2025年高考数学一轮复习：第十章 计算原理、概率、随机变量及其分布

第十章

计数原理、概率、随机变量及其分布

第一节两个基本计数原理

［学习要求］L理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其意义.2.会用分类计数原理和分步

计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

1必备知识自主梳理

［知识梳理］

知识点两个基本计数原理

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有加种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同

的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有加种不同的方法，做第2步有"种不同的方法，那么完成

这件事共有N=mXn种不同的方法.

［小题诊断］

1.中国人民解放军东部战区领导和指挥江苏、浙江、上海、安徽、福建、江西的武装力量.某日东

部战区下达命令，要求从江西或福建派出一架侦察机对台海空域进行侦查，已知江西有加架侦察

机，福建有〃架侦察机，则不同的分派方案共有（）

A.+71）种B.mn种

C.m种D."种

答案：A

解析：根据题意，由分类加法计数原理，不同的分派方案共有（%+"）种.

2.由于用具简单、趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不

考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走

一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，其中也能把“炮”吃掉的可能路线

有（）

A.10条B.8条C.6条D.4条

答案：C

解析：由题意可知，“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步，竖走两步；

其中也能把‘‘炮''吃掉的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有3种走法；第二步,

横走一步，竖走一步，有2种走法.

所以所求路线共有3X2=6（条）.

3.（易错题）如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，

从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有一条不同的路线.

答案：32

■关键能力重点探究。

考点一分类加法计数原理

［例1］（2024•江苏扬州模拟）某人从一层上到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称

为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他

总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（）

A.10种B.9种

C.8种D.12种

［答案］A

［解析］按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步.

因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步.

为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程：

白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步，

每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列.

下面分三种情形讨论.

(1)第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧，

此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4种可能的不同排列；

(2)第1球不是白球.

(i)第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列；

(ii)若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，此种情形共有3种

不同排列；

(3)第6球不是白球，同(2),共有3种不同排列.

总之，按题意要求从一层到二层共有4+3+3=10种可能的不同过程.

学生用书［第218页

|方法总结|

运用分类加法计数原理的两个注意点

1.根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.

2.分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.

声跟踪训练

1.如图，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能取其中一堆最上

面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是()

A.6B.10

C.12D.24

答案：B

解析：将题图中左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为4,5.

分两种情况讨论：若先取1,则有12345,12453,12435,14523,14235,14253,共6种取法；若

先取4,则有45123,41235,41523,41253,共4种取法，故共有6+4=10种取法.

考点二分步乘法计数原理

［例2］（2024•江苏镇江模拟）某公园有如图所示/至〃共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐

下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（）

ABCD

EFGH

A.168B.336

C.338D.84

［答案］B

［解析］第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行

有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有4X3X2=24（种），

第二步：排女生，若男生选/尸，则女生有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选择，由于

女生可以互换，故女生的排法有2X7=14（种）,

根据分步计数原理，共有24X14=336（种）.

|方法总结|

运用分步乘法计数原理解题的三个注意点

1.要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.

2.各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.

3.对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.

员跟踪训练

2.（2024•河北石家庄模拟）教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有

（）

A.10种B.25种

C.52种D.24种

答案：D

解析：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步.

由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法.

考点三两个基本计数原理的综合应用

［例3］如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形

有个.（用数字作答）

［答案］40

［解析］把与正八边形有公共边的三角形分为两类：

第一类，有一条公共边的三角形共有8X4=32（个）.

第二类，有两条公共边的三角形共有8个.

由分类加法计数原理知，共有32+8=40（个）.

|方法总结|

应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步.分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准

是关键;分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成.

内跟踪训练

3.如图，用6种不同的颜色分别给图中A,B,C,D四块区域涂色.若相邻区域不能涂同一种颜

色，则不同的涂法共有（）

B\D

A.400种B.460种

C.480种D.496种

答案：C

解析：完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色.当使用4种颜色时：从A开始，有6种

方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6X5X4X3=360种方法；当使用3种颜色

时：A,D使用同一种颜色，从A,D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有

6X5X4=120种方法油分类加法计数原理可知不同的涂法有360+120=480（种）.

学生用书［第417页

|课时作业

-------------------------------------

［A组基础保分练］

1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，

则不同的赠送方法共有（）

A.4种B.10种

C.18种D.20种

答案：B

解析：赠送1本画册，3本集邮册，需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法.

赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法.

由分类计数原理可知，不同的赠送方法共有4+6=10（种）.

2.（2024•广东汕头模拟）电脑调色板有红、绿、蓝二种基本颜色，每种颜色的色号均为0〜255.在

电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种

数为（)

A.2563B.27

C.2553D.6

答案：A

解析：分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成

256X256X256=2563种颜色.

