)(2푥+3)

这步变形叫，其依据是．

【答案】6去分母等式的性质

【分析】方程两边同乘最小公倍数，去掉分母，利用的是等式的性质．

푥+22푥+3

【详解】解：将方程=的两边乘6，可得到3=2，这步变形叫去分母，其依据是等

23(푥+2)(2푥+3)

式的性质．

故答案为：6，去分母，等式的性质．

【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握去分母的方法，是解题的关键．

푥2푥−1

【例1.3】（2023六年级下·上海青浦·期末）解方程：−=1

64

9

【答案】푥=−

4

【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解

即可．

【详解】解：去分母，得2푥−3(2푥−1)=12，

去括号，得2푥−6푥+3=12，

移项、合并同类项，得−4푥=9，

9

系数化为1，得푥=−．

4

푥−12푥−1

【变式1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）解方程=3−，去分母时，方程两边乘各分母的最小公

64

倍数（）

A．10B．12C．24D．6

【答案】B

【分析】根据等式的性质，进行计算即可解答．

푥−12푥−1

【详解】解：解方程=3−，去分母时，方程两边乘最简公分母12，

64

第10页共27页.

故选：B．

【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．

【变式1.2】（2023七年级·福建漳州·期中）下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问

题．

푥−1푥−4

解方程：−=1

23

解：去分母，得3(푥−1)−2(푥−4)=1，……第一步

去括号，得3푥−3−2푥+8=1，……………第二步

______，得3푥−2푥=1+3−8，……………第三步

合并同类项，得푥=−4．……第四步

(1)请补充完整题目中的横线部分，这一步的解题依据是______；

(2)这位同学从第______步开始出现错误，具体的错误是______；

(3)求解此方程．

【答案】(1)移项，等式的基本性质1

(2)一，去分母时右边的1没有乘以6

(3)푥=1

【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质是解题的关键．

【详解】（1）解：移项，等式的基本性质1；

（2）一，去分母时右边的1没有乘以6；

푥−1푥−4

（3）−=1，

23

去分母，得3(푥−1)−2(푥−4)=6，

去括号，得3푥−3−2푥+8=6，

移项，得3푥−2푥=6−8+3

合并同类项，得푥=1．

【变式1.3】（2023七年级·全国·专题练习）解方程：

2푥−1푥−2

(1)=1−

34

푥−1푥+3

(2)1−=

32

第11页共27页.

푥+22푥−3

−=1

(3)35

【答案】(1)푥=2

1

푥=−

(2)5

(3)푥=4

【分析】

本题考查了解一元一次方程；

（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可；

（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可；

（3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．

【详解】（1）解：去分母得：4(2푥−1)=12−3(푥−2)，

去括号得：8푥−4=12−3푥+6，

移项得：8푥+3푥=12+6+4，

合并同类项得：11푥=22，

系数化为1得：푥=2；

（2）解：去分母得：6−2(푥−1)=3(푥+3)，

去括号得：6−2푥+2=3푥+9

移项得：−2푥−3푥=9−6−2

合并同类项得：−5푥=1

1

系数化为得：푥=−；

15

（3）解：去分母得：5(푥+2)−3(2푥−3)=15，

去括号得：5푥+10−6푥+9=15，

移项得：5푥−6푥=15−10−9，

合并同类项得：−푥=−4

系数化为1得：푥=4．

【考点2去分母解方程的应用】

【例2.1】（2023七年级·江苏宿迁·期中）明代程大位所著的数学名著《算法统宗》中有一道僧分馒头问题：

“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？”意思是100个和尚分100个馒头，

第12页共27页.

大和尚1人吃3个馒头，小和尚3人吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？如果设大和尚有푥人，则可列出

一元一次方程为．

100−푥

【答案】3푥+=100

3

【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是利用“大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分

3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个”列方程即可．

【详解】解：设大和尚有푥人，则可列出一元一次方程为

100−푥

3푥+=100，

3

100−푥

故答案为：3푥+=100．

3

【例2.2】（2023七年级·吉林长春·期中）为庆祝校运会开幕，七（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计

划一半的同学参加制作，每天制作面，完成了1以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成

403

任务，假设每人制作效率相同，问共制作小旗多少面？

【答案】共制作小旗180面

【分析】本题考查了一元一次方程的实际问题，解答时根据实际比计划提前一天半完成任务为等量关系建

푥

立方程是关键．设共制作小旗面，则原计划的时间为天，再根据条件求出实际完成任务的时间，由实际

x40

比计划提前一天半完成任务建立方程，求出其解即可；

【详解】解：设共制作x面，

푥1푥2푥3

由题意得−(3+3)=，

4040802

解得：푥=180，

答：共制作小旗180面．

【例2.3】（2023七年级·全国·假期作业）两地相距3600米，甲、乙两人同时从这两地相向而行，15分钟

相遇．如果甲将自己的速度提高2，乙将自己的速度降低1，再从两地同时相向出发，则两人分钟相

51012

遇．那么乙单独行完全程需要多少分钟？

【答案】50分钟

【分析】本题可用列方程解决问题，关键是逐步分析，找到速度如何变化以及速度、路程和时间三者之间

的关系．

根据速度和＝路程和÷相遇时间，用3600÷15即可求出原来两人的速度和，也就是240米/分；用3600÷12

即可求出变化后的速度和，也就是300米/分，假设乙原来每分钟行x米，则甲原来每分钟行(240−푥)米；

第13页共27页.

