《概率论与数理统计学习指导及习题解析》课件第4章

第4章随机变量的数字特征第一节知识梳理第二节重点解析

第三节典型例题

第四节习题全解第一节知识梳理第二节重点解析

1.数学期望

1)离散型随机变量的数学期望

定义：设离散型随机变量的分布律为

pk=P{X=xk}（k=1，2，…）

若则称为离散型随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为E(X)，即

几个离散型随机变量的数学期望如下：

（1）若X服从参数为p的0－1分布，则E(X)=p；

（2）若X~b(n，b)，则E(X)=np；

（3）若X~π(λ)，则E(X)=λ。

2)连续型随机变量的数学期望

定义：设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，若

则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即

3)随机变量函数的数学期望

定理1：设Y是随机变量X的函数Y=g(X)（g是连续函数），若X为离散型，其分布律为

P(X=xk)=pk(k=1,2,3,…)

则

若X为连续型，其密度为f(x),则

定理2：设Z是随机变量X和Y的函数Z=g(X，Y)（g是连续函数），则Z是一个一维随机变量。

若(X,Y)为二维离散型，其联合分布律为

P(X=xi,Y=yi)=pij(i,j=1,2,…)

则若（X,Y）为二维连续型，其联合密度为f(x,y),则

4)数学期望的几个重要性质

（1）设C是常数，则E(C)=C；

（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)；

（3）设X和Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)；（4）设X和Y是两个相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)。

2.方差

1)方差与标准差

定义：设X是一个随机变量，若E{［X－E(X)］2}存在，则称E{［X－E(X)］2}为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即

D(X)=Var(X)=E{［X－E(X)］2}

定理：若随机变量X的方差存在，则有

D(X)=E(X2)－［E(X)］2

2)方差的性质

（1）设C是常数，则D(C)=0；

（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有

D(CX)=C2D(X)；

（3）设X和Y是两个随机变量，则有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{［X－E(X)］［Y－E(Y)］}

特别地，若X与Y相互独立，则有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

3.协方差和相关系数

1)协方差和相关系数的概念与性质

定义1：若E{［X－E(X)］［Y－E(Y)］}存在，则称其为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X，Y)，即

Cov(X，Y)=E{［X－E(X)］［Y－E(Y)］}

2)随机变量的相互独立与不相关的关系

定义：若随机变量X与Y的相关系数ρXY=0，则称X与Y不相关。

定理：设随机变量X与Y的相关系数存在，若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关。

4.矩的概念

定义：设X和Y是随机变量，若ak=E(Xk)(k=1，2，…)

存在，则称ak为X的k阶原点矩，简称k阶矩。若

ck=E{［X－E(X)］k}(k=2,3,…)存在，则称ck为X的k阶中心矩。

第三节典型例题

【例4.1】设随机变量X取非负整数值n≥0的概率为

，已知E(X)=a，求A与B的值。

解因为pn是X的分布律，由解得

A=e－B

又因此

A=e－a，B=a

【例4.2】设随机变量X的概率密度，求E［min(|X|，1)］。解

【例4.3】设二维连续型随机变量(X，Y)的联合密度函数为且Z=cos(X+Y)，求E(Z)和D(Z)。解

【例4.4】某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80件、10件和10件，现从中随机抽取1件，记

试求：

（1）随机变量X1与X2的联合分布；

（2）随机变量X1与X2的相关系数。解（1）以Ai表示抽到i等品(i=1，2，3),于是

P(A1)=0.8，P(A2)=0.1，P(A3)=0.1

联合分布为

P{X1=0，X2=0}=P(A3)=0.1，P{X1=0，X2=1}=P(A2)=0.1

P{X1=1，X2=0}=P(A1)=0.8，P{X1=1，X2=1}=P()=0（2）因为E(X1)=0.8，E(X2)=0.1，所以

D(X1)=E(X21)－［E(X1)］2=0.8－0.82=0.16

D(X2)=E(X22)－［E(X2)］2=0.1－0.12=0.09

又因为

E(X1X2)=0×0×0.1+0×1×0.1+1×0×0.8+1×1×0=0所以

Cov(X1,X2)=E(X1X2)－E(X1)E(X2)=0－0.8×0.1=－0.08

故

【例4.5】点(X，Y)在以(0，0)、(1，0)和(0，1)为顶点的三角形D内服从均匀分布，试求X与Y的相关系数。

解由于三角形的面积为1／2，所以(X，Y)的联合密度函数为由对称性可知，Y的边缘密度函数与X的相同。

又由于所以而且同样所以

【例4.6】已知连续型随机变量X的密度函数为

求E(X)与D(X)。解方法一：直接法。

由数学期望与方差的定义知方法二：利用正态分布定义求解。

由于期望为μ，方差为σ2的正态分布的概率密度为

所以把f(x)变形为易知，f(x)为的概率密度,

因此有，

【例4.7】袋中装有N只球，其中白球数为随机变量，只知道其数学期望为A，试求从该袋中摸一球得到白球的概率。解摸一球为白球是与袋中有多少个白球紧密相关的，虽然袋中的白球为随机多个，但当已知袋中白球个数时，从袋中摸一球为白球的概率是易知的。要建立这一条件概率与要求问题的概率的桥梁，可采用全概率公式。记X为袋中的白球数，则由题设知

由此，若令D={摸一球为白球}，利用全概率公式知

【例4.8】设某产品每周需求量为Q，Q的可能取值为

1、2、3、4、5（等可能取各值），生产每件产品成本是c1=3元，每件产品售价c2=9元，没有售出的产品以每件c3=1元的费用存入仓库。问生产者每周生产多少件产品可使所期望的利润最大？解设每周的产量为N，显然N≤5。每周利润为L，则所以令，得