3.（2024•山西太原模拟）现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成的币值有

（）

A.3种B.6种

C.7种D.8种

答案：C

解析：由题意得，

三种币值取一■张，共有3种取法，币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾圆；

三种币值取两张，共有3种取法，币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆；

三种币值全取，共有1种取法，币值为捌拾圆.

一共可以组成的币值有3+3+1=7（种）.

4.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成.

玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一

行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有（）

第一列第二列第三列

第一行

第二行

第三行

A.12种B.24种

C.72种D.216种

答案：A

解析：先填第一行，有3X2X1=6种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元

格填好后，其他单元格唯一确定.根据分步计数原理可知，共有6X2=12种不同的填法.

5.（多选）现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同

学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（）

A.共有43种不同的安排方法

B.若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种

C.若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种

D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种

答案：ABD

解析：对于A,A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每个学生有4种选

法，则三个学生有4X4X4=43种选法，故A正确；

对于B,三人到4个工厂，有43=64种情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三

个工厂的情况有33=27（种）,

则甲工厂必须有同学去的安排方法有64-27=37（种），故B正确；

对于C,若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有42=16种安排方法，故

C错误；

对于D,若三名同学所选工厂各不相同，有4X3X2=24种安排方法，故D正确.

6.如图，。省分别与6,c,d,e四省交界，且6,c,♦互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，

要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为（）

A.480B.600

C.720D.840

答案：C

解析：依题意，按c与d涂的颜色相同和不同分成两类：

若c与d涂同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有1种方法，涂e有3种方法，最

后涂6有3种方法，由分步计数原理得到不同的涂色方案有5X4X1X3X3=180（种），

若c与d涂不同色，先涂d有5种方法，再涂a有4种方法，涂c有3种方法，涂e,6也各有3种

方法，

由分步计数原理得到不同的涂色方案有5X4X3X3X3=540（种）,

所以，由分类计数原理得不同的涂色方案共有180+540=720（种）.

7.（2024•安徽宿州模拟）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线

面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的

个数为（）

A.12B.24

C.36D.48

答案：C

解析：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”

有2X12=24（个）；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，

这样的“正交线面对”有12个.

所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36（个）.

8.（2024•福建南平质检）甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是9,0,2,1,5,为

遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶

数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则

不同的用车方案种数为.

答案：80

解析：某月5日至9日，日期尾数分别为5,6,7,8,9,有3天是奇数日，2天是偶数日.第一

步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有2X2=4种用车方案；第二步，安排奇数日出行，

分两类，第一类，选1天安排甲的车，另外2天安排其他车，有3X2X2=12种用车方案，第二

类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有23=8种用车方案，共计12+8=20种用车方案.根据

分步计数原理可知，不同的用车方案种数为4X20=80.

[B组能力提升练]

9.（多选）（2024•山东潍坊模拟）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8

人、9人，则下列说法正确的是（）

A.选1人为负责人的选法种数为30

B.每组选1名组长的选法种数为3024

C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335

D.若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种

答案：ABC

解析：对于A,选1人为负责人的选法种数：6+7+8+9=30,故A正确；

对于B,每组选1名组长的选法：6X7X8X9=3024,故B正确；

对于C,2人需来自不同的小组的选法：6X7+6X8+6X9+7X8+7X9+8X9=335,故C正

确；

对于D,依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择，若第一组没有人选，每个

人有3种选择，共有33种选择，

所以不同的选法有：43—33=37,故D错误.

学生用书［第418页

10.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形N2CD内部

为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），LABE,△BCF,4CDG,

△D48这4个三角形和“赵爽弦图涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同

色，已知有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数是（）

A.48B.54

C.72D.108

答案:C

解析：设“赵爽弦图"ABCD为①区,△ABE,△2CF,△CDG,这4个三角形分别为②,

③，④，⑤区.

第一步给①区涂色，有4种涂色方法.

第二步给②区涂色，有3种涂色方法.

第三步给③区涂色，有2种涂色方法.

第四步给④区涂色，若④区与②区同色，⑤区有2种涂色方法.

若④区与②区不同色，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法.

所以共有4X3X2X(2+1X1)=72种涂色方法.

