2023版人教版初中数学同步讲义练习8年级下册第十七章 勾股定理 专题17.1 勾股定理 （教师版）

2023版人教版初中数学同步讲义练习八年级下册

专题17.1勾股定理1、掌握勾股定理的用途：已知直角三角形的两边求第三边及已知直角三角形的一边，求另外两边的关系；2、能够运用勾股定理解决简单的实际问题；3、掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理解决弦图等相关问题；4、熟练掌握重要的数学思想：方程思想。知识点01勾股定理【知识点】勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。注意：1）仅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理则需要有直角三角形或通过辅助线构造直角三角形）；2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，只有c是斜边时才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式。3）利用勾股定理，若无法直接找出其中的两条边，则可设定一条边长为未知数，根据题目已知的条件能表示其他的边（可以是设定的未知数表示，也可以是具体的数字），再建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.【知识拓展1】勾股定理中的面积问题例1．（2022·广东湛江·八年级期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．【详解】解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，∴24-S正方形C=6+10，∴S正方形C=8．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【即学即练】1．（2022·贵州铜仁·八年级期中）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．【答案】

12；

s1+s2=s3【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三角形面积公式与勾股定理，得到S1，S2，S3三者之间的关系，完成解答．【详解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S1，S2，S3，∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理．2．（2022·广东珠海·八年级期末）如图为直角三角形，斜边，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据勾股定理得出，再根据圆的面积公式表示出，整理解得得出答案．【详解】解：∵为直角三角形，斜边，∴，∴故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容．【知识拓展2】勾股树例2．（2022·河南八年级期末）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“”（n≥3），依此规律即可得出结论．【详解】解：在图中标上字母，如图所示．∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形，∴，，∴．观察，发现规律：，，，S，…，∴．当时，，故选：A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律“”，解决该题目时，写出部分的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．【即学即练】1．（2022·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（）A．12 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，；图（4）比图（3）多出16个正方形，；图（5）比图（4）多出32个正方形，；照此规律，图（n）比图（n-1）多出正方形的个数为：故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：；故答案为：C．【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．2．（2022·广东揭阳·八年级期末）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第个图中所有等腰直角三角形的面积和为（）A． B． C． D．32【答案】A【分析】根据勾股定理求出等腰直角三角形直角边的长，求出每个图形中等腰三角形面积和，发现规律进而求出即可．【详解】解：在图①中，正方形的边长为4，∴等腰直角三角形①的直角边长为：∴等腰直角三角形①的面积=在图②中，最大的正方形的边长是4，最大的等腰直角三角形①的直角边长是故可得等腰直角三角形②和③的直角边长都是2∴如图③，同理可求等腰直角三角形④⑤⑥⑦的直角边长均为∴====由此可得规律：第n个图形中，所有等腰直角三角形的面积和为4n，故选A．【点睛】此题主要考查了运用勾股定理求等腰直角三角形直角边的长，解题的关键是求出每个图形中等腰直角三角形面积和．【知识拓展3】勾股定理的方程思想与分类讨论思想例3．（2022·陕西·西安八年级阶段练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设，则，由勾股定理得：在中，，在中，，由题意可知：，所以：，解得：．所以，应建在距点处．故选：．【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【即学即练】1.（2022·江苏八年级期末）如图，等腰中，，，于，且．则__________．【答案】【分析】在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD，再设AD=x，则AB=AC=AD+CD=6+x，最后在Rt△ABD中由勾股定理求出x即可求解．【详解】解：在Rt△BCD中，由勾股定理可知，设AD=x，则AB=AC=AD+CD=x+6，在Rt△ABD中，由勾股定理可知AB²=AD²+BD²，代入数据：(x+6)²=x²+8²，解得x=，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，本题的关键是设AD=x，进而将AB用x的代数式表示，在Rt△ABD中使用勾股定理求出x求解．2.（2022·山东八年级期中）中，，高，则BC的长为（）A．14 B．14或4 C．4 D．无法确定【答案】B【分析】根据题意画出图形，分两种情况讨论，再分别在中，利用勾股定理解得CD的长，在中，利用勾股定理解得BD的长，最后计算线段的和差解题．【详解】解：分两种情况讨论：若是钝角三角形，如图，是的高，在中，，在中，，；若是锐角三角形，如图，是的高，在中，，在中，，；故BC为：14或4，故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理并分情况讨论是解题的关键.【知识拓展4】勾股定理中的折叠（翻折）问题解题步骤：（1）找：找痕，折痕前后的图形；（2）设：设未知数，尽可能表达所需线段；（3）列：根据勾股定理列方程。例4．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为____．【答案】【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、GE=GB可得出△GEF≌△GBP，根据全等三角形的性质可得出GF=GP、EF=BP，设BF=EP=CP=x，则AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，在Rt△ADF中，依据AF2+AD2=DF2，可得到x的值．【详解】解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△GEF和△GBP中，，∴△OEF≌△OBP（ASA），∴EF=BP，GF=GP，∴BF=EP=CP，设BF=EP=CP=x，则AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，∵∠A=90°，∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，∴（4-x）2+32=（1+x）2，∴x=，∴CP=，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．【即学即练】1．（2022·贵州遵义·八年级期末）在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】由折叠的性质可得AE＝DE，则DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出BE即可．【详解】解：由折叠的性质可得AE＝DE，∵，，，点是边的中点，∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，解得：BE＝，故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理得出关于BE的方程是解题的关键．2．（2022·安徽·合肥市八年级期中）如图，在中，，，．将折叠，使点B恰好落在边AC上．与点重合，AE为折痕，则的长为（

