新高考人教版高中物理题型训练（必修一）专题3.5 静态平衡 （人教版2019必修第一册）（学生版）

专题3.5静态平衡【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1轻杆模型】 【题型2共线力平衡问题】 【题型3不共线三力平衡问题】 【题型4不共线三力以上平衡问题】 【题型5弹簧连接体平衡问题】 【题型6细绳连接体平衡问题】 【题型7其他连接体平衡问题】 【题型8生活中的平衡问题】 【题型9各力不共面的平衡问题】 【题型1轻杆模型】【例1】如图为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，重量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是()A．Fa＝Fb B．Fa>FbC．Fa<Fb D．大小不确定【变式1-1】如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10m/s2)()A．50N B．60NC．120N D．100N【变式1-2】如图所示，用AC、CD两根轻绳将物块悬于水平轻杆BC的下方，其中B为光滑转轴，C为结点，轻杆BC始终保持水平，重物静止不动。已知物块质量为m，重力加速度为g。设AC、CD绳的拉力分别为FAC、FCD。下列选项正确的是()A．FAC＞mgB．FCD＞mgC．若A点上移，则FAC变大D．若A点下移，则FCD变大【变式1-3】如图所示，A、B两球用轻杆相连，用两根细线将其悬挂在水平天花板上的O点．现用一水平力F作用于小球B上，使系统保持静止状态且A、B两球在同一水平线上．已知两球重力均为G，轻杆与细线OA长均为L，则()A．细线OB的拉力的大小为2GB．细线OB的拉力的大小为GC．水平力F的大小为2GD．水平力F的大小为G【题型2共线力平衡问题】【例2】20世纪末，由于生态环境的破坏，我国北方地区3、4月份沙尘暴天气明显增多。近年来，我国加大了环境治理，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，沙尘天气明显减少。现把沙尘上扬后的情况简化为沙尘颗粒悬浮在空中不动。已知风对沙尘的作用力表达式为F＝αρAv2，其中α为常数，ρ为空气密度，A为沙尘颗粒的截面积，v为风速。设沙尘颗粒为球形，密度为ρ0，半径为r，风速的方向竖直向上，重力加速度为g，则v的表达式为()A.eq\r(\f(4ρgr,3αρ0)) B.eq\r(\f(4ρ0gr,3αρ))C.eq\r(\f(ρ0gr,αρ)) D.eq\r(\f(4gr,3α))【变式2-1】如图，A、B、C、D是四个完全相同的球，重力皆为G，A、B、C放置在水平面上用细线扎紧，D球叠放在A、B、C三球上面，则球A对地面的压力为()A.eq\f(4,3)GB.eq\f(3,2)GC.eq\f(3,4)G D．G【变式2-2】如图所示为某新型夹砖机，它能用两支巨大的“手臂”将几吨砖夹起，大大提高了工作效率．已知该新型夹砖机能夹起质量为m的砖，两支“手臂”对砖产生的最大压力为Fmax，设最大静犘擦力等于滑动摩擦力，则“手臂”与砖之间的动摩擦因数至少为()A.eq\f(mg,Fmax)B.eq\f(mg,2Fmax)C.eq\f(2mg,Fmax)D.eq\f(Fmax,mg)【变式2-3】如图所示，质量均为m的木块A和B，用一个劲度系数为k的轻质弹簧连接，最初系统静止，现在用力缓慢拉A直到B刚好离开地面，则这一过程A上升的高度为()A.eq\f(mg,k) B.eq\f(2mg,k)C.eq\f(3mg,k) D.eq\f(4mg,k)【题型3不共线三力平衡问题】【例3】如图所示，一物体在三根不可伸长的轻绳的作用下处于静止状态，ac轻绳与竖直方向成37°角，bc轻绳与竖直方向成53°角，已知ac轻绳与bc轻绳能够承受的最大拉力均为20N，cd轻绳能够承受足够大的拉力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8。则所挂物体的最大质量为()A．1.6kgB．2.4kgC．2.5kg D．2.8kg【变式3-1】历经一年多的改造，太原迎泽公园重新开园，保持原貌的七孔桥与新建的湖面码头，如图甲所示，为公园增色不少。如图乙是七孔桥正中央一孔，位于中央的楔形石块1，左侧面与竖直方向的夹角为θ，右侧面竖直。若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块1左、右两侧面所受弹力的比值为()A.eq\f(1,tanθ)B．sinθC.eq\f(1,cosθ)D.eq\f(1,2cosθ)【变式3-2】如图所示，一卡车沿倾角为15°的下坡路段匀速行驶，一质量为m的匀质圆筒置于车厢内两固定光滑斜面之间，两斜面Ⅰ、Ⅱ与车厢底板的夹角分别为30°和60°，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则()A．