11.几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的过程中依次撞

击到树枝B,C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝。，E,F；(3)丙在下落的过程中

依次撞击到树枝G,A,C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝8,D,H；(5)戊在下落的

过程中依次撞击到树枝/,C,E,则这九根树枝从高到低不同的顺序共有()

A.23种B.24种

C.32种D,33种

答案：D

解析：不妨设4B,C,D,E,F,G,H,/代表树枝的高度，九根树枝从上至下共九个位置，

根据甲依次撞击到树枝N,B,C;乙依次撞击到树枝。，E,F-,丙依次撞击到树枝G,A,C-,丁

依次撞击到树枝2,D,H-,戊依次撞击到树枝/,C,E,可得G>/>8,且G,A,3在前四个位

置，C>E>F,D>E>F,且E,尸一定排在后四个位置，

(1)若/排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C,则第六个

位置一定排D,后三个位置共有3种排法，若第五个位置排。，则后四个位置共有4种排法，所以

/排在前四个位置中的一个位置时，共有4X(3+4)=28种排法；

(2)若/不排在前四个位置中的一个位置，则G,A,B,。按顺序排在前四个位置，由于/>C>

E>F,所以后五个位置的排法就是X的不同排法，共5种排法，即若/不排在前四个位置中的一

个位置共有5种排法，

由分类计数原理可得，这九根树枝从高到低不同的顺序有28+5=33(种).

12.(2024•河北保定模拟)算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和

进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明.在算筹计数法中，以“纵

式”和“横式”两种方式来表示数字，如表所示：

fc

7方三、字123456789

纵式1IIIII1111muTTT¥

横式—===室±111

用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，

遇零则置空，知“T=I”表示的三位数为；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面

的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为.

答案：62114

解析：由题意，结合表格中的数据和图形，知“T=I”表示的三位数为621;

共有5根算筹，要能被5整除，则个位数必须为0或5,

①当个位数为5时，不符合题意；

②当个位数为0时，则5根算筹全部放在十位和百位,

若百位有1根，十位有4根，则共有1义2=2个三位数;

若百位有2根,十位有3根，则共有2X2=4个三位数;

若百位有3根，十位有2根,则共有2X2=4个三位数;

若百位有4根,十位有1根，则共有2X1=2个三位数;

若百位有5根，十位有0根,则共有2个三位数.

所以共有2+4+4+2+2=14个三位数.

13.（2024•湖南怀化模拟）世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强

（各组的前2名小组出线），这16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，

直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为.

答案：64

解析：因为8个小组进行单循环赛，每小组进行6场小组赛，所以小组赛的场数为8X6=48.因为

16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为8+4+2+2=16,因此比赛进行的总

场数为48+16=64.

14.若加，〃均为非负整数，在做%十〃的加法时，各位均不进位（例如：134+3802=3936）,贝（j

称（m,n）为"简单的”有序数对，为有序数对（”,〃）的值，那么值为1942的“简单

的”有序数对的个数是.

答案：300

解析：第1步，1=1+0,1=0+1,共2种组合方式；

第2步，9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…，9=9+0,共10种组合方式；

第3步，4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5种组合方式；

第4步，2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3种组合方式.

根据分步计数原理可知，值为1942的“简单的”有序数对的个数为2X10X5X3=300.

学生用书［第219页

第二节排列与组合

［学习要求］1.理解排列、组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排

列、组合解决简单的实际问题.

，必备知识自主梳理

［知识梳理］

知识点一排列与排列数

1.排列与排列数

（1）排歹U：从"个不同元素中取出机个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫

做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

（2）排列数：从〃个不同元素中取出加（"W"）个不同的元素，所有不同排列的个数叫做从

n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作4：.

2.排列数公式及性质

(1)排列数公式

(n-1)(n—2)…(n—m+1)

n!

〃且加.

(n—m)!(m,£N*,

(2)性质：①父=加；

(2)0!=1.

知识点二组合与组合数

1.组合与组合数

(1)组合：从〃个不同元素中取出(mWn)个元素作为一组，叫做从"个不同元素中取出m个

元素的一个组合.

(2)组合数：从〃个不同元素中取出加(mWn)个元素的所有不同组合的个数，所有不同组合

的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C：.

2.组合数的公式及性质

(1)组合数公式

A：n(n_l)(n_2)...(n_m+1)

—_—__________________

^n~Am~——m!——

n!*口、

=

-m!(n.m)!-(小”GN,且仅4).

(2)组合数性质

①优=L；

wn_m

②M=Cn;

rn1

③甯1=Cn+C

［小题诊断］

1&+C；等于()

A.35B.47

C.45D.57

答案：B

一2q7x6x5

解析：^+d=4X3+3x2xl=47.

2.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是()

A.18B.24

C.30D.36

答案：C

解析：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有［C；=18（种），选出的3人中有1名男同

学2名女同学的方法有=（种），故3名学生中男、女生都有的选法有C："+C：C；=30

（种）.

3.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2

台，则不同的取法有种.

