中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国用)专题21最值问题中的阿氏圆模型含答案及解析

Page专题21最值问题中的阿氏圆模型【模型展示】特点“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即为“PA+PB”之和最短问题，用“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。当k取不为1的正数时，再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类：点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知r=kOB，连接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题中“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找到线段比为k的情况连接AC，与圆O的交点即为点P将图2中△BPO单独提取出，如图4，△PCO∽△BPO（母子型相似模型）（构造出△PCO∽△BPO，就可以得到OC/OP=OP/OB，进而推出OP²=OB·OC，即“半径的平方＝原有线段×构造线段”，确定C的位置后，连接AC，求出AC的长度“阿氏圆”即可破解）结论“PA+k·PB”型的最值【题型演练】一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（

）A．7 B．5 C． D．二、填空题2．如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________．3．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．4．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．5．【新知探究】新定义：平面内两定点A,B，所有满足k(k为定值)的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC中，CB4，AB2AC，则△ABC面积的最大值为_____．6．如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.三、解答题9．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．10．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值．11．如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．12．婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形（2）如图1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．13．阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆．下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：过点作交的延长线于点．∴，．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．∴．如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，……任务：（1）判断是否平分，并说明理由；（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；（3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________．14．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．15．如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．连接PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？16．问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．17．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．18．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为，当时，求的值；（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．19．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在上取点，使得；第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分)：解：在上取点，使得，又.任务：将以上解答过程补充完整.如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值.20．数学概念如图①，AE是△ABC的角平分线，D是直线BC上一点，如果点D满足DA＝DE，那么点D叫做△ABC的边BC上的“阿氏点”．概念理解（1）在图②中，利用直尺和圆规作△ABC的边BC上的“阿氏点”，用字母D表示（不写作法，保留作图痕迹）；性质探究（2）在（1）中，求证：△DAB∽△DCA；知识运用（3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点E，以D为圆心，DA为半径的圆恰好经过点C，且与BD交于点F．①求证：点D是△ABE的边BE上的“阿氏点”；②若BE，DE＝2，AE＝3，则⊙D和⊙O的半径长分别为，．Page专题21最值问题中的阿氏圆模型【模型展示】特点“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即为“PA+PB”之和最短问题，用“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。当k取不为1的正数时，再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类：点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知r=kOB，连接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题中“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找到线段比为k的情况连接AC，与圆O的交点即为点P将图2中△BPO单独提取出，如图4，△PCO∽△BPO（母子型相似模型）（构造出△PCO∽△BPO，就可以得到OC/OP=OP/OB，进而推出OP²=OB·OC，即“半径的平方＝原有线段×构造线段”，确定C的位置后，连接AC，求出AC的长度“阿氏圆”即可破解）结论“PA+k·PB”型的最值【题型演练】一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（