）A．12 B．25 C．20 D．15【答案】D【分析】由勾股定理可求出AC，再由折叠的性质可知，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程即可求解．【详解】解：∵在中，，，，，∵折叠，点B与点重合，，，，，设，则，又，在中，，即，解得：，．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理列方程是解题的关键．【知识拓展5】勾股定理的实际应用例5．（2022·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽．【答案】（1）2.5米；（2）2.7米【分析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB的长度，（2）由（1）知梯子AB的长度，利用勾股定理求出BD的长，即可得到答案.【详解】（1）在中，∵，米，米，∴．∴（米）．答：梯子的长是2.5米（2）在中，∵，米，，∴，∴．∵，∴米．∴米．答：小巷的宽度为2.7米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．【即学即练】1．（2021·江西八年级期末）如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB＝20米，CA⊥AB且CA＝12米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD＝12米．（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD的长度．【答案】（1）△ACD是等腰直角三角形，理由见解析；（2）船体移动距离BD的长度为4米【分析】（1）直接利用勾股定理得出AD的长，进而得出△ACD的形状；（2）利用勾股定理得出AB的长，进而得出BD的长．【详解】解：（1）由题意可得：AC=12m，m，∠CAD=90°，∴∴∴△ACD是等腰直角三角形；（2）∵AC=12m，BC=20m，∠CAD=90°，∴，∴BD=AB-AD=4m．答：船体移动距离BD的长度为4米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．2．（2022·河南八年级期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺．【答案】14.5【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论．【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，在Rt△OCP′中，由勾股定理得：（x-4）²+10²=x²，解得：x=14.5，故答案为：14.5．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理建立方程是解题的关键．3．（2022·云南广南·八年级期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．【答案】3米【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x米，则斜边为（8x）米．利用勾股定理解题即可．【详解】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（）米，∴在Rt△CBA中，有，即：，解得：，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．4．（2022·贵州六盘水·八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A，B的距离分别为：，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．（1）请计算说明海港C会受到台风的影响；（2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）计算见解析；（2）台风影响该海港持续的时间为7小时【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【详解】解：（1）如图，过点C作于点D∵∴∴是直角三角形∴∴∴∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域∴海港C会受台风影响；（2）当时，台风在上运动期间会影响海港C在中在中∴∵台风的速度为20千米/小时∴（小时）答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．知识点02勾股定理的验证【知识点】据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的“勾股圆方图”（即赵爽弦图）的证法。方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.（赵爽的证法）图（1）中，所以.图（1）图（2）方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.（毕达哥拉斯的证法）图（2）中，所以.注意：赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已。【知识拓展1】勾股定理的证明与应用例1．（2022·河南初二期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．【答案】证明见解析．【分析】根据即可得证．【解析】如图，过点D作，交BC延长线于点F，连接BD，则，由全等三角形的性质得：，，，，即，整理得：．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握“面积法”是解题关键．【即学即练1】1．（2022·行唐县八年级月考）勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一．中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦为边长所得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成的，其中，．（1）请利用面积相等证明勾股定理；（2）在图1中，若大正方形的面积是13，，求小正方形的面积；（3）图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，求边的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）4【分析】（1）根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证明可得结论；（2）由勾股定理可得AF的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形的面积；（3）分别求出正方形，正方形，正方形的边长，求出其面积，代入，进一步整理可得解．【详解】解：（1）∵∴，∴小正方形的边长=又大正方形的边长为∴正方形的面积为，4个全等直角三角形的面积和为，正方形的面积为，由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得;∴经过整理可得（2）∵大正方形的面积是13，∴∵，且∴∴(负值舍去)∴∴小正方形的面积为1；（3）∵正方形由八个全等的直角三角形和正方形拼接而成，∴，，∴正方形的边长为，∴正方形的面积为．而正方形的边长为，正方形的边长为，∴正方形的面积为，正方形的面积为，∴，整理得，，∴（负值舍去）【点睛】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键．【知识拓展2】例2．（2022·河北初二期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】观察图形可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理即可得到大正方形的边长，从而得到①正确，根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=大正方形的面积-小正方形的面积，从而得到③正确，根据①③可得②正确，④错误.【解析】解：∵直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，∴斜边的平方=a2+b2，由图知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，∴大正方形的面积=斜边的平方=a2+b2，即a2+b2=49，故①正确；根据题意得4个直角三角形的面积=4××ab=2ab，4个直角三角形的面积=S大正方形-S小正方形=49-4=45，即2ab=45，故③正确；由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94，∴a+b≠9，故④错误，由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正确．故选A．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，完全平方公式的运用等知识．熟练运用勾股定理是解题的关键．【即学即练2】1．（2022·福建·厦门一中八年级期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且，由题意可知：，，，因为，即，，所以，的值是．