答案:350

4.将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则

不同的安排方案共有种.

答案：36

解析：第一步，先从4名学生中任取两人组成一组，与剩下2人分成三组，有C：=6种不同的方

法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有4；=6种不同的方法.故共有6X6=36种

不同的安排方案.

1关键能力重息探个------------------

考点一排列问题

［例1］（1）（2024•江苏南通模拟）某人将斐波那契数列的前6项“1,1,2,3,5,8”进行排

列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（）

A.120种B.240种

C.360种D.480种

（2）（2024•江苏扬州模拟）为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之

间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情.某中学举办田径运动会，某班从甲、

乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4X100米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，

乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为（）

A.48B.36C.24D.12

［答案］(1)A(2)B

［解析］（1）将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有布=120（种）.

（2）当甲排第1棒时，乙可排第2棒或第4棒，共有考《=24（种）：

当甲排第2棒时，乙只能排第4棒，共有4：=12（种）.

故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为24+12=36（种）.

学生用书［第220页

|方法总结|

解决排列问题的主要方法

直接法把符合条件的排列数直接列式计算

相邻问题捆绑处理，即把相邻元素看作一个

捆绑法整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素

的内部排列

不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的

插空法元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元

素排列的空中

定序问题消序（除法）处理的方法，可先不考

消序法虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全

排列

由跟踪训练

1.4个男生，3个女生站成一排.

（1）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？

（2）任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？

（3）甲、乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？

解：（1）先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素做全排列有力；嫉=720（种）.

（2）男生排好后，5个空再插女生有=1440（种）.

（3）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最后的

2个元素全排列，分步有4；4"=720（种）.

考点二组合问题

［例2］(1)(2024•江苏南通模拟)如图，湖面上有4个小岛4,B,C,D,现要建3座桥梁,

将这4个小岛联通起来，则所有不同的建桥方案种数为()

A.6B.16

C.18D.20

(2)(2024•江苏扬州模拟)某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可

以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为()

12

A.yB.y

34

C.yD.y

［答案］(1)B(2)C

［解析］(1)由题意可知，四个小岛两两相连，共有AB,AC,AD,BC,BD,CD6座桥梁，从

中任选3座桥梁共有C；=20种，

其中选择｛/8,AC,AD｝.｛AB,BC,BD｝、｛AC,BC,CD｝、｛AD,BD,CD｝四种不行，

因此，共有20—4=16种不同的方案.

(2)10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级，

共3X2=35种走法，

若第二步走两级台阶，则其余6步中有两步是上两级，

共。=亨=15种走法，

153

所以第二步走两级台阶的概率为方=,.

|方法总结|

组合问题常有以下两类题型

1.“含有”或“不含有”问题:“含、则先将这些元素取出，再由另外元素补足;“不含”，则先

将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

2.“至少”或“最多响题:用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑

逆向思维，用间接法处理.

由跟踪训练

2.某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

解：(1)从余下的34种商品中，

选取2种有。。=561种取法，

所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.

(2)从34种可选商品中，选取3种，有嫌种或者嫌一以=嫌=5984种取法.

所以某一种假货不能在内的不同取法有5984种.

(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有。/。卷=？100种取法.

所以恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.

(4)选取2种假货有制种，选取3种假货有种，共有选取方式。2力盛+以=2100+455=

2555(种).

所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.

(5)法一(间接法)：选取3种的总数为C1，因此共有选取方式碇一*=6545—455=6090

(种).

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.

法二(直接法)：共有选取方式(种).

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.

学生用书1第221页

考点三排列与组合的综合问题

⑥角度（一）相邻、相间问题

［例3］（2024•江苏淮安模拟）3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相

邻，则共有种站法.

［答案］96

［解析］由题意排除两名男生相邻且排在两端即得结果，排法数为4卜2A；《=96.

|方法总结|

1.把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；

2.对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中.

⑥角度（二）定序问题

［例4］有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到

右，女生从矮到高排列（不一定相邻），不同的排法共有种.

［答案］840

［解析］7名学生的排列共有4种，其中女生的排列共有尺种，按照从左到右，女生从矮到高的排

列只是其中的一种，故有T=4：=840种不同的排法.

