2025年高考物理一轮复习（新人教新高考）第九章静电场复习讲义（教师版）

考情分析试题情境生活实践类人体带电头发散开，尖端放电，避雷针，静电吸附，直线加速器，示波器，静电加速器学习探究类观察静电感应现象，探究电荷间的作用力的影响因素，库仑扭秤实验，模拟电场线，观察电容器的充、放电现象第1课时静电场中力的性质目标要求1.掌握库仑定律的内容及条件，并会用来解决问题。2.理解电场强度的定义，并会计算电场强度的大小，判断电场强度方向。3.理解电场线的特点，会用电场线的特点解决相关问题。考点一电荷守恒定律库仑定律1．元电荷、点电荷(1)元电荷：e＝1.60×10－19C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍。(2)点电荷：代表带电体的有一定电荷量的点，忽略带电体的大小、形状及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响的理想化模型。2．电荷守恒定律(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。(2)三种起电方式：摩擦起电、感应起电、接触起电。(3)带电实质：物体得失电子。(4)电荷的分配原则：两个形状、大小相同且带同种电荷的同种导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分。公式：q1′＝q2′＝eq\f(q1＋q2,2)。3．库仑定律(1)内容真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。(2)表达式F＝keq\f(q1q2,r2)，式中k＝9.0×109N·m2/C2，叫作静电力常量。(3)库仑力的方向由相互作用的两个带电体决定，即同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。(4)说明①F＝keq\f(q1q2,r2)，r指两点电荷间的距离。对于可视为点电荷的两个均匀带电绝缘球体，r为两球的球心间距。②当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无限大。思考两个带电金属球带电荷量分别为q1、q2，相距为r，距离较近，不能看成点电荷，它们之间的库仑力会受到什么影响？答案对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。①同种电荷：F<keq\f(q1q2,r2)；②异种电荷：F>keq\f(q1q2,r2)。1．某带电体所带的电荷量可以是5×10－19C。(×)2．体积很大的带电体有时也可以看作点电荷。(√)3．两个带异种电荷的金属球接触时，正电荷从一个球转移到另一个球。(×)4．相互作用的两个点电荷，电荷量大的受到的库仑力也大。(×)5．根据公式F＝keq\f(q1q2,r2)，当r→0时，F→∞。(×)6．根据公式F＝keq\f(q1q2,r2)，当r→∞时，F→0。(√)例1(2023·重庆市南开中学期中)分别带有电荷量－Q和＋2Q的两相同金属小球(均可视为点电荷)相距为d，它们之间库仑力的大小为F。设法让两小球接触后再分开一定的距离，它们之间库仑力大小依然为F，则此时两小球相距()A.eq\f(\r(2),4)dB.eq\f(1,8)dC.eq\f(1,4)dD．d答案A解析两小球接触前，由库仑定律得F＝keq\f(2Q·Q,d2)＝eq\f(2kQ2,d2)，两小球接触后再分开，正负电荷中和后电荷量均分，设分开的距离为x，则有F＝keq\f(\f(1,2)Q·\f(1,2)Q,x2)＝eq\f(kQ2,4x2)，解得x＝eq\f(\r(2),4)d，故选A。例2(2023·湖北宜昌市调研)如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b电荷量均为＋q，c和d电荷量均为－q，静电力常量为k，则a电荷受到的其他三个电荷的库仑力的合力大小是()A．0B.eq\f(\r(2)kq2,l2)C.eq\f(kq2,l2)D.eq\f(3kq2,2l2)答案D解析a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则c、d电荷对a电荷的库仑力为引力，b电荷对a电荷的库仑力为斥力，根据库仑定律，库仑力大小分别为Fca＝eq\f(kq2,\r(2)l2)，Fba＝Fda＝keq\f(q2,l2)；根据力的合成法则，a电荷所受的库仑力大小为F＝eq\f(3kq2,2l2)，故A、B、C错误，D正确。例3(多选)(2023·云南曲靖市模拟)如图所示，绝缘的斜面体ABC静止于水平面上，∠B＝37°，∠C＝53°，两个可视为质点的带电物体P和Q分别在AB和AC面上静止不动，且P、Q连线水平。AB面和AC面光滑，设斜面体和P、Q的质量分别为M、m1、m2，重力加速度为g，sin37°＝0.6。下列判断正确的是()A．P、Q一定带异种电荷，且Q的电荷量一定等于P的电荷量B．P、Q的质量之比是eq\f(16,9)C．水平面对斜面体底部有水平向右的静摩擦力D．水平面对斜面体的支持力等于(M＋m1＋m2)g答案BD解析隔离法：P、Q两物体都是三力平衡，且P、Q在水平方向受到的是大小相等的库仑引力，P、Q一定是带异种电荷，电荷量大小关系不能确定，选项A错误；由库仑引力F、重力mg和倾角的关系式F＝mgtanθ可知，P、Q质量之比为eq\f(mP,mQ)＝eq\f(tan53°,tan37°)＝eq\f(16,9)，选项B正确；整体法：对由斜面体和P、Q所构成的整体，水平面对斜面体支持力等于总重力，水平面对斜面体没有摩擦力，水平面对斜面体的支持力FN＝(M＋m1＋m2)g，选项C错误，D正确。库仑力作用下的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了库仑力，具体步骤如下：考点二电场、电场强度1．电场(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质；(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用。2．电场强度(1)定义：放入电场中某点的电荷受到的静电力F与它的电荷量q的比值。(2)定义式：E＝eq\f(F,q)；单位：N/C或V/m。(3)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受静电力的方向为该点电场强度的方向。3．点电荷的电场：真空中与场源电荷Q相距为r处的电场强度大小为E＝keq\f(Q,r2)。1．电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比。(×)2．由E＝eq\f(F,q)知，当试探电荷的电荷量q变为一半时，电场强度E变为2倍。(×)3．点电荷电场强度的公式E＝eq\f(kQ,r2)表明，点电荷Q周围电场强度的大小与电荷量Q成正比。(√)4．电场中某点的电场强度方向为试探电荷在该点的受力方向。(×)例4(2024·湖南省永州一中开学考)真空中Ox坐标轴上的某点有一个点电荷Q，坐标轴上A、B两点的坐标分别为0.2m和0.7m，如图甲所示。在A点放一个带正电的试探电荷，在B点放一个带负电的试探电荷，A、B两点的试探电荷受到静电力的方向都跟x轴正方向相同，静电力的大小F跟试探电荷电荷量q的关系分别如图乙中直线a、b所示。忽略A、B间的作用力。下列说法正确的是()A．B点的电场强度大小为0.25N/CB．A点的电场强度的方向沿x轴负方向C．点电荷Q的位置坐标为0.3mD．点电荷Q是正电荷答案C解析由A处试探电荷的F－q图线可得，该处的电场强度为E1＝eq\f(F1,q1)＝4×105N/C，方向沿x轴正方向，同理可得，B处的电场强度为E2＝eq\f(F2,q2)＝0.25×105N/C，方向沿x轴负方向，A、B错误；由A、B的分析可知，点电荷Q应为负电荷，且在A、B之间，设Q到A点的距离为l，由点电荷电场强度公式可得E1＝keq\f(Q,l2)＝4×105N/C，E2＝keq\f(Q,0.5m－l2)＝eq\f(1,4)×105N/C，联立解得l＝0.1m，故点电荷Q的位置坐标为0.3m，C正确，D错误。