F1＝eq\f(\r(2),2)mg、F2＝eq\f(\r(2),2)mgB．F1＝eq\f(\r(3),2)mg、F2＝eq\f(1,2)mgC．F1＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)mg、F2＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)mgD．F1＝eq\f(\r(3),3)mg、F2＝eq\f(\r(3),2)mg【变式3-3】(多选)两轻杆通过铰链相连构成一个三角形框架，AB、BC、CA三边长度分别为30cm、20cm、40cm，在A点用一细线悬挂1kg的物块，系统处于静止状态，则(g取10m/s2)()A．AB杆对A点有沿杆从B点指向A点的弹力B．CA杆作用于A点的弹力不一定沿CA杆方向C．CA杆产生的弹力大小为20ND．若改为悬挂一个0.5kg的物块，则AB杆上弹力变为原来的一半【题型4不共线三力以上平衡问题】【例4】(多选)如图所示，某中学新校区装修时，工人用质量为m的磨石对斜壁进行打磨，当对磨石施加方向竖直向上、大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，则磨石受到的摩擦力大小为()A．μ(F－mg)cosθ B．μ(F－mg)sinθC．(F－mg)cosθ D．μ(F－mg)【变式4-1】如图(a)，滑块在与水平方向夹角为37°斜向上的拉力F作用下，沿水平桌面做匀速直线运动。将该桌面倾斜成与水平方向夹角为37°，保持拉力的方向不变，大小变为2F，如图(b)，滑块恰好沿倾斜桌面向上做匀速直线运动。滑块与桌面间的动摩擦因数是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)【变式4-2】如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为()A．2－eq\r(3) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)【变式4-3】如图所示，六根原长均为l的轻质细弹簧两两相连，在同一平面内六个大小相等、互成60°的恒定拉力F作用下，形成一个稳定的正六边形。已知正六边形外接圆的半径为R，每根弹簧的劲度系数均为k，弹簧在弹性限度内，则F的大小为()A.eq\f(k,2)(R－l) B.k(R－l)C.k(R－2l) D.2k(R－l)【题型5弹簧连接体平衡问题】【例5】如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等。弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等。弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°。设弹簧A、B中的拉力分别为FA、FB。小球直径相比弹簧长度可以忽略，重力加速度为g。则()A.tanθ＝eq\f(1,2) B.kA＝kBC.FA＝eq\r(3)mg D.FB＝2mg【变式5-1】如图所示，水平固定且倾角为30°的光滑斜面上有两个质量均为m的小球A、B，它们用劲度系数为k的轻质弹簧连接，现对B施加一水平向左的推力F使A、B均静止在斜面上，此时弹簧的长度为l，则弹簧原长和推力F的大小分别为()A．l＋eq\f(mg,2k)，eq\f(2\r(3),3)mgB．l－eq\f(mg,2k)，eq\f(2\r(3),3)mgC．l＋eq\f(mg,2k)，2eq\r(3)mgD．l－eq\f(mg,2k)，2eq\r(3)mg【变式5-2】如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为()A.eq\r(3)∶4B．4∶eq\r(3)C．1∶2D．2∶1【变式5-3】如图所示，在粗糙水平面上放置A、B、C、D四个小物块，各小物块之间由四根完全相同的轻弹簧相互连接，正好组成一个菱形，∠BAD＝120°，整个系统保持静止状态，已知A物块所受的摩擦力大小为Ff，则D物块所受的摩擦力大小为()A.eq\f(\r(3),2)FfB．FfC.eq\r(3)FfD．2Ff【题型6细绳连接体平衡问题】【例6】如图所示，钉子A和小定滑轮B均固定在竖直墙面上，它们相隔一定距离且处于同一高度，细线的一端系有一小沙桶D，另一端跨过定滑轮B与动滑轮C后固定在钉子A上。质量为m的小球E与轻质动滑轮C固定连接。初始时整个系统处于静止状态，滑轮C两侧细线的夹角为74°。现缓慢地往沙桶添加细沙，当系统再次平衡时，滑轮C两侧细线的夹角为106°。