2

如果甲将自己的速度提高，也就是甲现在的速度是原来的1+2，把甲原来的速度看作单位“1”，根据分

55

1

数乘法的意义，可知甲变化后的速度是(240−푥)×1+2；如果乙将自己的速度降低，也就是乙现在的速

510

度是原来的1−1，把乙原来的速度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，可知乙变化后的速度是푥×

10

1−1，甲现在的速度＋乙现在的速度＝300米/分，据此可列方程为(240−푥)×1+2+푥×1−1

10510

=300，然后解出方程即可，进而求出用全程除以乙的速度，即可求出乙单独行完全程需要的时间．

【详解】解：3600÷15=240（米/分）

3600÷12=300（米/分）

设乙每分钟行x米，则甲每分钟行(240−푥)米．

21

(240−푥)×1++푥×1−=300

510

79

(240−푥)×+푥=300

510

779

240×−푥×+푥=300

5510

79

336−푥+푥=300

510

79

336−푥+푥=300

510

79

336−푥+푥=300

510

97

336+=300+푥

10푥5

79

336=300+푥−푥

510

79

336−300=푥−푥

510

1

36=푥

2

1

푥=36

2

1

푥=36÷

2

푥=36×2

푥=72

3600÷72=50（分）

答：乙单独行完全程需要50分钟．

第14页共27页.

【变式2.1】（2023七年级·全国·假期作业）甲、乙两班的学生于上午8：00出发，到距学校27千米的一个

动物园参观．现有一辆汽车，每次只能坐一个班的学生，为了使两个班同时到达，合理安排步行和乘车．若

步行速度为4千米/时，汽车速度为60千米/时，那么两个班最早几时几分同时到达？

【答案】9时9分

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练的运用速度、时间、路程之间的数量关系找到等量关

系是解决问题的关键．

设学校到甲班下车的地方的距离是x千米，甲班下车后，汽车开回去接乙班，并将乙班送到动物园时正好

甲班也到达动物园．甲乙两班步行的距离都是千米，所以甲乙步行的时间都是27−푥小时．汽车行驶

(27−푥)4

的距离则是[푥+27−2×(27−푥)]千米．根据乙班步行的时间等于车子从出发到与乙相遇的时间列方程可求

得x的值，再确定所用时间即可．

【详解】解：设学校到甲班下车的地方的距离是x千米，

27−푥푥+27−2(27−푥)

由题意可得：=，解得：푥=24；

460

所用时间：24÷60+(27−24)÷4=0.4+0.75=1.15（小时）；

8时＋1.15小时＝8时＋（1时＋0.15×60分）＝8时＋（1时＋9分）＝9时9分．

答：两个班最早9时9分同时到达．

【变式2.2】（2023七年级·吉林长春·期末）榆树市某中学七年一班全体学生参加社团活动进行分组，原来

每组8人，后来重新编组，每组12人，这样就比原来减少2组，请问七年一班共有多少人？

【答案】48人

【分析】设七年一班共有푥人．根据题意列一元一次方程，解方程即可求解．

【详解】解：设七年一班共有푥人．

푥푥

由题意得：

8−12=2

푥＝48．

经检验，符合题意．

答：七年一班共有48人．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

【变式2.3】（2023·河北石家庄·七年级期末）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译

文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多

少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（）

第15页共27页.

甲：设人数为푥人，可列方程5푥+45=7푥+3，

푦+45푦+3

乙：设羊价为푦元，可列方程为=．

57

A．只有甲对B．只有乙对C．甲、乙都对D．甲、乙都错

【答案】A

【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设

푦−45푦−3

人数为푥人，可列方程5푥+45=7푥+3，如果设羊价为푦元，可列方程=，然后即可作答．

57

【详解】设人数为푥人，可列方程5푥+45=7푥+3，

푦−45푦−3

如果设羊价为푦元，可列方程=，

57

则甲对，乙错．

故选：A．

【规律方法综合练】

0.1푥−22+3푥

【题型】（六年级下上海杨浦期中）解方程：푥−=

12023··0.30.6

10

【答案】푥=

13

【分析】本题考查了解一元一次方程，先将分子、分母化为整数，再根据去分母、去括号、移项、合并同

类项、系数化为1，可得方程的解．掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．注意：去分母时都乘以