例5在点电荷Q产生的电场中有a、b两点，相距为d。已知a点的电场强度大小为E，方向与ab连线成60°角，b点的电场强度方向与ab连线成30°角，如图所示，则点电荷Q的电性和b点的电场强度大小为()A．正电、3E B．负电、3EC．正电、eq\f(E,3) D．负电、eq\f(E,3)答案C解析将电场强度E、Eb反向延长，交点即为点电荷Q所在的位置，如图所示，由于电场方向向外，故该点电荷Q带正电，根据几何知识可得，a点到点电荷Q的距离为ra＝d，则b点到Q的距离为rb＝eq\r(3)d，a、b两点到Q的距离之比为1∶eq\r(3)，由E＝keq\f(Q,r2)，可得a、b两点的电场强度之比为3∶1，得出Eb＝eq\f(E,3)，故C正确，A、B、D错误。考点三电场线的理解及应用1．电场线的特征(1)电场线是假想的，实际电场中不存在。(2)电场线起始于正电荷(或无限远)，终止于无限远(或负电荷)。静电场的电场线不闭合。(3)电场线不相交，也不相切。(4)电场线的疏密程度反映电场的强弱。(5)电场线不表示电荷在电场中运动的轨迹。2．六种典型电场的电场线3．两种等量点电荷电场线的比较比较等量异种点电荷等量正点电荷电场线分布图电荷连线上的电场强度沿连线先变小后变大O点最小，但不为零O点为零中垂线上的电场强度O点最大，向外逐渐减小O点最小，向外先变大后变小关于O点对称位置的电场强度A与A′、B与B′、C与C′等大同向等大反向4.电场线的应用(1)判断电场强度的大小：电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反。(3)判断电势的高低与电势降低得快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低更快。1．电场线和电场一样都是客观存在的。(×)2．带电粒子只受静电力作用时一定沿电场线运动。(×)3．电场线不是电荷的运动轨迹，但根据电场线的方向能确定已知电荷的加速度的方向。(√)思考下列三个问题中带电粒子只受静电力作用。(1)当电场线是直线时，带电粒子一定能沿着电场线运动吗？(2)当电场线是曲线时，带电粒子可能沿着电场线运动吗？(3)若带电粒子的运动轨迹与电场线重合必须满足什么条件？答案(1)不一定(2)不可能(3)①电场线是直线；②带电粒子初速度为零或初速度方向沿电场线所在的直线。例6如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，带电荷量大小分别为q和2q，两点电荷间的距离为2r，P、Q两点关于两电荷连线对称，静电力常量为k。由图可知()A．P、Q两点的电场强度相同B．M点的电场强度小于N点的电场强度C．右边的点电荷带电荷量为－2qD．两点电荷连线的中点处的电场强度大小为3keq\f(q,r2)答案D解析电场线的疏密表示电场强度的相对大小，根据题图可知，P点电场强度大小等于Q点电场强度大小，但是两点电场强度的方向不同，则电场强度不相同，故A错误；同理，M点的电场线较N点密集，可知M点的电场强度大于N点的电场强度，故B错误；根据电场线的方向可知，右边的点电荷带负电，但是带电荷量小于左边点电荷的带电荷量，故右边的点电荷带电荷量为－q，故C错误；依据点电荷的电场强度公式E＝keq\f(Q,r2)，则两点电荷连线的中点处的电场强度大小为E合＝keq\f(2q,r2)＋keq\f(q,r2)＝3keq\f(q,r2)，故D正确。例7(多选)电场线能直观地反映电场的分布情况。如图是等量异种点电荷形成的电场；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D分别是两电荷连线上关于O对称的两点。则()A．E、F两点电场强度相同B．A、D两点电场强度不同C．B、O、C三点中，O点电场强度最小D．从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大答案AC解析等量异种点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点电场强度方向相同，由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，则其电场强度大小也相等，故A正确；根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点电场强度大小相等，由题图甲看出，A、D两点电场强度方向相同，故B错误；由题图甲看出，B、O、C三点比较，O点处的电场线最稀疏，电场强度最小，故C正确；由题图可知，电子从C点向O点运动过程中，电场强度逐渐减小，则静电力逐渐减小，由牛顿第二定律可知电子的加速度逐渐减小，故D错误。课时精练1．(多选)(2021·湖北卷·8)关于电场，下列说法正确的是()A．电场是物质存在的一种形式B．电场力一定对正电荷做正功C．电场线是实际存在的线，反映电场强度的大小和方向D．静电场的电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面答案AD解析电场是存在于电荷周围的一种特殊媒介物质，A正确；如果正电荷的速度方向与电场力方向的夹角大于90°，则电场力做负功，等于90°电场力不做功，小于90°电场力做正功，B错误；电场线是为了形象地描绘电场而人为引入的一簇曲线，该曲线的疏密程度反映电场强度的大小，C错误；静电场的电场线在空间上与等势面垂直，且沿电场线的方向电势降低，即由高等势面指向低等势面，D正确。2.(2023·广东东莞市模拟)小明同学在空气干燥的教室里进行一个小实验，将一塑料扁带撕成细丝后，一端打结，做成“章鱼”的造型，用毛巾顺着细丝向下捋几下，同样用毛巾来回摩擦PVC(塑料)管。将“章鱼”抛向空中，然后把PVC管从下方靠近它，直到“章鱼”处于悬停状态，则()A．PVC管带电方式属于感应起电B．塑料扁带丝由于带上同种电荷会向四周散开C．用毛巾摩擦后，“章鱼”与PVC管带异种电荷D．PVC管与“章鱼”相互靠近过程中，两者间相互作用力变小答案B解析PVC管带电方式属于摩擦起电，A错误；塑料扁带丝由于带上同种电荷相互排斥而会向四周散开，B正确；用毛巾摩擦后，“章鱼”与PVC管带同种电荷，C错误；PVC管与“章鱼”相互靠近过程中，距离减小，两者间相互作用力变大，D错误。3.如图所示，一负电荷仅在静电力作用下从点a运动到点b，在点a的速度大小为v0，方向与电场方向相同。该电荷从点a到点b的v－t图像正确的是()答案A解析由题图可知从点a到点b过程中，电场线分布越来越密，则电场强度增大，所以负电荷所受静电力增大，根据牛顿第二定律，则电荷的加速度也增大，负电荷受到的静电力方向和电场强度方向相反，因为仅在静电力作用下运动，则电荷做加速度不断增大的减速运动，v－t图像的斜率表示加速度，根据图像分析可得正确的是A选项。4.如图为真空中两点电荷A、B形成的电场中的电场线，该电场线关于虚线对称，O点为A、B点电荷连线的中点，a、b为其连线的中垂线上对称的两点，则下列说法正确的是()A．A、B可能带等量异种电荷B．A、B可能带不等量的正电荷C．同一试探电荷在a、b两点处所受静电力大小相等，方向相反D．a、b两点处无电场线，故其电场强度为零答案C解析由于电场线关于虚线对称，O点为A、B点电荷连线的中点，结合等量异种与等量同种点电荷电场线的分布特点，可知A、B带等量正电荷，故A、B错误；a、b为其连线的中垂线上对称的两点，根据等量正点电荷电场线的分布特点，可知a、b两点位置的电场强度大小相等，方向相反，则同一试探电荷在a、b两点处所受静电力大小相等，方向相反，故C正确；电场线是为了形象描述看不见、摸不着的电场而人为假想的，其分布的疏密程度表示电场强度的大小，a、b两点处虽然无电场线，但其电场强度不为零，故D错误。5．(2024·河北省模拟)如图所示，真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷)，所带电荷量分别为＋Q和－5Q，在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的点电荷，该电荷受到的静电力大小为F1，已知AB＝BC。