不计一切摩擦，取cos37°＝0.8，cos53°＝0.6，则此过程中往沙桶D中添加的细沙质量为()A.eq\f(5,6)m B.eq\f(5,8)mC.eq\f(5,24)m D.eq\f(1,8)m【变式6-1】如图所示，在竖直平面内，固定有半圆弧轨道，其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上，一细线穿过轻环A，一端系在M点，另一端系一质量为m的小球，小球恰好静止在图示位置。不计所有摩擦，重力加速度大小为g。下列说法正确的是()A．轨道对轻环的支持力大小为mgB．细线对M点的拉力大小为eq\f(\r(3),2)mgC．细线对轻环的作用力大小为eq\f(3,2)mgD．N点和轻环的连线与竖直方向的夹角为30°【变式6-2】如图所示，一根直杆固定在水平地面上，与水平面成θ＝37°的倾角，杆上套着一个质量为m的圆环A，跨过定滑轮的细绳一端系在圆环A上，另一端系一物块B。细绳对圆环A的拉力方向是水平向左。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，圆环A与直杆间动摩擦因数为μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，要保证A不向上滑动，所悬挂的物块B质量不能超过()A．mB.eq\f(4,3)mC.eq\f(5,3)m D．2m【变式6-3】如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球.在a和b之间的细线上悬挂一小物块.平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径.不计所有摩擦.小物块的质量为()A.eq\f(m,2)B.eq\f(\r(3),2)mC.mD.2m【题型7其他连接体平衡问题】【例7】如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)【变式7-1】如图所示，质量为M的四分之一圆柱体放在粗糙水平地面上，质量为m的正方体放在圆柱体和光滑墙壁之间，且不计圆柱体与正方体之间的摩擦，正方体与圆柱体的接触点的切线与右侧墙壁成θ角，圆柱体处于静止状态。则()A．地面对圆柱体的支持力为MgB．地面对圆柱体的摩擦力为mgtanθC．墙壁对正方体的弹力为eq\f(mg,tanθ)D．正方体对圆柱体的压力为eq\f(mg,cosθ)【变式7-2】如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止。物体B的受力个数为()A．2B．3C．4 D．5【变式7-3】如图所示，用轻绳系住一质量为2m的匀质大球，大球和墙壁之间放置一质量为m的匀质小球，各接触面均光滑。系统平衡时，绳与竖直墙壁之间的夹角为α，两球心连线O1O2与轻绳之间的夹角为β，则α、β应满足()A．tanα＝3cotβ B．2tanα＝3cotβC．3tanα＝tan(α＋β) D．3tanα＝2tan(α＋β)【题型8生活中的平衡问题】【例8】筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。筷子在先秦时称为“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”。如图所示，用筷子夹质量为m的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，为使小球静止，求每根筷子对小球的压力N的取值范围。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。【变式8-1】如图所示，总重为G的吊灯用三条长度相同的轻绳悬挂在天花板上，每条轻绳与竖直方向的夹角均为θ，则每条轻绳对吊灯的拉力大小为()A.eq\f(G,3cosθ) B.eq\f(G,3sinθ)C.eq\f(1,3)Gcosθ D.eq\f(1,3)Gsinθ【变式8-2】（2022-浙江6月）如图所示，一轻质晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的斜杆垂直，两斜杆夹角°。一重为的物体悬挂在横杆中点，则每根斜杆受到地面的（）A.作用力为 B.作用力为C.摩擦力为 D.摩擦力为【变式8-3】如图所示，对称晾挂在光滑等腰三角形衣架上的衣服质量为M，衣架顶角为120°，重力加速度为g，则衣架右侧对衣服的作用力大小为()A.eq\f(1,2)Mg B.eq\f(\r(3),3)MgC.eq\f(\r(3),2)Mg D．Mg【题型9各力不共面的平衡问题】【例9】如图所示，矩形平板ABCD的AD边固定在水平面上，平板与水平面夹角为θ，AC与AB的夹角也为θ。质量为m的物块在平行于平板的拉力作用下，沿AC方向匀速运动。