&

|方法总结|

对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

⑥角度（三）分组、分配问题

［例5］（2024•江苏徐州模拟）六名教师随机分配到三所学校任教，每个学校分配两名教师，则

甲、乙被分配到同一所学校的概率为（）

1111

［答案］A

c2c2c2

［解析］六名教师随机分配到三所学校任教，每个学校分配两名教师有三畜乂力;=川种分配方

uL

甲、乙被分配到同一所学校有—4'2><*Q=18种分配方法,

则甲、乙被分配到同一所学校的概率为得=：

［方法总结］

分组分配问题的三种类型及求解策略

类型求解策略

解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，

整体

都是一种情况，所以分组后一定要除以A；；（»

均分

为均分的组数），避免重复计数

解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，

部分即若有"，组元素个数相等，则分组时应除以

均分"?!.一个分组过程中有几个这样的均匀分组

就要除以几个这样的全排列数

不等只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素

分的个数都不相等，所以不需要除以全排列数

3.（多选）有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是（）

A.全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法

B.全体站成一排，男生互不相邻有1440种排法

C.任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种

D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种排法

答案：BCD

解析：对于A,将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有4：种排法,

再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有力:种排法，

故共有4：2：=576种排法,故A错误；

对于B,先排女生，将4名女生全排列，有4：种排法，

再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，

有4；种排法,

故共有4：•尺=1440种排法，故B正确；

对于C,任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有《义2义1=70

（种），故C正确；

对于D,若甲站在排尾，则有那种排法，若甲不站在排尾，则有种排法，

故共有=3720种排法，故D正确.

4.（多选）己知N,B,C,D,E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（）

A.若N,8不相邻，共有72种排法

B.若/不站在最左边，2不站在最右边，有72种排法

C.若/在3右边有60种排法

D.若a2两人站在一起有48种排法

答案：ACD

解析：对于A,若4,3不相邻，共有4H=72（种）排法，故A正确；

对于B,若/不站在最左边，8不站在最右边，利用间接法有成一24：+4；=78种排法，故B错

、口

7天；

对于C,若/在2右边有质=60种排法，故C正确；

对于D,若4,8两人站在一起有屈4：=48种排法，故D正确.

5.（2024•江苏南京模拟）某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作

需要，学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导

老师仍在原来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的

调整方案为（）

A.135种B.360种

C.90种D.270种

答案：A

解析：根据题意，6个数学兴趣小组有位指导老师仍在原来的兴趣小组，则不做调整的两个小组有

0=15种情况，

其余的4个小组的指导老师由原来的小组均相应地调整到其他数学兴趣小组，

假设4个小组为1,2,3,4,对应的4位指导老师依次为/,B,C,D,

/不能在第1小组，有3种情况，假设/分到第2小组，则2有3种情况，剩下的两人有1种情

况，

则其余的4个小组有3X3=9种调整方案，

故有15X9=135种调整方案.

学生用书［第419页

■课时作业

[A组基础保分练]

1.(2024•山西晋中模拟)(%—2)(X—3)(X—4)…(%—15)(%£N，%>15)可表示为

()

仙区B.&*

Da：%

答案：B

解析：(%-2)(%_3)(%_4)---(%-15)

(X_2)(X_3)(X_4)...(X-15)(X-16)...21

(%_16)..,21

(%-2)!(%_2)!14

一(X-16)!-[(x_2)_14]!-4_2•

2.若则加等于()

A.9B.8

C.7D.6

答案：C

w.m（m—l）（m—2）（m—3）

解析：因为4n=6。巾，所以冽（m—1）（m—2）=6X43x2x1，

HLIIL•人x。人4人J.

m_3

即1=T，解得机=7.

3.（2024•福建厦门模拟）将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三

所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有（）

A.240种B.180种

C.150种D.540种

答案：C

解析：5名学生可分成2,2,1和3,1,1两种形式，当5名学生分成2,2,1时，共有七

=90种方法，当5名学生分成3,1,1时，共有C）；=60种方法，根据分类加法计数原理知共有

90+60=150种保送方法.

4.（2024•江苏盐城一模）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大

的偶数共有（）

A.144个B.120个

C.96个D.72个

答案：B

解析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4,5其中1个，末位数字为0,2,4中其中

1个；

分两种情况讨论：

①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，

有4：=24种情况，此时有3X24=72（个），

②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，

有4：=24种情况，此时有2X24=48（个），

共有72+48=120(个).

5.(2024•浙江宁波模拟)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余

5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为

()

A.15B.30

C.35D.42

答案：B

解析：由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有段《种，不含有甲的选法有《种，

共有《《十嬉=30种.

6.(多选)(2024•江苏南京模拟)下列关于排列组合数的等式或说法正确的有()

+----卜*=330

rm4-1

B.已知〃>〃?，则等式詈对任意正整数"，〃?都成立

C.设》=端*仁+*\+摄)，则x的个位数字是6

D.等式C)2+C)2+C)2+…+(C：)2=c£对任意正整数"都成立

答案：ABD

解析：对A:由。：+。小丁=%：1可知，

C/C：+0+…+或=4