若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时，C处点电荷受到的静电力大小为F2，则eq\f(F1,F2)为()A.eq\f(21,10)B.eq\f(21,16)C.eq\f(19,10)D.eq\f(19,16)答案C解析设AB＝BC＝l，对C点处点电荷根据库仑定律得F1＝eq\f(5kQq,l2)－eq\f(kQq,2l2)＝eq\f(19kQq,4l2)，将两带电金属小球接触后，两小球所带电荷量均为－2Q，根据库仑定律得F2＝eq\f(2kQq,l2)＋eq\f(2kQq,2l2)＝eq\f(5kQq,2l2)，所以eq\f(F1,F2)＝eq\f(19,10)，故选C。6．(多选)如图甲所示，在x轴上有一个点电荷Q(图中未画出)，O、A、B为轴上三点，放在A、B两点的试探电荷受到的静电力跟试探电荷所带电荷量的关系如图乙所示。以x轴的正方向为静电力的正方向，则()A．点电荷Q一定为正电荷B．点电荷Q在A、B之间C．B点的电场强度大小为2×103N/CD．同一电荷在A点受到的静电力比在B点的大答案BD解析由题图乙知，两直线都是过原点的倾斜直线，由电场强度的定义式可知，其斜率的绝对值为各点的电场强度大小，则EA＝eq\f(FA,qA)＝2×103N/C，EB＝eq\f(FB,qB)＝0.5×103N/C＝eq\f(EA,4)，同一电荷在A点受到的静电力比在B点的大，C错误，D正确；由题图乙知正试探电荷在A点受静电力方向为正，负试探电荷在B点受静电力方向也为正，可得A、B两点电场强度方向相反，则点电荷Q在A、B之间，且为负电荷，A错误，B正确。7.如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5cm，bc＝3cm，ca＝4cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则()A．a、b带同种电荷，k＝eq\f(16,9)B．a、b带异种电荷，k＝eq\f(16,9)C．a、b带同种电荷，k＝eq\f(64,27)D．a、b带异种电荷，k＝eq\f(64,27)答案D解析由小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，知a、b带异种电荷。a对c的库仑力Fa＝eq\f(k静qaqc,ac2)①b对c的库仑力Fb＝eq\f(k静qbqc,bc2)②若合力向左，如图所示，根据相似三角形得eq\f(Fa,ac)＝eq\f(Fb,bc)③由①②③得k＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(qa,qb)))＝eq\f(ac3,bc3)＝eq\f(64,27)，若合力向右，结果仍成立，D正确。8．(多选)(2023·山东威海市期末)如图甲所示，P、Q为真空中两固定点电荷，O为P、Q连线的中点，MN为P、Q连线的中垂线，从MN上的C点由静止释放一试探电荷，电荷仅在静电力作用下运动，运动过程中的速度—时间图像如图乙所示(已知图像关于虚线对称)，下列说法正确的是()A．P、Q为等量同种电荷B．P、Q为等量异种电荷C．t1时刻，试探电荷位于O点D．t2时刻，试探电荷位于O点答案AC解析从MN上的C点由静止释放一试探电荷，电荷仅在静电力作用下运动，运动过程中的速度—时间图像如题图乙所示，因为图像关于虚线对称，所以可以判断试探电荷在MN上运动，两电荷对试探电荷同为引力，所以P、Q为等量同种电荷，故A正确，B错误；t1时刻，试探电荷速度最大，合力做功最多，所以试探电荷位于O点，t2时刻，试探电荷速度为零，到达C点关于O的对称点，故C正确，D错误。9.(2023·安徽合肥市期末)如图所示，水平放置的绝缘圆柱体两底面圆心P、Q处分别放置两个带有等量异种电荷的小球(可视为点电荷)。O为P、Q连线的中点，A、C是底面上的两点，B、D是过O点横截面上的两点，且A、B、C位于同一直线上。下列说法正确的是()A．A、C两点的电场强度相同B．B、D两点的电场强度相同C．B点的电场强度大于O点的电场强度D．将正试探电荷从B点沿直线移动至O点，静电力做正功答案B解析根据题意，由等量异种电荷的电场线分布特点可知，A、C两点的电场强度大小相等，方向不同，B点的电场强度小于O点的电场强度，故A、C错误；B、D两点为中垂面上距O点距离相等的点，则电场强度相同，故B正确；将正试探电荷从B点沿直线移动至O点，由于静电力的方向与运动方向垂直，则静电力不做功，故D错误。10.(2023·山西太原市一模)如图所示，圆环被竖直固定，两个质量均为m的带电小球A、B套在圆环上处于静止状态。A球带正电、位于圆环圆心O的正下方，B球光滑，两球连线与竖直方向成30°角。设A球受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则()A．圆环对B球的弹力方向由O指向BB．A球与圆环间的动摩擦因数不小于eq\f(\r(3),4)C．圆环对B球弹力的大小为eq\f(\r(3),2)mgD．圆环对A球弹力的大小为2.5mg答案D解析若B球带负电，则A球对B球为吸引力，方向沿BA方向，此时无论圆环对B球的支持力指向圆心还是背离圆心，小球B都不能处于平衡状态，所以小球A对B为排斥力，方向沿AB方向，如图所示，且由受力分析可得，圆环对B球的支持力指向圆心，即由B指向O，故A错误；对B球受力分析，由几何关系可知圆环对B球弹力的大小为FN＝mg，则A、B两球之间的排斥力为FAB＝2mgcos30°＝eq\r(3)mg，对A球受力分析可得FN′＝mg＋eq\r(3)mgcos30°＝2.5mg，Ff＝eq\r(3)mgsin30°＝eq\f(\r(3),2)mg，所以当Ff＝μFN′时，动摩擦因数最小为μ＝eq\f(\r(3),5)，故B、C错误，D正确。11.如图，一半球形光滑绝缘碗固定在水平地面上，半径为R，上表面水平，O为球心。三个完全一样的带电小球静止放置在碗内，处在同一水平面上，小球距离碗底的竖直高度为eq\f(R,2)(图中只画出一个小球，另外两个小球未画出，均可视为点电荷)。已知小球质量为m，重力加速度为g，静电力常量为k。则每个小球带电荷量的大小是()A．3Req\r(\f(mg,k)) B.eq\f(3,2)Req\r(\f(mg,k))C．3Req\r(\f(mg,2k)) D.eq\f(3R,4)eq\r(\f(\r(3)mg,k))答案B解析由分析可知，三小球之间的距离两两相等，设两球之间的距离为r，电荷量为q，则两球之间的库仑力为F＝keq\f(q2,r2)，则其中一个小球所受的库仑力合力为F合＝2Fcos30°，对小球受力分析可知eq\f(mg,F合)＝tan30°，由几何关系可知r＝eq\f(3,2)R，联立解得q＝eq\f(3,2)Req\r(\f(mg,k))，故选B。12.(多选)(2021·湖北卷·11)如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q(q>0)。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ＝45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是()A．M带正电荷 B．N带正电荷C．q＝Leq\r(\f(mg,k)) D．q＝3Leq\r(\f(mg,k))答案BC解析对小球M受力分析如图(a)所示，对小球N受力分析如图(b)所示，由受力分析图可知小球M带负电荷，小球N带正电荷，故B正确，A错误；由几何关系可知，两小球之间的距离为r＝eq\r(2)L，当两小球的电荷量为q时，由力的平衡条件得mgtan45°＝Eq－keq\f(q2,r2)两小球的电荷量同时变为原来的2倍后，由力的平衡条件得mgtan45°＝E·2q－keq\f(2q2,r2)整理解得q＝Leq\r(\f(mg,k))，故C正确，D错误。13.(2023·海南卷·8)如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2cm，OB＝4cm，在A、B固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，试求Q1∶Q2是多少()A．2n2∶1B．4n2∶1C．2n3∶1D．4n3∶1答案C解析对小球受力分析如图所示。在△CPH中根据正弦定理有：eq\f(FA,sin∠CPH)＝eq\f(FB,sin∠CHP)，又∠CPH＝∠OPB，∠CHP＝∠HPD＝∠APO，在△APO中：eq\f(AP,sinπ－∠POB)＝eq\f(AO,sin∠APO)，同理：eq\f(BP,sin∠POB)＝eq\f(BO,sin∠OPB)，FA＝keq\f(Q1q,AP2)，FB＝keq\f(Q2q,BP2)，联立以上各式，解得Q1∶Q2＝2n3∶1，故选C。