物块与平板间的动摩擦因数μ＝tanθ，重力加速度大小为g，拉力大小为()A.2mgsinθcoseq\f(θ,2) B.2mgsinθC.2mgsineq\f(θ,2) D.mgsinθcoseq\f(θ,2)【变式9-1】被誉为“中国天眼”的射电天文望远镜(FAST)如图所示，质量为3×104kg的馈源舱用对称的六索六塔装置悬吊在球面镜正上方，相邻塔顶的水平距离为300m，每根连接塔顶和馈源舱的绳索长600m，不计绳索重力，则每根绳索承受的拉力大约为()A．4×105N B．6×104NC．1×105N D．3×104N【变式9-2】如图所示为一款吊床，用四根长均为L的粗麻绳将床悬空吊起，绳与床连接点到天花板的竖直距离为0.9L，床及床上物品的总质量为m，绳的重力不计，则每根绳上的张力大小为()A.eq\f(5,18)mgB.eq\f(9,10)mgC.eq\f(4,9)mgD.eq\f(1,4)mg【变式9-3】(多选)张鹏同学在家帮妈妈洗完衣服后，挂在如图所示的晾衣架上晾晒，A、B为竖直墙壁上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆。转轴C在AB中点D的正下方，A、O、B在同一水平面上。∠AOB＝60°，∠DOC＝30°，衣服质量为m，重力加速度为g。则()A.CO杆所受的压力大小为2mgB.CO杆所受的压力大小为eq\f(2\r(3),3)mgC.AO绳所受的拉力大小为eq\r(3)mgD.BO绳所受的拉力大小为mg

参考答案【题型1轻杆模型】【例1】如图为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，重量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是()A．Fa＝Fb B．Fa>FbC．Fa<Fb D．大小不确定[解析]对题图中的A点受力分析，则由图(a)可得Fa＝Fa′＝2mgcos30°＝eq\r(3)mg由图(b)可得tan30°＝eq\f(mg,Fb′)，则Fb＝Fb′＝eq\r(3)mg，故Fa＝Fb。[答案]A【变式1-1】如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10m/s2)()A．50N B．60NC．120N D．100N[解析]轻绳跨过滑轮，BC段、BD段拉力F1＝F2＝mg＝100N，夹角为120°，根据平行四边形定则，二力合成如图所示。由于F1＝F2，所以平行四边形为菱形，又因为∠DBG＝60°，所以△BGD为等边三角形，所以F1、F2的合力F＝F1＝F2＝100N，即绳子对滑轮的作用力大小为100N，D正确。[答案]D【变式1-2】如图所示，用AC、CD两根轻绳将物块悬于水平轻杆BC的下方，其中B为光滑转轴，C为结点，轻杆BC始终保持水平，重物静止不动。已知物块质量为m，重力加速度为g。设AC、CD绳的拉力分别为FAC、FCD。下列选项正确的是()A．FAC＞mgB．FCD＞mgC．若A点上移，则FAC变大D．若A点下移，则FCD变大解析：选AC点的受力如图所示，则有FACsinα＝FCD，FCD＝mg，则FAC＝eq\f(FCD,sinα)＝eq\f(mg,sinα)，所以FAC＞mg，故A正确，B、D错误；若A点上移，α变大，sinα变大，所以FAC变小，故C错误。【变式1-3】如图所示，A、B两球用轻杆相连，用两根细线将其悬挂在水平天花板上的O点．现用一水平力F作用于小球B上，使系统保持静止状态且A、B两球在同一水平线上．已知两球重力均为G，轻杆与细线OA长均为L，则()A．细线OB的拉力的大小为2GB．细线OB的拉力的大小为GC．水平力F的大小为2GD．水平力F的大小为G答案D【题型2共线力平衡问题】【例2】20世纪末，由于生态环境的破坏，我国北方地区3、4月份沙尘暴天气明显增多。近年来，我国加大了环境治理，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，沙尘天气明显减少。现把沙尘上扬后的情况简化为沙尘颗粒悬浮在空中不动。已知风对沙尘的作用力表达式为F＝αρAv2，其中α为常数，ρ为空气密度，A为沙尘颗粒的截面积，v为风速。设沙尘颗粒为球形，密度为ρ0，半径为r，风速的方向竖直向上，重力加速度为g，则v的表达式为()A.eq\r(\f(4ρgr,3αρ0)) B.eq\r(\f(4ρ0gr,3αρ))C.eq\r(\f(ρ0gr,αρ)) D.eq\r(\f(4gr,3α))答案B解析沙尘悬浮时受力平衡，根据平衡条件有mg＝F其中m＝ρ0V＝ρ0×eq\f(4,3)πr3，由题意知F＝αρAv2，A＝πr2，联立解得v＝eq\r(\f(4ρ0gr,3αρ))，选项B正确。【变式2-1】如图，A、B、C、D是四个完全相同的球，重力皆为G，A、B、C放置在水平面上用细线扎紧，D球叠放在A、B、C三球上面，则球A对地面的压力为()A.eq\f(4,3)GB.eq\f(3,2)GC.eq\f(3,4)G D．