分母的最小公倍数，分子要加括号．

푥−2010+15푥

【详解】解：整理得：푥−=，

33

去分母得：3푥−(푥−20)=10+15푥，

去括号得：3푥−푥+20=10+15푥，

移项得：3푥−푥−15푥=10−20，

合并得：−13푥=−10，

10

系数化为得：푥=．

113

【题型2】（2023七年级·全国·假期作业）暑假里，学校进行校园部分设施维修，如果甲队单独做，需要20

天，如果乙队单独做，需要25天．甲队先单独做了若干天后，被叫去参加另外一个工程的紧急抢修，剩下

的维修工作由乙队单独做完．两队一共用了22天完工，甲、乙两队各做了多少天？

【答案】甲、乙两队分别做了12天和10天

【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，假设这个工程的总量为“1”．甲队单独做，需要20天，则甲队

第16页共27页.

的工作效率为1．乙队单独做，需要天，则乙队的工作效率为1．根据工作效率工作时间＝工作总量，

202525×

据此可以假设甲队做了x天，则乙队做了(22−푥)天，甲队工作的天数×工作效率＋乙队工作的天数×工作效

率＝工作总量，据此列方程，并解答即可．

【详解】解：设甲队做了x天，则乙队做了(22−푥)天，则

11

푥+(22−푥)=1

2025

1221

푥+−푥=1

202525

12212222

푥+−푥−=1−

2025252525

113

푥−푥=

202525

543

푥−푥=

10010025

13

푥=

10025

푥=12；

则乙队：22−12=10（天）

答：甲、乙两队分别做了12天和10天．

푥

【题型】（七年级山西吕梁阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为

32023··x9024−15=2024푥+푚

2

2−푦2

푥=−6，则关于y的一元一次方程3+15=20242−푦+푚的解为．

21243

【答案】푦=12

【分析】

2

本题考查解一元一次方程的拓展，掌握解一元一次方程的一般步骤和换元法是解题的关键．令푡=2−푦，则

3

2

2−푦2푡2

3+15=20242−푦+푚可化为−15=2024푡+푚，从而得到푡=2−푦=−6，继而得解．

2124390243

【详解】

2

解：令푡=2−푦，

3

2

2−푦2푡

则3+15=20242−푦+푚可化为−15=2024푡+푚，

212439024

푥

关于的一元一次方程的解为，

∵x9024−15=2024푥+푚푥=−6

푡

的解为，

∴9024−15=2024푡+푚푡=−6

第17页共27页.

2

푡=2−푦=−6，

∴3

解得：푦=12，

故答案为：푦=12．

【拓广探究创新练】

2푥−1푥+푎

【题型】（七年级江苏扬州阶段练习）小明解方程=−3，由于粗心大意，在去分母时，方

12023··32

程右边的−3没有乘6，由此求得的解为푥=2，试求푎的值，并求出原方程的解．

【答案】푎=1，푥=−13

【分析】本题主要考查解方程，熟悉相关的解题步骤是解题的关键，先根据错误的做法：“方程右边的−3没

有乘以6”而得到푥=2，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解．

【详解】解：去分母时方程右边的−3漏乘了6；

此时变形为2(2푥−1)=3(푥+푎)−3；

将푥=2代入，得2(2×2−1)=3(2+푎)−3；

解得：푎=1；

2푥−1푥+1

则原方程应为：=−3；

32

去分母得：2(2푥−1)=3(푥+1)−18；

去括号得：4푥−2=3푥+3−18，

解得：푥=−13．

【题型2】（2023七年级·江西新余·期中）设[푎]表示不小于a的最小整数，例如：[1.6]=2，−21=−2，

4

[7]=7．

(1)求−33−[2.1]+[−3]的值；

5

3

(2)设{푎}=[푎]−푎，푏={−2.8}+54−41，푐=−33−[2.1]+[−3]，解方程푏푥−1=푐−푥．

5454

【答案】(1)−9

20

푥=−

(2)17

【分析】（1）先根据新定义确定每项的值，再按加减法法则计算；

（2）先根据新定义求出b，c的值，然后代入方程求解即可．

【详解】（1）解：原式=(−3)−3+(−3)

第18页共27页.