第2课时静电场中能的性质目标要求1.理解电势、电势能、电势差的概念，电势差与电场强度的关系，静电力做功与电势能变化的关系。2.会解决电场线、等势面及运动轨迹的综合问题。考点一描述电场能的性质的物理量1．静电力做功的特点静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与电荷经过的路径无关。2．电势能(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。(2)说明：电势能具有相对性，通常把无限远处或大地表面的电势能规定为零。(3)静电力做功与电势能变化的关系①静电力做的功等于电荷电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少。②电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。3．电势(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比叫作电场在这一点的电势。(2)定义式：φ＝eq\f(Ep,q)。(3)标矢性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。4．电势差电场中两点间的电势的差值，也叫电压。公式表示为UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA，还可以推导出静电力做功与电势差的关系：UAB＝eq\f(WAB,q)。思考电势能和电势都具有相对性，其正、负值表示什么含义？电势差的大小与零电势点的选取有关系吗？答案电势能和电势的正、负值表示大小；电势差的大小与零电势点选取无关。5．等势面(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。(2)四个特点：①在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面。③等差等势面越密的地方电场强度越大，电场线越密集，反之越小。④任意两个等势面都不相交。(3)几种常见的电场的等势面的特点电场等势面(虚线)图样特点匀强电场垂直于电场线的一簇平面点电荷的电场以点电荷为球心的一簇球面等量异种点电荷的电场两电荷连线的中垂面为等势面等量正点电荷的电场在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高1．电场强度为零的点，电势一定为零。(×)2．沿电场线的方向电场强度越来越小，电势逐渐降低。(×)3．电势差UAB与WAB成正比，与q成反比。(×)4．等差等势线越密的地方，电场线越密，电场强度越大。(√)5．电场线与等势面互相垂直，电场线从电势高的等势面指向电势低的等势面。(√)例1将带电荷量为6×10－6C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服静电力做了3×10－5J的功，再从B移到C，静电力做了1.2×10－5J的功，则：(1)该电荷从A移到B，再从B移到C的过程中，电势能共改变了多少？(2)如果规定A点的电势能为零，则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少？答案见解析解析(1)电势能的变化量可根据ΔEp＝－W电或ΔEp＝EpB－EpA计算。从A移到C，静电力做的功WAC＝－3×10－5J＋1.2×10－5J＝－1.8×10－5J，电势能增加1.8×10－5J。(2)电荷在某点的电势能等于把该电荷从该点移至零电势能点时静电力做的功。WAB＝EpA－EpB＝－3×10－5J，又EpA＝0，则EpB＝3×10－5J；WAC＝EpA－EpC＝－1.8×10－5J，则EpC＝1.8×10－5J。判断电势能变化的两种方法1．根据静电力做功：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加。2．根据Ep＝qφ：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小。例2(多选)(2023·辽宁卷·9)图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则()A．P点电势比M点的低B．P点电场强度大小比M点的大C．M点电场强度方向沿z轴正方向D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变答案CD解析由题图结合电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，可知P点电势比M点的高，选项A错误；因M点所在的等差等势面密集，则M点电场强度比P点大，即P点电场强度大小比M点的小，选项B错误；电场强度方向垂直等势面，且沿电场线方向电势逐渐降低，可知M点电场强度方向沿z轴正方向，选项C正确；因x轴上各点电势相等，则沿x轴运动的带电粒子电势能不变，选项D正确。电势高低的四种判断方法1．电场线法：沿电场线方向电势逐渐降低。2．电势差与电势的关系：根据UAB＝eq\f(WAB,q)＝φA－φB，将WAB、q的正负号代入，计算出UAB，再由UAB的正负判断φA、φB的高低。3．Ep与φ的关系：由φ＝eq\f(Ep,q)知正电荷在电势能大处电势较高，负电荷在电势能大处电势较低。4．场源电荷的正负：取离场源电荷无限远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低。空间中有多个点电荷时，某点的电势可以代数求和。例3(多选)(2023·海南卷·12)如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是()A．M、N两点电场强度相同B．M、N两点电势相同C．负电荷在M点电势能比在O点时要小D．负电荷在N点电势能比在O点时要大答案BC解析两正电荷在M点的合电场强度向右，在N点的合电场强度向左，负电荷在M和N点的电场强度分别沿右上方和左上方，由矢量合成可知，M和N的电场强度大小相等、方向不同，A错误；由等量同种电荷的电场分布规律，可知两正电荷的电场在M和N两点的电势相同，负电荷C在M、N两点的电势也相同，故M、N两点的电势相同，B正确；两正电荷在M点的电势比在O点的高(因两正电荷在AO间的合电场强度向右)，负电荷C产生的电场中，离负电荷越近电势越低，故负电荷在M点的电势也比在O点的要高，可知M点电势比O点高，而负电荷在电势越高处电势能越小，C正确；N点和M点电势相同，则负电荷在N点电势能也比在O点时要小，D错误。考点二电势差与电场强度的关系1．匀强电场中电势差与电场强度的关系(1)电势差与电场强度的关系式：U＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场方向的距离。(2)电场强度的方向和大小：电场中，电场强度方向是指电势降低最快的方向。在匀强电场中，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。2．由E＝eq\f(U,d)可推出的两个重要推论推论1：如图甲所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势，φC＝eq\f(φA＋φB,2)。推论2：如图乙所示，若匀强电场中两线段AB＝CD且AB∥CD，则φA－φB＝φC－φD。例4(2023·广东茂名市一模)平时我们所处的地球表面，实际上存在电场强度大小为100V/m的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高。