2023-2024学年上海市宝山区通河中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市宝山区通河中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共14分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线倾斜角的范围是(

)A.(0,π2] B.[0,π2]2.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是(

)A.720 B.710 C.3104.关于曲线M：x12+y12=1，有下述两个结论：①曲线M上的点到坐标原点的距离最小值是22A.①、②都正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①、②都错误二、填空题：本题共12小题，共42分。5.椭圆x2+y6.若球O的表面积为4π，则球O的体积为______．7.已知数列{an}是各项为正的等比数列，a1=1，a5=1，则其前8.已知事件A与事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)=______．9.若抛物线x2=my的顶点到它的准线距离为12，则正实数m=10.某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为______．11.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为

．12.若双曲线x216−y2m13.若数列{an}满足a1=12，a14.在体积为9的斜三棱柱ABC−A1B1C1中，S是C1C上的一点，15.已知无穷等比数列{an}满足：i=1+∞a16.已知直线l1：y−2=0和直线l2：x+1=0，则曲线(x−1)2+y2=1上一动点三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

随机抽取某校甲乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据如下：

甲班：170 179 162 168 158 182 179 168 163 171

乙班：159 173 179 178 162 181 176 168 170 165

(1)计算甲班的样本方差；

(2)求乙班数据的25%分位数．18.(本小题8分)

在长方体ABCD−A1B1C1D1中(如图)，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．

(1)求异面直线A19.(本小题8分)

已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=n2+n，其中n∈N，且n≥1．

(1)求{a20.(本小题10分)

如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．

(Ⅰ)试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60°；

21.(本小题12分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为23，离心率为32，椭圆的左右焦点分别为F1、F2，直角坐标原点记为O.设点P(0,t)，过点P作倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于不同的两点B、C．

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆上有一动点T，求PT⋅(TF1参考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.26.4π37.10

8.0.7

9.2

10.300

11.12π

12.arccos713.an14.1

15.an16.4−17.解：(1)依题意，设甲班的样本平均数为x−，方差为s2，

则x−=110×(170+179+162+168+158+182+179+168+163+171)=170，

所以s2=110×[02+92+(−8)2+(−2)2+(−12)2+122+92+(−2)218.解：(1)取CD中点F，连接AF，则AF/​/EC，

∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，

得AD1=2，AF=2，D1F=2，

∴△AD1F为等边三角形，则∠D1AF=π3．

∴异面直线AD1与EC所成角的大小为π3；

(2)连接DE，19.解：(1)当n∈N，且n≥1时，有Sn=n2+n，

∴当n∈N，且n≥2时，有Sn−1=(n−1)2+n−1，

两式相减，得an=2n，

当n=1时，S1=12+1⇒a1=2，适合20.(Ⅰ)解：建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1,m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,2)，D1(0,0,2)．

∴BD=(−1,−1,0),  BB1 =(0,0,2)，AP=(−1,1,m),AC=(−1,1,0)．

又∵AC⋅BD=0,AC⋅BB1=0，

∴AC为平面BB1D1D一个法向量．

设AP与面BDD1B1所成的角为θ，则sinθ=cos(π2−θ)=|AP⋅AC||AP|⋅|AC|=2221.解：(1)∵椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为23，离心率为32，

∴c=3，e=ca=32，可得a=2，∴b=a2−c2=1，

∴椭圆的标准方程为x24+y2=1；

(2)设动点T(x,y)，F1F2=(23,0)，PT=(x,y−t)，

PT⋅(TF1−TF2)=−