N=3.5

又因为所以当N=3.5时，E(L)达到最大值。

【例4.9】设随机变量X与Y均服从标准正态分布

N(0，1)，它们的相关系数为ρXY=1／2，Z1=aX，Z2=bX+cY，试求a、

b、c的值，使D(Z1)=D(Z2)=1，且Z1与Z2不相关。解由题意知所以a2=b2+c2+bc=1又因为解得

4.1设随机变量X的分布律为

说明X的数学期望不存在。第四节习题全解证明只有当E(|X|)<+∞时，随机变量X的数学期望才

存在。

因为级数是调和级数，发散,所以随机变量X的数学期望不存在。

4.2有3只球，4只盒子，盒子的编号为1、2、3、4，将球逐个独立、随机地放入4只盒子中去。以X表示其中至少有1只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子至少有1只球），试求E(X)。解首先讨论X的分布律。

①X=1意味着1号盒子至少有1只球，其余放入2~4号盒子。若1号盒子中有k只球(k≥1)，则其余3－k只球放入2~4号盒子。每只球放入1号盒子的概率为1／4，放入2~4号盒子的概率为

3／4，所以②X=2意味着2号盒子至少有1只球，其余放入3号或4号盒子。每只球放入2号盒子的概率为1／4，放入3号或4号盒子的概率为1／2，所以③X=3意味着3号盒子至少有1只球，其余放入4号盒子。每只球放入3号盒子的概率为1／4，放入4号盒子的概率为

1／4,所以④X=4意味着3只球均放入4号盒子。每只球放入4号盒子的概率为1／4，所以故

4.3设随机变量X的分布律为求E(X)、E(X2)、E(3X2+5)。解①

②方法一：定义法，即先求Y=X2的分布律，再用定义求E(Y)=E(X2)。

Y的分布律为则

E(Y)=E(X2)=0×0.4+1×0.6=0.6

方法二:随机变量函数的数字特征法，即③根据数学期望的性质知

E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×0.6+5=6.8

4.4设随机变量X的密度函数为f(x)=e－2|x|，求E(X)和E(X2)。

解①根据数学期望定义知

因为xe－2|x|为奇函数,

所以

E(X)=0②

4.6设随机变量X~U(a，b)，求E(2X)和E(e－2X)。

解

4.7某工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，密度函数为

工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。假设工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解设Y表示出售一台设备的净赢利，依题意，求E(Y)。首先建立Y与X的函数关系，然后利用X的概率密度求E(Y)。

工厂售出一台设备，其寿命X≥1年，可以赢利100元；若X<1年，调换一台设备需花费300元，等于亏损200元。

所以(元)

4.9设随机变量X的分布函数为

求E(X)和E［F(X)］。解由题意知①②

4.10若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取到每把钥匙是等可能的，分别就下列两种情况，求试开次数X的数学期望和方差。

（1）打不开的钥匙不放回；

（2）打不开的钥匙仍放回。解（1）打不开的钥匙不放回，由抽签不分先后原理可知，第k次打开的概率与第1次打开的概率相等，所以（2）打不开的钥匙仍放回，则每次打开的概率均为，打不开的概率为,所以令，则代入得

E(X)=n

4.11设随机变量X、Y相互独立，且E(X)=E(Y)=1，D(X)=2，D(Y)=3，求D(XY)。

解因为X与Y相互独立，所以X2与Y2相互独立。于是故

4.12设随机变量X服从瑞利分布，其密度函数为其中σ>0是常数,求E(X)和D(X)。解①利用定义和正态分布的数字特征计算,即②利用定义和指数分布的数字特征计算,即

4.13设随机变量服从几何分布，其分布律为

P{X=k}=p(1－p)k－1（k=1，2，…）

其中0<p<1是常数，求E(X)和D(X)。解令1－p=q，则①②所以

4.15设随机变量X的密度函数为

试求：

（1）常数a的值；

（2）解（1）由得所以a=6。

(2)由(1)知X的密度函数为

从而所以

4.16设随机变量X的分布函数为

试确定常数A、B，并求E(X)和D(X)。解①由F(x)的连续性可知，即，解得，故X的分布函数为②因为所以

4.17设随机变量X的密度函数为

已知E(X)=2，P{1<X<3}=3／4。求：

（1）a、b、c的值；

（2）随机变量Y=eX的数学期望和方差。解（1）由得

即

2a+2b+6c=1①由得

即②由即联立①②③解得③，，（2）

4.18设二维随机变量(X，Y)的密度函数为

验证:X与Y不相关，但X与Y不相互独立。证明因为所以

Cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=0故ρXY=0，即X与Y不相关。又所以

fX(x)fY(y)≠f(x，

y)故X与Y不相互独立。

4.19设二维随机变量(X，Y)的分布律为验证:X与Y不相关，但X与Y不相互独立。证明X的边缘分布律为Y的边缘分布律为所以XY的分布律为所以所以故ρXY=0，即X与Y不相关。又因为

4.20二维随机变量(X，Y)的密度函数为

求A、E(X)、E(Y)、D(X)、

D(Y)、Cov(X，Y)和ρXY。解①由可得所以

②③④因为所以⑤因为所以⑥因为所以⑦

4.21二维随机变量(X，Y)的密度函数为

求A、E(X)、E(Y)、Cov(X，Y)、ρXY和D(X+Y)。解①由可得所以②③④所以⑤因为所以故⑥

4.23设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(μ，σ2)。

（1）设U=αX+βY和V=αX－βY（其中α、β是不为零的常数），求ρUV；

（2）求max(X，

Y)的数学