则下列说法正确的是()A．b、c两点间的电势差Ubc＝0B．a点电场强度大小大于100V/mC．a点电场强度方向水平向右D．a点的电势低于c点答案B解析由题图可知，b、c两点间的电势差为Ubc＝200V－300V＝－100V，故A错误；由题图可知，a点与相邻两等势面的距离均小于1m，电势差等于100V，根据E＝eq\f(U,d)可知a点电场强度大小大于100V/m，故B正确；根据电场强度方向垂直于等势面，可知a点的电场强度方向沿竖直方向，不是水平方向，故C错误；由题图可知，a点与c点在同一等势面上，电势均为300V，故D错误。E＝eq\f(U,d)在非匀强电场中的三点妙用1．判断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大。2．判断电势差的大小及电势的高低：距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低。3．利用φ－x图像的斜率判断电场强度随位置变化的规律：k＝eq\f(Δφ,Δx)＝eq\f(U,d)＝Ex，斜率的绝对值表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。例5(多选)(2023·四川广安市模拟)如图所示，在电场中有一等边三角形OPC，O点位于坐标原点，OC与x轴重合，P点坐标为(2,2eq\r(3))，A、B分别为OP、PC的中点，坐标系处于匀强电场中，且电场方向与坐标平面平行。已知O点电势为6V，A点电势为3V，B点电势为0，则下列说法正确的是()A．C点电势为3VB．C点电势为0C．该匀强电场的电场强度大小为100V/mD．该匀强电场的电场强度大小为100eq\r(3)V/m答案BD解析找OC的中点D，连接AD和BD，如图所示。由几何知识可知AB∥OD，AB∥DC，且AB＝OD＝DC，故UAB＝UOD＝UDC，即φA－φB＝φO－φD＝φD－φC，故φD＝3V，φC＝0，故A错误，B正确；由于φA＝φD，故AD为等势线，已知电场线和等势线互相垂直且方向由高电势指向低电势，又OB⊥AD，且φO>φB，故电场强度方向由O指向B，E＝eq\f(UOB,OB)＝eq\f(6－0,2\r(3)×10－2)V/m＝100eq\r(3)V/m，故C错误，D正确。等分法确定电场线及电势高低的解题思路考点三等势面、电场线与粒子运动轨迹问题带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧且与电场线相切，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。例6(2023·浙江金华市第一中学模拟)高压电场干燥中药技术基本原理如图所示，在一个很大的导体板MN上铺一薄层中药材，针状电极O和平板电极MN接高压直流电源，其间产生较强的电场。水分子是极性分子，可以看成棒状带电体，一端带正电，另一端带等量负电。水分子在静电力的作用下会加速从中药材中分离出去，被鼓风机吹出的水平微风裹挟着飞离电场区域。图中虚线ABCD是某一水分子从A处由静止开始运动的轨迹，不计阻力与水分子的重力。下列说法正确的是()A．水分子的运动轨迹ABCD是一条抛物线B．水分子运动过程中的加速度保持不变C．水分子运动过程中轨迹上各点电势逐渐降低D．水分子运动过程中的电势能不断减小答案D解析因为电场不是匀强电场，所以水分子受力方向一直在变，所以不是类平抛运动，轨迹不是抛物线，故A错误；根据电场线疏密可以判断电场强度大小，所以D点电场线最密，电场强度最大，所以水分子运动过程中所受静电力越来越大，加速度越来越大，故B错误；沿电场线方向电势越来越低，所以A点电势最低，沿着曲线ABCD方向电势越来越高，故C错误；水分子从静止开始运动，静电力做正功，电势能减小，故D正确。例7(多选)(2021·天津卷·8)两个位于纸面内的点电荷产生电场的等势面如图中实线所示，相邻等势面间的电势差相等。虚线MPN是一个电子在该电场中的运动轨迹，轨迹与某等势面相切于P点。下列说法正确的是()A．两点电荷可能是异种点电荷B．A点的电场强度比B点的大C．A点的电势高于B点的电势D．电子运动到P点时动能最小答案CD解析根据电荷间等势面的分布情况可知两点电荷是同种电荷，又根据电子在该电场中的运动轨迹可判断电子一直受到排斥的力，故可知两点电荷为负电荷，故A错误；根据等势面的疏密程度可以判断A点的电场强度比B点的小，故B错误；因为两点电荷是负电荷，电场线由无穷远处指向负电荷，故可知A点的电势高于B点的电势，故C正确；根据电子的运动轨迹和电场线的方向可知由M到P静电力做负功，由P到N静电力做正功，则由M到P动能减小，由P到N动能增加，故电子运动到P点时动能最小，故D正确。课时精练1．(多选)(2023·广东卷·9)电子墨水是一种无光源显示技术，它利用电场调控带电颜料微粒的分布，使之在自然光的照射下呈现出不同颜色。透明面板下有一层胶囊，其中每个胶囊都是一个像素。如图所示，胶囊中有带正电的白色微粒和带负电的黑色微粒。当胶囊下方的电极极性由负变正时，微粒在胶囊内迁移(每个微粒电量保持不变)，像素由黑色变成白色。下列说法正确的有()A．像素呈黑色时，黑色微粒所在区域的电势高于白色微粒所在区域的电势B．像素呈白色时，黑色微粒所在区域的电势低于白色微粒所在区域的电势C．像素由黑变白的过程中，电场力对白色微粒做正功D．像素由白变黑的过程中，电场力对黑色微粒做负功答案AC解析像素呈黑色时，胶囊下方的电极带负电，像素胶囊里电场线方向向下，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故A正确；像素呈白色时，胶囊下方的电极带正电，像素胶囊里电场线方向向上，所以黑色微粒所在的区域的电势高于白色微粒所在区域的电势，故B错误；像素由黑变白的过程中，白色微粒受到的电场力向上，位移向上，电场力对白色微粒做正功，故C正确；像素由白变黑的过程中，黑色微粒受到的电场力向上，位移向上，电场力对黑色微粒做正功，故D错误。2．(2023·海南省嘉积中学一模)电鳗是放电能力极强的淡水鱼类，具有“水中高压线”的称号。电鳗体内从头到尾都有一些类似小型电池的细胞，这些细胞就像许多叠在一起的叠层电池，这些电池(每个电池电压约0.15伏)串联起来后，在电鳗的头和尾之间就产生了很高的电压，此时在电鳗的头和尾的周围空间产生了类似于等量异种点电荷(O为连线的中点)的强电场。如图所示，虚线为该强电场的等势线分布，实线ABCD为以O点为中心的正方形，点A和点D、点B和点C分别在同一等势线上。则下列说法正确的是()A．电鳗的头部带正电B．A点与B点的电场强度相同C．B点与D点的电场强度相同D．负电荷沿正方形对角线从C点向A点运动过程中，电势能减小答案C解析根据等量异种点电荷的电场线由正点电荷发出，终止于负点电荷，沿电场线方向电势降低，电场线与等势线垂直，可知电鳗尾部带正电，故A错误；A点与B点关于中垂线左右对称，电场强度大小相等，方向不同，故B错误；B点与D点关于O点对称，B点与D点的电场强度相同，故C正确；负电荷从C点沿对角线运动到A点过程中，静电力做负功，电势能增大，故D错误。3.(2023·浙江宁波市期末)下表面带负电的云层靠近避雷针时，由于静电感应使避雷针尖端带有正电荷，避雷针周围电场的电场线、等势线如图所示，A、B、C、D为电场中的四个点，其中AB＝BC，下列说法正确的是()A．虚线为电场线，实线为等势线B．电子由C点沿电场线运动到A点的过程中动能增加C．UAB＝UBCD．EA>ED，φA<φD答案B解析电场线从避雷针指向云层下表面，可知实线为电场线，虚线为等势线，选项A错误；电子由C点沿电场线运动到A点的过程中静电力做正功，则动能增加，选项B正确；因AB部分电场线密集，电场强度较大，根据U＝Ed可知UAB>UBC，选项C错误；因A点的电场线较D点密集，可知EA>ED，沿电场线方向电势降低，可知φA>φD，选项D错误。4.(2023·黑龙江哈尔滨市第一二二中学模拟)如图，在匀强电场中有一虚线圆，ab和cd是圆的两条直径，其中ab与电场方向的夹角为60°，ab＝0.2m，cd与电场方向平行，a、b两点间的电势差Uab＝20V。则()A．电场强度的大小E＝100V/mB．