=−9．

413

（2）解：由题知：{−2.8}=−2−(−2.8)=，54=6，41=5−4=，

55444

43121

b=+6−=．

∴5420

∵푐=−33−[2.1]+[−3]=−3−3−3=−9，

5

1213

原方程化为：푥−1=−9−푥，

∴204

20

解得：푥=−．

17

【点睛】本题考查了新定义，有理数的减法，以及解一元一次方程，理解新定义的含义是解答本题的关键．

【题型3】（2023七年级·广东广州·期中）解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个

푥

值就是方程的解（）．已知：关于的方程．

solution푥2푚−푥=3+2

푥

若是方程的解，则的值为；

(1)푥=32푚−푥=3+2푚

푥

若关于的方程的解比方程的解小，求的值；

(2)푥2푚−푥=3+22푚−푥=4푚1푚

2푚푥−3푥푥−푛푥푚+1푥

(3)若关于푥的方程−푥=−푛与−=均无解，求代数式6푚+4푛−2(푚−1)的值．

23346(푛+1)

【答案】(1)5

(2)푚=1

(3)9

【分析】本题考查的是求解代数式的值，一元一次方程的解法，方程无解的含义，理解题意是关键．

푥

（）把代入方程，再建立方程求解即可；

1푥=32푚−푥=3+6

푥

（）分别解给定的两个方程，再根据关于的方程的解比方程的解小，建立新的

2푥2푚−푥=3+22푚−푥=4푚1

方程求解即可；

（3）先把已知方程变形求解푚,푛的值，再代入代数式计算即可．

푥

【详解】（）解：把代入方程，

1푥=32푚−푥=3+6

得：2푚−3=7，

解得푚=5

故答案为5．

第19页共27页.

푥

（），

2∵2푚−푥=3+6

4

푥=2푚−6，

∴3

3푚−9

푥=

∴2

∵2푚−푥=4푚，

得푥=−2푚

3푚−9

根据题意：+1=−2푚，

2

解得：푚=1

∴푚的值是1．

2푚푥−3푥

（3）−푥=−푛，

23

方程两边同时乘以6，得3(2푚푥−3)−6푥=2푥−6푛

整理得：(6푚−8)푥=9−6푛

∵此方程无解，

4

∴6푚−8=0，即푚=，

3

푥−푛푥푚+1푥

−=，

346

方程两边同时乘以12，得4(푥−푛푥)−3(푚+1)=2푥

整理得：(2−4푛)푥=3푚+3

∵此方程无解，

1

∴2−4푛=0，即푛=，

2

41

把푚=，푛=代入上式得：

32

6푚+4푛−2(푚−1)(푛+1)

4141

=6×+4×−2×(−1)×+1

3232

13

=8+2−2××

32

=9，

答：代数式的值是9．

模块三课后作业

第20页共27页.

1．（2023七年级·云南昆明·期末）解方程5−2(푥+3)=0，去括号正确的是（）

A．5−2푥−3=0B．5+2푥−3=0C．5−2푥+6=0D．5−2푥−6=0

【答案】D

【分析】本题主要考查了解一元一次方程．根据去括号法则进行判断即可．

【详解】解：5−2(푥+3)=0，

去括号：5−2푥−6=0，故D正确．

故选：D．

푥−12푥+1

2．（2023七年级·山西长治·阶段练习）解方程=1−，去分母后正确的是（）

26

A．3(푥−1)=1−(2푥+1)B．3(푥−1)=6−(2푥+1)

C．3푥−1=1−(2푥+1)D．3(푥−1)=6−2푥+1

【答案】B

【分析】

本题考查了解含分母的一元一次方程，解题的关键是熟练掌握去分母的法则等式两边同时乘以所有分母的

最小公倍数，根据等式的法则解答即可

푥−12푥+1

【详解】解：=1−

26

两边同时乘以6，去分母得：3(푥−1)=6−(2푥+1)，

故选：B

3．（2023七年级·河南洛阳·期中）已知퐴=2푥+1，퐵=5푥−4，若A比B小1，则x的值为（）

A．2B．−2C．3D．−3

【答案】A

【分析】根据A比B小1，即可列方程，解方程求得푥的值．

【详解】解：∵퐴=2푥+1，퐵=5푥−4，A比B小1，

∴(5푥−4)−(2푥+1)=1，

解得푥=2．

故选：A．

【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确的解方程是解题的关键．

2+푚푥

．（六年级上山东淄博期末）有一关于的方程=푥−1，已知该方程的解为푥=−1，那么的

42023··x3m

值是()

第21页共27页.

A．−2B．3C．6D．8

【答案】D

【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的

2+푚푥

解．将푥=−1代入方程=푥−1即可求解．

3

2+푚푥

【详解】解：将푥=−1代入方程=푥−1得：

3

2−푚

=−1−1，

3

解得：푚=8

故选：D

5．（2023七年级·浙江台州·期末）一项任务，由甲单独做需16天完成，由乙单独做需24天完成，现在乙先

做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间

为푥天，则下列方程正确的是（）

푥푥−9푥−9푥푥−9푥+9푥푥+9

A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1