G解析：选A由对称性知，地面对A、B、C每个球的支持力相等，设为FN，对整体受力分析，据平衡条件可得3FN＝4G，可知地面对每个球的支持力FN＝eq\f(4,3)G。据牛顿第三定律可得，球A对地面的压力F压＝FN＝eq\f(4,3)G，故A正确。【变式2-2】如图所示为某新型夹砖机，它能用两支巨大的“手臂”将几吨砖夹起，大大提高了工作效率．已知该新型夹砖机能夹起质量为m的砖，两支“手臂”对砖产生的最大压力为Fmax，设最大静犘擦力等于滑动摩擦力，则“手臂”与砖之间的动摩擦因数至少为()A.eq\f(mg,Fmax)B.eq\f(mg,2Fmax)C.eq\f(2mg,Fmax)D.eq\f(Fmax,mg)答案B解析对砖进行受力分析，根据平衡条件得：2Ff＝mg，即2μFmax＝mg，解得：μ＝eq\f(mg,2Fmax)，故B正确，A、C、D错误．【变式2-3】如图所示，质量均为m的木块A和B，用一个劲度系数为k的轻质弹簧连接，最初系统静止，现在用力缓慢拉A直到B刚好离开地面，则这一过程A上升的高度为()A.eq\f(mg,k) B.eq\f(2mg,k)C.eq\f(3mg,k) D.eq\f(4mg,k)答案B解析最初弹簧处于压缩状态，根据平衡条件对A有kΔl1＝mg，B刚好离开地面时弹簧处于拉伸状态，根据平衡条件对B有kΔl2＝mg，这一过程A上升的高度为Δl1＋Δl2＝eq\f(2mg,k)，故选项B正确。【题型3不共线三力平衡问题】【例3】如图所示，一物体在三根不可伸长的轻绳的作用下处于静止状态，ac轻绳与竖直方向成37°角，bc轻绳与竖直方向成53°角，已知ac轻绳与bc轻绳能够承受的最大拉力均为20N，cd轻绳能够承受足够大的拉力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，sin53°＝0.8。则所挂物体的最大质量为()A．1.6kgB．2.4kgC．2.5kg D．2.8kg[解析]对结点c受力分析，由共点力平衡条件可得Tbc＝mgsin37°＝0.6mg，Tac＝mgsin53°＝0.8mg，可知Tac＞Tbc，则ac轻绳承受的最大拉力为20N时，此时能悬挂物体的质量最大，则有m＝eq\f(Tac,0.8g)＝eq\f(20,0.8×10)kg＝2.5kg，C正确。[答案]C【变式3-1】历经一年多的改造，太原迎泽公园重新开园，保持原貌的七孔桥与新建的湖面码头，如图甲所示，为公园增色不少。如图乙是七孔桥正中央一孔，位于中央的楔形石块1，左侧面与竖直方向的夹角为θ，右侧面竖直。若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块1左、右两侧面所受弹力的比值为()A.eq\f(1,tanθ)B．sinθC.eq\f(1,cosθ)D.eq\f(1,2cosθ)解析：选C对石块1受力分析如图所示，有F1＝eq\f(mg,sinθ)，F2＝eq\f(mg,tanθ)，则石块1左、右两侧面所受弹力的比值eq\f(F1,F2)＝eq\f(1,cosθ)，故C正确。【变式3-2】如图所示，一卡车沿倾角为15°的下坡路段匀速行驶，一质量为m的匀质圆筒置于车厢内两固定光滑斜面之间，两斜面Ⅰ、Ⅱ与车厢底板的夹角分别为30°和60°，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则()A．F1＝eq\f(\r(2),2)mg、F2＝eq\f(\r(2),2)mgB．F1＝eq\f(\r(3),2)mg、F2＝eq\f(1,2)mgC．F1＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)mg、F2＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)mgD．F1＝eq\f(\r(3),3)mg、F2＝eq\f(\r(3),2)mg解析：选A对圆筒受力分析如图所示，由几何关系可得F1、F2与竖直方向夹角都为45°，由平衡条件可得F1＝mgcos45°＝eq\f(\r(2),2)mg，F2＝mgsin45°＝eq\f(\r(2),2)mg，所以A正确，B、C、D错误。【变式3-3】(多选)两轻杆通过铰链相连构成一个三角形框架，AB、BC、CA三边长度分别为30cm、20cm、40cm，在A点用一细线悬挂1kg的物块，系统处于静止状态，则(g取10m/s2)()A．AB杆对A点有沿杆从B点指向A点的弹力B．CA杆作用于A点的弹力不一定沿CA杆方向C．CA杆产生的弹力大小为20ND．若改为悬挂一个0.5kg的物块，则AB杆上弹力变为原来的一半[解析]AB杆对A点有沿杆从A点指向B点的拉力，A错误；由于是轻杆且通过铰链连接，则CA杆作用于A点的弹力一定沿CA杆方向，B错误；分析A点的受力，由相似三角形可知：解得FCA＝2mg＝20N，C正确；因则FAB＝15N，若改为悬挂一个0.5kg的物块，则AB杆上弹力为7.5N，D正确。