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．2．（2022.成都市八年级期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________．【答案】16【分析】先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP=S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE=x，BE=8-x，根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+（8-x）2=48，则2x2-16x=-16，整体代入可得结论．【详解】解：∵正方形ABCD的面积为48，∴AB2=48，设AE=x，∵AE+BE=8，∴BE=8-x，Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，∴x2+（8-x）2=48，∴2x2-16x=-16，∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，∴∠EAP=∠GCM，∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，∴△AEB≌△CGD，∴AE=CG，∴△AEP≌△CGM（ASA），∴S△AEP=S△CGM，EP=MG，∴S△CFP-S△AEP=S△CFP-S△CGM=S梯形FPMG=（MG+PF）•FG=EF•FG=S正方形EHGF，∵S矩形EHGF=S正方形ABCD-4S△AEB=48-4×x（8−x）=2x2-16x+48=-16+48=32，则S△CFP-S△AEP的值是16；故答案为：16．【点睛】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．题组A基础过关练1．（2022·山西九年级期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想【答案】C【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，故选：C．【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．2．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（）．A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m【答案】D【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．【详解】解：在Rt△ABC中，AB==2.5m，∴A′B=2.5m，在Rt△A′BD中，BD==2m，∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．3．（2022·浙江·乐清八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．【详解】解：连接AC，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．4．（2022·吉林珲春·八年级期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b（b>a），则（a+b）2的值为（）．A．24 B．25 C．49 D．13【答案】C【分析】根据勾股定理，可得，再由四个全等的直角三角形的面积之和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，可得，然后利用完全平方公式，即可求解．【详解】解：根据题意得：，四个全等的直角三角形的面积之和为，∴，即，∴．故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的应用，勾股定理，完全平方公式是解题的关键．5．（2022·广东清新·八年级期中）如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】根据题意可得＝S正方形DEFA－，代入求解即可．【详解】如图所示，∵大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，∴由题意可得，＝S正方形DEFA－故选：B．【点睛】此题考查了割补法求三角形面积，解题的关键是根据题意正确得到＝S正方形DEFA－．6．（2022·江苏泗阳·八年级期中）勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用面积与恒等式，②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理；③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即可求解．【详解】解：根据题意得：②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理；③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和，即，整理得：，可以证得勾股定理；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即，整理得：，可以证得勾股定理；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即，整理得：，可以证得勾股定理；所以可以证明勾股定理的图形有③④⑤，共3个．故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形，正方形的面积的不同求法是解题的关键．7．（2022·湖南·武冈市第二中学八年级阶段练习）在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝_____．【答案】18【分析】根据勾股定理可得a2+b2＝c2，那么a2+b2+c2＝2c2，将c＝3代入计算即可求解．【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2，∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2，∵c＝3，∴a2+b2+c2＝2×32＝18．故答案为：18．【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理，整体代入求值．8．（2022·湖南八年级期末）如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形面积公式解答即可．【详解】证明：（1）∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，∴BC2＝BD2+CD2，∴△BDC为直角三角形；（2）设AB＝xcm，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝xcm，∵△BDC为直角三角形，∴△ADC也为直角三角形，∴AD2+CD2＝AC2，∴x2＝（x﹣5）2+122，解得：，∴．【点睛】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答．9．（2022·江苏南通·八年级阶段练习）学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为8米（如图2）．(1)设AB长为x米，绳子为米，AE为米（用x的代数式表示）；(2)请你求出旗杆的高度AB．【答案】(1)x＋1，x－1(2)旗杆的高度AB是16米【分析】（1）根据图形标出的长度，可以知道AB和AC的长度差值是1，则绳长AC=x+1，由CD=BE=1可得AE=AB-BE=x-1；（2）由AC=x+1，AE=x-1；以及CE＝8，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出旗杆的高度．(1)解：设AB长为x米，则绳子长为（x＋1）米，AE的长度为（x−1）米．故答案是：（x＋1）；（x−1）；(2)解：在Rt△ACE中，AC＝（x＋1）米，AE＝（x−1）米，CE＝8米，由勾股定理可得，（x−1）2＋82＝（x＋1）2，解得：x＝16．答：旗杆的高度为16米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，表示出AE与AC长度利用勾股定理求出，善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．题组B能力提升练1．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示）【答案】【分析】根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积，由勾股定理得到，代入即可求解．【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积，∵在中，，，，，∴，∴阴影部分的面积等于．故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得到阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积是解题的关键．2．