）A．7 B．5 C． D．【答案】B【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．二、填空题2．如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________．【答案】【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值．【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），而AD，∴PA+PD的最小值为，即PA的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质．3．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．【答案】【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得．【详解】如图，连接，在上取一点，使得，，在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，四边形是正方形在中，故答案为：．【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键．4．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答．【详解】解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．5．【新知探究】新定义：平面内两定点A,B，所有满足k(k为定值)的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC中，CB4，AB2AC，则△ABC面积的最大值为_____．【答案】【分析】以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出△APC∽△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论．【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，∵∠APC=∠BPA，AB2AC∴△APC∽△BPA，∴∴BP=2AP，CP=AP∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即点P为定点∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面积的最大值为故答案为：．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键．6．如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．【答案】．【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT•AB，∴＝，∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．【答案】5【详解】分析:由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5．详解:在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵，，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5．故答案为5点睛:本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.【答案】【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值．【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4∵AC=9，CD=6，CE=4∴∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴∴ED=在△EDB中，ED+DB≥EB∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB∴在Rt△ECB中，EB=∴∴2AD+3DB=故答案为：．【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD．三、解答题9．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．【答案】①；②；③；④．【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可；②由，即可求出结果；③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可；④由，即可求出结果．【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．∵在中，．∴的最小值为；②∵，∴的最小值为；③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．∵在中，．∴的最小值为；④∵，∴的最小值为．【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．10．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值．【答案】（1）见解析；（2）或；（3）【分析】（1）利用SAS，即可证明△FCA≌△DCB；（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解；（3）取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，可证得△DCM∽△ACD，可得DM＝AD，从而得到当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）；（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝；②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝，综上所述，BD＋AD的值或；（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．11．如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．【答案】【分析】连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．由题意易证，即得出，从而得出，由此可知当P、D、E三点共线时，最小，最小值为DE的长，最后在中利用勾股定理求出DE的长即可．【详解】如图，连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．∵C是OA的中点，∴．∴在△OPC和△OEP中，，∴，∴，即，∴，.∴当P、D、E三点共线时，最小，最小值即为DE的长，如图，在中，，∴的最小值为．【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识．正确作出辅助线并理解当P、D、E三点共线时，最小，最小值为DE的长是解答本题的关键．12．婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形（2）如图1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．【答案】（1）③；（2）3；（3）①见解析；②【分析】（1）根本圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等可得∠ABC=∠ADC=90°，从而可证明四边形ABCD为矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可判断；（2）根据垂径定理和圆周角定理可得AD=DE，∠DEB=∠DEC=90°，设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△DEC中解直角三角形即可；（3）①根据圆周角定理即可得出，从而可得∠CED=90°，继而证明结论；②作OM，ON分别垂直与AD，BC，证明△OAM≌△BON，设，则，，，在Rt△BON中，根据勾股定理和二次函数的性质即可得出半径的最小值．【详解】解：（1）如下图，∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形，∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD为正方形，故答案为：③；（2）∵∠BAC=90°，AB=6，，∴，,BD为直径，∴∠BED=∠DEC=90°，∵四边形ABED是“婆氏四边形”，∴AE⊥BD，∴AD=DE，AB=BE=6，设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△EDC中，根据勾股定理,,即，解得，即DE=3；（3）①设AC，BD相交于点E如图所示∵，，∠BOC+∠AOD=180°，∴，∴∠CED=90°，即AC⊥BD，又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴四边形ABCD是“婆氏四边形”；②如下图，作OM，ON分别垂直与AD，BC，∴，，∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∵OA=OB=OC=OD，∴,，∵∠BOC+∠AOD=180°，∴，∴，在△OAM和△BON中∵∴△OAM≌△BON（AAS），∴，∵AD+BC=4设，则，，，在Rt△BON中，，当时，取得最小值，即⊙O半径的最小值为．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、正方形的判定定理、二次函数的性质等．（1）中能正确证明出四边形的一个角是90°是解题关键；（2）中能正确表示出Rt△EDC的三个边是解题关键；（3）中①正确利用圆周角定理是解题关键；②正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．13．阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆．下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：过点作交的延长线于点．∴，．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．∴．如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，……任务：（1）判断是否平分，并说明理由；（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；（3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________．【答案】（1）平分．理由见解析；（2）点的运动轨迹是以为直径的圆，见解析；（3）【分析】（1）利用相似三角形的判定及性质仿照图1的证明即可得证；（2）根据90°的圆周角所对的弦是直径即可证得点的运动轨迹是以为直径的圆；（3）结合题目所给的材料分别求得AB的内分点和外分点的坐标，进而可求得点所在圆的圆心坐标．【详解】解：（1）平分．理由如下：∵，，∴．∴．∴．∵，∴，．∴，即平分．（2）∵，，且，∴．∴为直径．∴点的运动轨迹是以为直径的圆．（3）∵，，∴AB＝3，且AO＝2OB，∵，∴点O为AB的内分点，当点C为AB的外分点时，CA＝2CB，∴CB＝AB＝3，∴OC＝OB+BC＝4，∴点C的坐标为（4，0），∴点所在圆的圆心坐标为（2，0）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．14．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根据点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．待定系数法求二次函数解析式即可，（2）先求得直线解析式，设，则，过点作轴交直线于点，根据等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐标，（3）在上取，过点作，构造，则当三点共线时，取得最小值，最小值为，勾股定理解直角三形即可．（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线，∴，，解得，抛物线解析式为：，（2）当，即，解得，，，设直线解析式为，，解得，直线解析式为，设，过点作轴交直线于点，则，，四边形的面积为16，，解得，或，（3）如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，是抛物线的对称轴，，，，，，，在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则，，，，，，，，，当三点共线时，取得最小值，最小值为，．则的最小值为．【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．15．如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．连接PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？【答案】见解析【详解】1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；2：计算连接线段OP、OB长度；3：计算两线段长度的比值；4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似：5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA＋K*PB的最小值．本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图2）在线段OB上截取OC使OC＝k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB＝PC．∴本题求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图3），时AC线段长即所求最小值．16．问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）13．【分析】（1）根据题意可知最小值为AD长度，利用勾股定理即可求出AD长度．（2）连接CP，在CA上取一点D，使，即可证明∽，得到，即，所以的最小值为BD长度，利用勾股定理即可求出BD长度．（3）延长OC到E，使，连接PE，OP，即可证明∽，得到，即，所以的最小值为BE长度，利用勾股定理即可求出BE长度．【详解】（1）根据题意可知，当A、P、D三点共线时，最小，最小值．故答案为：．（2）连接CP，在CA上取一点D，使，则有，∵，∴∽，得，∴，故，仅当B、P、D三点共线时，的最小值．（3）延长OC到E，使，连接PE，OP，则，∵，∴∽，∴，∴，∴，仅当E、P、B三点共线时，，即的最小值为13．【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据阅读材料的思路构造出∽和∽是解题的关键．本题较难．17．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣6x+5，B（5，0）；（2）当M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）PC+PA的最小值为，理由详见解析.【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值．（3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得等于相似比，进而得PD＝AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．【详解】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1∴A（1，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点∴

解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴∴PD＝AP∴PC+PA＝PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+PA的最小值为【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判断与性质.18．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为，当时，求的值；（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．【答案】（1）yx2x﹣3；（2）；（3）．【分析】对于（1），结合已知先求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；对于（2），在Rt△OAC中，利用三角函数的知识求出∠OAC的度数，再利用角平分线的定义求出∠OAD的度数，进而得到点D的坐标；接下来求出直线AD的解析式，表示出点P，H，F的坐标，再利用两点间的距离公式可完成解答；对于（3），首先求出⊙H的半径，在HA上取一点K，使得HK=14，此时K（-，）；然后由HQ2=HK·HA，得到△QHK∽△AHQ，再利用相似三角形的性质求出KQ=AQ，进而可得当E、Q、K共线时，AQ+EQ的值最小，据此解答.【详解】（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴抛物线的解析式为yx2x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为yx﹣1，由题意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0）．∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）解得m或（舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为．（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.19．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上