[答案]CD【题型4不共线三力以上平衡问题】【例4】(多选)如图所示，某中学新校区装修时，工人用质量为m的磨石对斜壁进行打磨，当对磨石施加方向竖直向上、大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，则磨石受到的摩擦力大小为()A．μ(F－mg)cosθ B．μ(F－mg)sinθC．(F－mg)cosθ D．μ(F－mg)解析：选BC磨石受重力、推力、斜壁的弹力及摩擦力而处于平衡状态，由图可知，F一定大于重力；先将重力与向上的推力合成后，将二者的合力向垂直于斜面方向及沿斜面方向分解，可得在沿斜面方向有：f＝(F－mg)cosθ；在垂直于斜面方向上有：FN＝(F－mg)sinθ；则f＝(F－mg)cosθ＝μ(F－mg)sinθ，故B、C正确。【变式4-1】如图(a)，滑块在与水平方向夹角为37°斜向上的拉力F作用下，沿水平桌面做匀速直线运动。将该桌面倾斜成与水平方向夹角为37°，保持拉力的方向不变，大小变为2F，如图(b)，滑块恰好沿倾斜桌面向上做匀速直线运动。滑块与桌面间的动摩擦因数是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)解析：选A设滑块质量为m，当滑块沿水平桌面做匀速直线运动，据平衡条件可得，在水平、竖直方向分别有Fcos37°＝μN1，Fsin37°＋N1＝mg，当滑块沿倾斜桌面向上做匀速直线运动，沿斜面方向、垂直斜面方向分别有2F＝mgsin37°＋μN2，N2＝mgcos37°，联立可解得μ＝eq\f(3,4)，A正确。【变式4-2】如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为()A．2－eq\r(3) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(3),2)解析：选C当拉力水平时，物块做匀速运动，则F＝μmg，当拉力方向与水平方向的夹角为60°时，物块也刚好做匀速运动，则Fcos60°＝μ(mg－Fsin60°)，联立解得μ＝eq\f(\r(3),3)，A、B、D项错误，C项正确。【变式4-3】如图所示，六根原长均为l的轻质细弹簧两两相连，在同一平面内六个大小相等、互成60°的恒定拉力F作用下，形成一个稳定的正六边形。已知正六边形外接圆的半径为R，每根弹簧的劲度系数均为k，弹簧在弹性限度内，则F的大小为()A.eq\f(k,2)(R－l) B.k(R－l)C.k(R－2l) D.2k(R－l)答案B解析正六边形外接圆的半径为R，则弹簧的长度为R，弹簧的伸长量为Δx＝R－l。由胡克定律可知，每根弹簧的弹力为F弹＝kΔx＝k(R－l)。两相邻弹簧夹角为120°，两相邻弹簧弹力的合力为F合＝F弹＝k(R－l)。弹簧静止，处于平衡状态，由平衡条件可知，F的大小为F＝F合＝k(R－l)，故B正确，A、C、D错误。【题型5弹簧连接体平衡问题】【例5】如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等。弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等。弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°。设弹簧A、B中的拉力分别为FA、FB。小球直径相比弹簧长度可以忽略，重力加速度为g。则()A.tanθ＝eq\f(1,2) B.kA＝kBC.FA＝eq\r(3)mg D.FB＝2mg答案A解析对小球B进行受力分析，如图甲所示，甲乙根据平衡条件得F＝mgtan45°＝mg，FB＝eq\f(mg,cos45°)＝eq\r(2)mg；对两个小球整体受力分析，如图乙所示。根据平衡条件得：tanθ＝eq\f(F,2mg)，又F＝mg，解得tanθ＝eq\f(1,2)，FA＝eq\r(（2mg）2＋F2)＝eq\r(5)mg，由题意可知两弹簧的形变量相等，则有：x＝eq\f(FA,kA)＝eq\f(FB,kB)，解得：eq\f(kA,kB)＝eq\f(FA,FB)＝eq\f(\r(5),\r(2))，故A正确，B、C、D错误。【变式5-1】如图所示，水平固定且倾角为30°的光滑斜面上有两个质量均为m的小球A、B，它们用劲度系数为k的轻质弹簧连接，现对B施加一水平向左的推力F使A、B均静止在斜面上，此时弹簧的长度为l，则弹簧原长和推力F的大小分别为()A．l＋eq\f(mg,2k)，eq\f(2\r(3),3)mgB．l－eq\f(mg,2k)，eq\f(2\r(3),3)mgC．l＋eq\f(mg,2k)，2eq\r(3)mgD．l－eq\f(mg,2k)，2eq\r(3)mg答案B解析以A、B和弹簧组成的系统为研究对象，则Fcos30°＝2mgsin30°，得F＝eq\f(2\r(3),3)mg；隔离A有kx＝mgsin30°，得弹簧原长为l－x＝l－eq\f(mg,2k)，故选项B正确．