（2022·浙江·杭州八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由正方形面积和三角形面积得S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，再由勾股定理得a2﹣b2＝c2，则c2＝16，求出c＝4，后求出b＝2，则a2＝b2+c2＝20，即可求解．【详解】解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，∵S1＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ，S2＝S正方形ACHI﹣S△ACJ，∴S1﹣S2＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ﹣S正方形ACHI+S△ACJ＝S正方形BCFG﹣4﹣S正方形ACHI＝12，∴S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴a2﹣b2＝c2，∴c2＝16，∴c＝4（负值已舍去），∴S△ABC＝bc＝2b＝4，∴b＝2，∴a2＝b2+c2＝16+22＝20，∴正方形BCFG的面积为20，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，设参数表示三角形的边长，根据已知条件求得a2﹣b2＝16是解题的关键．3．（2022·杭州市建兰中学初三月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（）A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8【答案】D【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，，再根据三个正方形面积公式列式相加：，求出的值，从而可以计算结论即可．【解析】解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，，，，，，，，，，，故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键．4．（2023·广西八年级期末）如图，ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，则CD的长是______．【答案】【分析】过点作于，根据角平分线的性质和已知条件分别求得，再根据三角形面积公式求得，进而求得．【详解】过点作于，AD平分∠BAC，，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，，，，，，，，，即，．故答案为．【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键．5．（2022·沭阳县八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．【答案】【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．【详解】解：∵是的中点，，，∴，由折叠的性质知：，设，则，在中，根据勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案为：【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．6．（2022·广州市八年级期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．【答案】8012【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．【详解】解：作于，，m，m，即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，，，在中，m，m，重型运输卡车的速度为36千米时米秒，重型运输卡车经过的时间（秒，故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．7．（2022·四川八年级期末）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．【详解】解：在中，，（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，由折叠得：，，设，则，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）当时，如图2，此时点与点重合，由折叠得：，则，设，则，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．8．（2022·甘肃庆阳八年级期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得米，．这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每秒22米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）．【答案】此车超速了，理由见解析．【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得米，再根据直角三角形的性质、勾股定理可得的长，然后根据线段的和差可得AB的长，最后求出速度即可得．【详解】米，，是等腰直角三角形，米，在中，，，米，米，（米），此车从处行驶到处的速度为（米/秒），，此车超速了．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质、勾股定理是解题关键．9．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个．(3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______．【答案】(1)(2)3(3)7.5【分析】（1）梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：；（2）根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足的有3个；（3）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：，进而求解．(1)解：四边形ABED的面积可以表示为：，也可以表示为，所以，整理得；(2)设直角三角形的三条边按照从小到大分别为a，b，c，则，图③，∵，∴，图④，∵∴，图⑤，∵∴，故答案为：3．(3)∵，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是掌握勾股定理．题组C培优拔尖练1．（2022·广东福田·八年级期末）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，，则的长为（）A．1.8 B．2 C．2.3 D．【答案】B【分析】连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【详解】解：连接BM，MB′，设AM=x，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，∵折叠，∴MB=MB′，∴AB2+AM2=MD2+DB′2，即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，解得x=2，即AM=2，故选：B．【点睛】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．2．（2022·浙江·温州市第十二中学八年级期中）如图1，我国汉代赵爽在注解《周牌算经》时给出四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，人们称它为“赵爽弦图”如图2，连结，，，，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则________；如图3，连结，相交于点，与相交于点．若，则________．【答案】

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##【分析】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为，分别表示出，根据即可求解，根据，以及等腰三角形的性质，求得，得出，根据即可求解．【详解】设直角三角形较短直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为，，，，，，，，，四边形是正方形，，，，，，，，，，．故答案为：，．【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，设参数求解是解题的关键．3．（2022·江苏八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝_____．【答案】2.5【分析】分别交、于点、点；设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．【详解】如图，分别交、于点、点∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，∵∴∵，，∴∴故答案为：2.5．【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完