b点的电势比d点的低5VC．将电子从c点移到d点，静电力做正功D．电子在a点的电势能大于在c点的电势能答案D解析a、b两点间的电势差Uab＝20V，则电场强度的大小为E＝eq\f(Uab,abcos60°)＝200V/m，A错误；b、d两点间的电势差为Ubd＝200×eq\f(0.2,2)(1－cos60°)V＝10V＝φb－φd，b点的电势比d点的高10V，B错误；电子带负电，电场强度水平向右，电子受到的静电力方向水平向左，则将电子从c点移到d点，静电力做负功，C错误；由于沿电场线方向电势降低，则有φa<φc，电子带负电，则有Epa＝－eφa>－eφc＝Epc，即电子在a点的电势能大于在c点的电势能，D正确。5．(2023·广东广州市执信中学模拟)静电纺纱利用了高压静电场使单纤维两端带异种电荷，其电场分布如图所示，下列说法正确的是()A．虚线可能是等势线B．电场强度EA<EC<EBC．负电荷在A点的电势能小于其在C点的电势能D．在C点由静止释放一电子，它将在静电力作用下沿着虚线CD运动答案C解析电极是等势体，其表面是等势面，根据电场线与等势面垂直可知虚线应是电场线，故A错误；由电场线的疏密表示电场强度的大小可知EA<EB<EC，故B错误；由于右侧电极接高压电源正极，左侧电极接地，所以A点的电势高，C点的电势低，由Ep＝qφ可知，负电荷在C点的电势能大于其在A点的电势能，故C正确；电场线CD是曲线，静电力方向沿电场线切线方向，在C点由静止释放一电子，在静电力作用下不会沿着虚线CD运动，故D错误。6．(2023·湖北卷·3)在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点，其电势分别为φM、φN，电场强度大小分别为EM、EN。下列说法正确的是()A．若φM>φN，则M点到电荷Q的距离比N点的远B．若EM<EN，则M点到电荷Q的距离比N点的近C．若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则φM<φND．若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则EM>EN答案C解析沿着电场线的方向电势降低，根据正点电荷产生的电场特点可知若φM>φN，则M点到电荷Q的距离比N点的近，故A错误；电场线的疏密程度表示电场强度的大小，根据正点电荷产生的电场特点可知若EM<EN，则M点到电荷Q的距离比N点的远，故B错误；若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则是逆着电场线运动，电势增加，故有φM<φN，故C正确；若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则是逆着电场线运动，根据正点电荷产生的电场特点可知EM<EN，故D错误。7.(2022·湖南卷·2)如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边a、b、c、d上。移去a处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于长方体几何中心O点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是()A．电场强度方向垂直指向a，电势减小B．电场强度方向垂直指向c，电势减小C．电场强度方向垂直指向a，电势增大D．电场强度方向垂直指向c，电势增大答案A解析根据对称性与电场叠加原理可知，移去a处绝缘棒前O点电场强度为0，则移去a处的绝缘棒后，电场强度方向垂直指向a，再根据电势的叠加原理，设每根长棒在O点产生的电势为φ0，四根完全相同、均匀带正电绝缘长棒在O点产生的电势为4φ0，现在撤去a处的绝缘棒后，其他三棒在O点产生的电势为3φ0，故O点的电势减小，故选A。8．(多选)(2023·全国乙卷·19)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP>OM，OM＝ON，则小球()A．在运动过程中，电势能先增加后减少B．在P点的电势能大于在N点的电势能C．在M点的机械能等于在N点的机械能D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功答案BC解析由题知，OP>OM，OM＝ON，则根据正点电荷的电势分布情况可知φM＝φN>φP，则带负电的小球在运动过程中，电势能先减小后增大，且EpP>EpM＝EpN，则带负电的小球在M点的机械能等于在N点的机械能，A错误，B、C正确；从M点运动到N点的过程中，电场力先做正功后做负功，D错误。9．(2023·全国甲卷·18)在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是()答案A解析电子做曲线运动满足合力指向轨迹凹侧，A正确；对B中的电子受力分析如图甲，可见B中电子运动轨迹与静电力的受力特点相互矛盾，B错误；对C中的电子受力分析如图乙，可见C中电子运动轨迹与静电力的受力特点相互矛盾，C错误；对D中的电子受力分析如图丙，可见D中电子运动轨迹与静电力的受力特点相互矛盾，D错误。10.(2023·湖南益阳市期末)如图所示，在半圆所在平面内，有一与该平面平行的匀强电场。电场强度为E，若半圆的直径AB＝2cm，C、D为半圆的两个三等分点，φB＝－1V，φC＝5V，φD＝1V，则()A．φA＝8V B．φA＝6VC．E＝200V/m D．E＝400V/m答案D解析线段CD和AB平行，根据几何关系有2|CD|＝|AB|＝2R，所以则有UAB＝2UCD即φA－φB＝2(φC－φD)代入数据解得φA＝7V，A、B错误；线段AB的中点O的电势φO＝eq\f(φA＋φB,2)＝3VAO的中点N的电势φN＝eq\f(φA＋φO,2)＝5V所以CN是一条等势线，由几何关系知CN⊥AB，故电场方向由A指向B，电场强度大小为E＝eq\f(UAB,AB)＝eq\f(7－－1,2×10－2)V/m＝400V/m，C错误，D正确。11.(多选)(2023·内蒙古赤峰市联考)图中虚线A、B、C、D、E代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知一电子经过A平面时的动能为7eV，电子在A平面时的电势能为－4eV，电子从A到D的过程中克服静电力所做的功为6eV。下列说法正确的是()A．平面A上的电势为4VB．电场强度的方向由E指向AC．该电子在电场内运动轨迹可能与平面E相切D．该电子经过B平面时的速率是经过D平面时的eq\r(5)倍答案AD解析电子在A平面时的电势能为－4eV，则根据电势能的公式EpA＝－eφA，可得平面A上的电势为φA＝eq\f(EpA,－e)＝eq\f(－4e,－e)V＝4V，故A正确；电子从A到D的过程中克服静电力所做的功为6eV，则可知静电力做负功，电子在该匀强电场中所受静电力的方向与运动的方向相反，而电子在电场中所受静电力的方向与电场强度的方向相反，因此可知电场强度的方向由A指向E，故B错误；电子经过A平面时的动能为7eV，从A到D的过程中克服静电力所做的功为6eV，则可知电子到达平面D时的动能为1eV，由此可知每两个等势面之间的电势差为2V，若电子要从平面D到达平面E，则需克服静电力做功2eV，而电子在平面D时的动能为1eV，故不管电子是做直线运动还是曲线运动都不可能到达平面E，因此该电子在电场内运动的轨迹不可能与平面E相切，故C错误；该电子经过B平面时，由动能定理可得－eUAB＝EkB－EkA，解得EkB＝5eV，而该电子经过D平面时的动能为1eV，则可知该电子经过B平面时的速率是经过D平面时的eq\r(5)倍，故D正确。12.(2022·河北卷·6)如图，真空中电荷量为2q和－q(q>0)的两个点电荷分别位于M点与N点，形成一个以MN延长线上O点为球心，电势为零的等势面(取无穷远处电势为零)，P为MN连线上的一点，S为等势面与直线MN的交点，T为等势面上的一点，下列说法正确的是()A．P点电势低于S点电势B．T点电场强度方向指向O点C．除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点D．将正试探电荷q0从T点移到P点，静电力做正功答案B解析在直线MN上，左边正电荷在MN之间电场强度水平向右，右边负电荷在MN之间电场强度水平向右，根据电场的叠加可知MN间的电场强度水平向右，沿着电场线电势逐渐降低，可知P点电势高于等势面与MN交点处电势，则P点电势高于S点电势，故A错误；由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在N点的左侧电场强度不可能为零，设M、N之间的距离为L，在N点右侧与N点距离为d的点电场强度为零，则有eq\f(k·2q,L＋d2)＝eq\f(k·q,d2)，可知除无穷远处外，直线MN上电场强度为零的点只有一个，故C错误；由A选项分析可知：T点电势低于P点电势，则正电荷在T点的电势能低于在P点的电势能，将正试探电荷q0从T点移到P点，电势能增加，静电力做负功，故D错误；由于电场强度方向垂直等势面，可知T点的电场强度方向必过等势面的球心O，根据异种点电荷的电场线分布情况可知，N、S间电场线方向由S指向N，则φS>φO，由于φT＝φS，则φT>φO，故T点电场强度方向指向O点，故B正确。