【变式5-2】如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为()A.eq\r(3)∶4B．4∶eq\r(3)C．1∶2D．2∶1答案D解析这是典型的平衡模型，解题的要点是对两小球进行受力分析，列平衡方程，若取两小球作为一个整体来研究会更方便．方法1：分别对两小球受力分析，如图所示FAsin30°－FBsinα＝0FB′sinα－FC＝0，FB＝FB′得FA＝2FC，即弹簧A、C的伸长量之比为2∶1，选项D正确．方法2：将两球作为一个整体进行受力分析，如图所示由平衡条件知：eq\f(FA′,FC)＝eq\f(1,sin30°)即FA′＝2FC又FA′＝FA，则FA＝2FC，故选项D正确．【变式5-3】如图所示，在粗糙水平面上放置A、B、C、D四个小物块，各小物块之间由四根完全相同的轻弹簧相互连接，正好组成一个菱形，∠BAD＝120°，整个系统保持静止状态，已知A物块所受的摩擦力大小为Ff，则D物块所受的摩擦力大小为()A.eq\f(\r(3),2)FfB．FfC.eq\r(3)FfD．2Ff答案C解析已知A物块所受的摩擦力大小为Ff，设每根弹簧的弹力为F，则有：2Fcos60°＝Ff，对D：2Fcos30°＝Ff′，解得：Ff′＝eq\r(3)F＝eq\r(3)Ff.【题型6细绳连接体平衡问题】【例6】如图所示，钉子A和小定滑轮B均固定在竖直墙面上，它们相隔一定距离且处于同一高度，细线的一端系有一小沙桶D，另一端跨过定滑轮B与动滑轮C后固定在钉子A上。质量为m的小球E与轻质动滑轮C固定连接。初始时整个系统处于静止状态，滑轮C两侧细线的夹角为74°。现缓慢地往沙桶添加细沙，当系统再次平衡时，滑轮C两侧细线的夹角为106°。不计一切摩擦，取cos37°＝0.8，cos53°＝0.6，则此过程中往沙桶D中添加的细沙质量为()A.eq\f(5,6)m B.eq\f(5,8)mC.eq\f(5,24)m D.eq\f(1,8)m[解析]设初始时沙桶和沙的质量为m1，再次平衡时沙桶和沙的质量为m2，则添加细沙前后根据平衡条件有m1gcos37°＝eq\f(1,2)mg，m2gcos53°＝eq\f(1,2)mg，解得m2＝eq\f(5,6)m，m1＝eq\f(5,8)m，则Δm＝m2－m1＝eq\f(5,24)m，C正确。[答案]C【变式6-1】如图所示，在竖直平面内，固定有半圆弧轨道，其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上，一细线穿过轻环A，一端系在M点，另一端系一质量为m的小球，小球恰好静止在图示位置。不计所有摩擦，重力加速度大小为g。下列说法正确的是()A．轨道对轻环的支持力大小为mgB．细线对M点的拉力大小为eq\f(\r(3),2)mgC．细线对轻环的作用力大小为eq\f(3,2)mgD．N点和轻环的连线与竖直方向的夹角为30°解析：选D轻环两边细线的拉力大小相等，均为FT＝mg，轻环两侧细线的拉力与轻环对圆弧轨道的压力的夹角相等，设为θ，由OA＝OM知∠OMA＝∠MAO＝θ，则3θ＝90°，θ＝30°，轻环受力平衡，则轨道对轻环的支持力大小FN＝2mgcos30°＝eq\r(3)mg，A错误；细线对M点的拉力大小为mg，B错误；细线对轻环的作用力大小为FN′＝FN＝eq\r(3)mg，C错误；由几何关系可知，N点和轻环的连线与竖直方向的夹角为30°，D正确。【变式6-2】如图所示，一根直杆固定在水平地面上，与水平面成θ＝37°的倾角，杆上套着一个质量为m的圆环A，跨过定滑轮的细绳一端系在圆环A上，另一端系一物块B。细绳对圆环A的拉力方向是水平向左。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，圆环A与直杆间动摩擦因数为μ＝0.5，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，要保证A不向上滑动，所悬挂的物块B质量不能超过()A．mB.eq\f(4,3)mC.eq\f(5,3)m D．2m解析：选D对圆环A受力分析，如图，对物块B，由平衡条件可得T＝mBg，当圆环刚要上滑时，由平衡条件可得Tcosθ＝mgsinθ＋fm，fm＝μ(Tsinθ＋mgcosθ)，联立解得mB＝2m，即悬挂的物块B质量不能超过2m。故D正确。【变式6-3】如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球.在a和b之间的细线上悬挂一小物块.平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径.不计所有摩擦.小物块的质量为()A.eq\f(m,2)B.eq\f(\r(3),2)mC.mD.2m答案C解析如图所示，圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，由于ab＝R，则△aOb为等边三角形，同一条细线上的拉力相等，FT＝mg，合力沿Oc方向，则Oc为角平分线，由几何关系知，∠acb＝120°，故线的拉力的合力与物块的重力大小相等，即每条细线上的拉力FT＝G＝mg，所以小物块质量为m，故C对.【题型7其他连接体平衡问题】【例7】如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)解析：选D滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带电同性，设两者之间的库仑斥力为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示，对滑块Q在沿着斜面方向有mgcos30°＝Fcos30°，可得F＝mg，P与M间动摩擦因数最小时有N2＝F＋mgsin30°，f＝μN2，f＝mgcos30°，联立解得μ＝eq\f(\r(3),3)，故D正确。【变式7-1】如图所示，质量为M的四分之一圆柱体放在粗糙水平地面上，质量为m的正方体放在圆柱体和光滑墙壁之间，且不计圆柱体与正方体之间的摩擦，正方体与圆柱体的接触点的切线与右侧墙壁成θ角，圆柱体处于静止状态。则()A．地面对圆柱体的支持力为MgB．地面对圆柱体的摩擦力为mgtanθC．墙壁对正方体的弹力为eq\f(mg,tanθ)D．正方体对圆柱体的压力为eq\f(mg,cosθ)解析：选C以正方体为研究对象，受力分析，并运用合成法如图所示。由几何知识得，墙壁对正方体的弹力N1＝eq\f(mg,tanθ)圆柱体对正方体的弹力N2＝eq\f(mg,sinθ)，根据牛顿第三定律，则正方体对圆柱体的压力为eq\f(mg,sinθ)以圆柱体和正方体为研究对象，竖直方向受力平衡，地面对圆柱体的支持力：N＝(M＋m)g水平方向受力平衡，地面对圆柱体的摩擦力：f＝N1＝eq\f(mg,tanθ)，故C正确。【变式7-2】如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止。物体B的受力个数为()A．2B．3C．4 D．5解析：选C先以物体A为研究对象，受力情况如图甲所示，此时，墙对物体A没有支持力(此结论可利用整体法得出)。再以物体B为研究对象，结合牛顿第三定律，其受力情况如图乙所示，即要保持物体B平衡，B应受到重力、压力、摩擦力、力F共4个力的作用。【变式7-3】如图所示，用轻绳系住一质量为2m的匀质大球，大球和墙壁之间放置一质量为m的匀质小球，各接触面均光滑。系统平衡时，绳与竖直墙壁之间的夹角为α，两球心连线O1O2与轻绳之间的夹角为β，则α、β应满足()A．tanα＝3cotβ B．2tanα＝3cotβC．3tanα＝tan(α＋β) D．3tanα＝2tan(α＋β)解析：选C设绳子拉力为T，墙壁支持力为N，两球之间的压力为F，将两个球作为一个整体进行受力分析，可得Tcosα＝2mg＋mg，Tsinα＝N，对小球进行受力分析，可得Fcos(α＋β)＝mg，Fsin(α＋β)＝N，联立得3tanα＝tan(α＋β)，故C正确。【题型8生活中的平衡问题】【例8】筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。筷子在先秦时称为“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”。如图所示，用筷子夹质量为m的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，为使小球静止，求每根筷子对小球的压力N的取值范围。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。[解析]筷子对小球的压力太小时，小球有下滑的趋势，最大静摩擦力沿筷子向上，如图甲所示。小球平衡时，有2Nsinθ＋2fcosθ＝mgf＝μN联立解得N＝eq\f(mg,2sinθ＋μcosθ)筷子对小球的压力太大时，小球有上滑的趋势，最大静摩擦力沿筷子向下，如图乙所示。小球平衡时，有2N′sinθ＝mg＋2f′cosθf′＝μN′联立解得N′＝eq\f(mg,2sinθ－μcosθ)综上，筷子对小球的压力的取值范围为：eq\f(mg,2sinθ＋μcosθ)≤N≤eq\f(mg,2sinθ－μcosθ)。[答案]eq\f(mg,2sinθ＋μcosθ)≤N≤eq\f(mg,2sinθ－μcosθ)【变式8-1】如图所示，总重为G的吊灯用三条长度相同的轻绳悬挂在天花板上，每条轻绳与竖直方向的夹角均为θ，则每条轻绳对吊灯的拉力大小为()A.eq\f(G,3cosθ) B.eq\f(G,3sinθ)C.eq\f(1,3)Gcosθ D.eq\f(1,3)Gsinθ答案A