第3课时专题强化：电场中的图像问题电场中的功能关系目标要求1.掌握静电力做功的计算方法及电场中常用的功能关系。2.掌握电场中的几种常见图像。考点一电场中的功能关系几种常见的功能关系：(1)合外力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。(3)静电力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电。(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp弹。(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力＝E机2－E机1＝ΔE机。说明：动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来；能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。例1(2023·四川泸州市期末)如图所示，带正电小球A固定在绝缘天花板上，绝缘轻弹簧的下端固定在水平地面上，弹簧处于自由状态，现将与A完全相同的带正电小球B放在弹簧上端并由静止释放，若A、B球心和弹簧轴线始终在一条竖直线上，则小球B从释放到第一次运动到最低点的过程中，下列说法中正确的是()A．小球B速度最大时所受弹簧弹力和库仑力的合力为零B．小球B的加速度先减小后增大C．小球B与弹簧组成系统的机械能一定减小D．小球A与B组成系统的电势能一定先减小后增大答案B解析小球B向下运动的过程中受到重力、库仑力、弹簧的弹力作用，当弹簧的弹力、重力、库仑力的合力为0时，小球B的加速度为0，速度最大，故A错误；开始运动时，弹簧的弹力小于重力和库仑力之和，合力竖直向下，小球向下做加速运动，由于弹簧的弹力逐渐增大，库仑力减小，合力减小，加速度减小，当合力减小为0时，速度最大，之后弹簧的弹力大于重力与库仑力之和，合力竖直向上，小球向下做减速运动，弹簧的弹力逐渐增大，库仑力减小，合力竖直向上，加速度增大，因此小球B的加速度先减小后增大，故B正确；由于库仑力对小球B做正功，由功能关系可知，小球B与弹簧组成系统的机械能一定增大，故C错误；库仑力对小球B做正功，小球A与B组成系统的电势能一直减小，故D错误。例2如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程()A．动能增加eq\f(1,2)mv2 B．机械能增加2mv2C．重力势能增加eq\f(3,2)mv2 D．电势能增加2mv2答案B解析小球动能的增加量为ΔEk＝eq\f(1,2)m(2v)2－eq\f(1,2)mv2＝eq\f(3,2)mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为h＝eq\f(v2,2g)，小球重力势能的增加量为ΔEp＝mgh＝eq\f(1,2)mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为ΔEp′＝eq\f(3,2)mv2＋eq\f(1,2)mv2＝2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确。考点二电场中的图像问题1．电场中的v－t图像根据v－t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。例3(多选)(2023·宁夏银川市一中模拟)一带负电粒子仅在静电力的作用下从A点沿直线运动到B点，速度由v1变为v2，其速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是()A．A、B两点的电势关系为φA>φBB．A点附近的等势面要比B点附近的等势面稀疏C．A、B两点的电场强度大小关系为EA>EBD．粒子从A点到B点的过程中，可能两次经过同一个等势面答案AC解析根据速度由v1变为v2，速度减小，可知静电力对粒子做负功，电势能增加。根据带电粒子在电场中的运动规律可知，负电荷高势低能，则φA>φB，故A正确；电场线密集的位置等势面密集，电场强度更大，则带电粒子受到的静电力更大，加速度大，在v－t图像中斜率的绝对值更大，A处斜率的绝对值大于B处斜率的绝对值，则电场强度的关系EA>EB，A点附近的等势面要比B点附近的等势面密集，故B错误，C正确；粒子从A点到B点的过程中，速度一直减小，则静电力一直做负功，电势能一直增大，故不可能两次经过同一个等势面，故D错误。2．φ－x图像(电场方向与x轴平行)(1)电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率的绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，电场为匀强电场(如图)。切线的斜率为零时沿x轴方向电场强度为零。(2)在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向。(如图)(3)电场中常见的φ－x图像①点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图。②两个等量异种点电荷连线上的φ－x图像，如图。③两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图。例4(多选)(2023·贵州贵阳市一中检测)如图所示，在x轴上的O点(x＝0)和b点(x＝15cm)分别固定放置两点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示，取无穷远处的电势为零，下列说法正确的是()A．a、c两点的电场强度相同B．q1所带电荷量是q2所带电荷量的4倍C．将一负电荷从a点移到c点，静电力做功为零D．将一负电荷从c点移到d点，电势能增大答案BC解析φ－x图像的斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，由题图可知，a、c两点电势相等，但电场强度大小和方向均不同，故A错误；由题图可知，d点图像斜率为零，表明该点的合电场强度为零，而d点到两点电荷q1、q2的距离之比为2∶1，根据点电荷电场强度公式E＝eq\f(kq,r2)可得，q1、q2电荷量之比为4∶1，故B正确；a、c两点电势相等，电势差为零，负电荷从a点移到c点，静电力做功为零，故C正确；c、d间电场方向向左，负电荷从c点移到d点，静电力做正功，电势能减小，故D错误。3．E－x图像(电场方向与x轴平行)(1)E－x图像为静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场强度E的正方向，则E>0，电场强度E沿x轴正方向；E<0，电场强度E沿x轴负方向。(2)E－x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。(3)电场中常见的E－x图像(沿x轴正方向为电场强度正方向)①点电荷的E－x图像正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示。②两个等量异种点电荷的E－x图像，如图。③两个等量正点电荷的E－x图像，如图。例5(2023·辽宁大连市一模)如图甲所示，在真空中固定的两个相同点电荷A、B关于x轴对称，它们在x轴上的E－x图像如图乙所示(规定x轴正方向为电场强度的正方向)。若在坐标原点O由静止释放一个正点电荷q，它将沿x轴正方向运动，不计重力。则()A．A、B带等量正电荷B．点电荷q在x1处电势能最大C．点电荷q在x3处动能最大D．点电荷q沿x轴正方向运动的最远距离为2x2答案D解析由E－x图像可知，在x轴上的P点对应x2点，在P点的左侧电场强度为正值，沿x轴正方向，右侧为负值，可知A、B带等量负电荷，A错误；电荷量为q的正点电荷，从O点到P点，静电力做正功，电势能减小，从P点沿x轴正方向运动，静电力做负功，电势能增加，因此点电荷q在x1处电势能不是最大，且点电荷q在x2处动能最大，B、C错误；由对称性可知，点电荷q沿x轴正方向最远能到达O′处，由动能定理qUOO′＝ΔEk＝0，则UOO′＝0，由对称性知O′与O关于P点对称，故点电荷q沿x轴正方向运动的最远距离为2x2，D正确。4．Ep－x图像、Ek－x图像(1)Ep－x图像由静电力做功与电势能变化关系F电x＝Ep1－Ep2＝－ΔEp知Ep－x图像的切线斜率k＝eq\f(ΔEp,Δx)，其绝对值等于静电力大小，正负代表静电力的方向。(2)Ek－x图像当只有静电力对带电体做功，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek－x图像的切线斜率k＝eq\f(ΔEk,Δx)，斜率表示静电力。例6(2023·北京市北师大实验中学检测)一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位置x变化的关系如图所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是()A．x1处电场强度最小，但不为零B．粒子在0～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动C．若x1、x3处电势分别为φ1、φ3，则φ1<φ3D．x2～x3段的电场强度大小、方向均不变答案D解析Ep－x图像的斜率表示粒子所受静电力F，根据F＝qE可知x1处电场强度最小且为零，选项A错误；粒子在0～x2段切线的斜率发生变化，静电力发生变化，所以加速度也在变化，做变速运动，x2～x3段斜率不变，所以做匀变速直线运动，选项B错误；带负电的粒子从x1到x3的过程中电势能增加，说明电势降低，即φ1>φ3，选项C错误；x2～x3段斜率不变，所以这段电场强度大小、方向均不变，选项D正确。课时精练1.(2024·湖北省模拟)如图所示，空间有一带正电的点电荷，图中的实线是以该点电荷为圆心的同心圆，这些同心圆位于同一竖直平面内，MN为一粗糙直杆，A、B、C、D是杆与实线圆的交点，一带正电的小球(视为质点)穿在杆上，以速度v0从A点开始沿杆向上运动，到达C点时的速度为v，则小球由A点运动到C点的过程中，下列说法正确的是()A．小球减少的机械能一定等于克服摩擦力做的功B．小球减少的机械能一定大于克服摩擦力做的功C．小球的机械能守恒D．小球的机械能增大答案B解析小球由A点运动到C点，重力做负功，重力势能增加，静电力做的总功为负功，电势能增加，摩擦力做负功，产生热量，由能量守恒定律知，小球减少的机械能等于增加的电势能与产生的热量之和，故A错误，B正确；静电力和摩擦力都做负功，机械能一定减少，故C、D错误。2．如图甲所示，两个点电荷Q1、Q2固定在x轴上距离为L的两点，其中Q1带正电，位于原点O，a、b是它们连线延长线上的两点，其中b点与O点相距3L。现有一带电的粒子q以一定的初速度沿x轴从a点开始经b点向远处运动(粒子只受静电力作用)，设粒子经过a、b两点时的速度分别为va、vb，其速度随坐标x变化的图像如图乙所示，则以下判断正确的是()A．Q1∶Q2＝4∶9B．b点的电场强度一定为零C．a点的电势比b点的电势高D．粒子在a点的电势能比在b点的电势能小答案B解析由图像可知，粒子在b点之前做加速运动，b点之后做减速运动，可知在b点加速度为0，由于粒子只受静电力，所以b点电场强度为0，且Q2带负电，因此keq\f(Q1,r12)－keq\f(Q2,r22)＝0，解得Q1∶Q2＝9∶4，故A错误，B正确；因为Q1带正电、Q2带负电，所以在ab段电场线方向由b指向a，沿电场线方向电势逐渐降低，故a点的电势比b点的电势低，故C错误；粒子从a到b过程中在做加速运动，故静电力做正功，电势能在减小，所以粒子在a点的电势能比在b点的电势能大，故D错误。3．(2023·江西赣州市模拟)带电球体的半径为R，以球心O为原点建立x轴，轴上各点电势φ随x变化如图所示，下列说法正确的是()A．球体带正电荷B．球心处电场强度最大C．A、B两点电场强度相同D．一带负电的试探电荷在B点的电势能比在C点的电势能大答案D解析从球边缘出发向两侧电势升高，而沿着电场线电势降低，故球带负电荷，A错误；球是等势体，故内部任意两点间的电势差为零，故电场强度为零，B错误；A点与B点的电场强度大小相等，但方向相反，C错误；从B到C，电势升高，根据Ep＝qφ，故负电荷在B点的电势能比在C点的电势能大，D正确。4.(多选)一带正电微粒只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随x变化的关系如图所示，其中O～x1段是曲线，x1～x2段是平行于x轴的直线，x2～x3段是倾斜直线，则下列说法正确的是()A．O～x1段电势逐渐升高B．O～x1段微粒做加速度逐渐减小的加速运动C．x1～x2段电场强度为零D．x2～x3段的电势沿x轴均匀降低答案ACD解析电势能Ep＝φq，由于微粒带正电，O～x1段电势能变大，所以电势升高，A正确；根据ΔEp＝FΔx，图线斜率反映静电力，O～x1段图线斜率变小，静电力减小，加速度逐渐减小，由于电势能增加，静电力做负功，则微粒做减速运动，即微粒做加速度减小的减速运动，B错误；x1～x2段斜率为零，不受静电力，即电场强度为零，C正确；x2到x3，电势能均匀减小，微粒带正电，所以电势沿x轴均匀降低，D正确。5.(2023·山东潍坊市模拟)如图所示，在方向竖直向下的匀强电场中，两个质量相同、带电荷量分别为－q和＋q的小球a、b固定于绝缘轻杆的两端，轻杆可绕中点O处的固定轴在竖直面内无摩擦转动。已知O点电势为0，不考虑带电小球间的相互作用力，以O点所在水平面为零势能面，杆从静止开始由水平位置顺时针转动180°的过程中()A．小球a、b总动能一直增加B．小球a、b系统机械能始终不变C．小球a、b系统电势能始终不变D．小球a、b任一时刻的电势能相等答案D解析静电力对a球先做正功再做负功，对b球也是先做正功再做负功，所以杆从静止开始由水平位置顺时针转动90°的过程中小球a、b与轻杆组成的系统电势能减小，总动能增加，机械能增加；杆从90°转到180°的过程中，系统电势能增大，总动能减小，机械能减小，最后与初始位置的电势能相等，机械能也相等，总动能为零，故A、B、C错误；由于O点处电势为零，由W电＝0－Ep，在匀强电场中W电＝Eqx因为两小球运动过程中在任一时刻竖直方向上的位移大小相同，所以小球a、b任一时刻的电势能相等，D正确。6.(多选)真空中，点电荷a、b分别位于x轴上的x＝－L处的P点和x＝L处的Q点，它们之间连线上电场强度E随位置x变化的图像如图所示。一带正电的试探电荷由x＝－0.5L处的M点由静止释放后能通过x＝0.5L处的N点。不计试探电荷的重力，O为坐标原点，以下判断正确的是()A．a、b均带正电B．a电荷量大于b电荷量C．x轴上从P至Q电势先降低再升高D．M、O间的电势差大于O、N间的电势差答案BD解析由题图可知，从P到Q电场强度方向不变，带正电的试探电荷从M点由静止释放后能通过N点，说明a带正电、b带负电，故A错误；a带正电、b带负电，合电场强度最小时，a、b在该点产生的电场强度相等，设合电场强度最小时横坐标为x，则有Ea＝keq\f(Qa,L＋x2)，Eb＝keq\f(Qb,L－x2)，可知Qa>Qb，故B正确；从P到Q电场强度方向不变，从正电荷指向负电荷，沿着电场线的方向电势降低，可知x