北京市2021届高三数学高考一模试题分类汇编-统计与概率 (含详解)

2020-2021北京高三一模分类

统计与概率

【计算原理、二项式定理】

L（2021•北京石景山•一模）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.

如22,121,3443等.那么在四位数中，回文数共有（）

A.81个B.90个C.100个D.900个

2.（2021•北京门头沟•一模）二项式-21展开式中，广的系数是（）

A.40B.10C.-40D.-10

3.（2021•北京大兴•一模）在（x-五的展开式中，r的系数为（)

A.6B.12C.24D.48

4.（2021•北京平谷•一模）卜+|）的展开式中/的系数是（

)

A.28B.56C.112D.256

（・北京怀柔一模）在（）的展开式中，的系数为（

5.2021•2x75V)

A.20B.-20C.-40D.40

6.（2021•北京西城•一模）在］的展开式中，常数项为（

)

A.15B.-15C.30D.-30

7.（2021•北京海淀•一模）在1-三）的展开式中，广的系数为12,则"的值为（）

A.2B.-2C.1D.-1

52345

8.（2021•北京通州•一模）已知（2+x）=a0+a}x+a2x+a3x+a4x+a5x，则。3=（）

A.10B.20C.40D.80

9.（2021•北京东城•一模）（1-6）5的展开式中，/的系数为.（用数字作答）

10.（2021•北京房山•一模）的展开式的常数项是（用数字作答）.

11.（2021•北京丰台•一模）在卜+的展开式中常数项为（用数字作答）.

12.（2021•北京朝阳•一模）在的展开式中，/的系数为.（用数字作答）

【统计及数据特征分析】

13.（2021♦北京东城•一模）某中学高一、高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的

方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年

级的人数为（）

年级人数

高一550

高二500

高三450

合计1500

A.18B.22C.40D.60

14.（2021•北京房山•一模）“十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均

收入持续增长.下面散点图反映了2016-2020年我国居民人均可支配收入（单位:元）情况.

根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（）

试卷第2页，共50页

2016・2020我国居民人均可支配收入统计图

A.2016.2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元

B.2017.2020年，全国居民人均可支配收入均逐年增加

C.根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元

D.根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入一定大于30000元

15.（2021•北京平谷•一模）从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里

快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016

年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）.

根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是—

①2015年这一年,高铁运营里程数超过0・5万公里；

②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长

率；

③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；

④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增;

20092010201120122013201420152016

年份

16.（2021•北京海淀•一模）对平面直角坐标系工。＞，中的两组点，如果存在一条直线

or+hy+c=0使这两组点分别位于该直线的两侧,则称该直线为“分类直线”,对于一条分

类直线/,记所有的点到/的距离的最小值为4,约定：4越大，分类直线/的分类效果

越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用”单位：百元）和网

购图书的费用）'（单位：百元）的情况如图所示，现将4，P2tA和E为第I组点.将2,

和a归为第n点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L.

给出下列四个结论：

①直线A=2.5比直线3x-y-5=0的分类效果好；

②分类直线/,的斜率为2；

③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元,则小明的这两项网购

花销的费用所对应的点与第II组点位于L的同侧；

④如果从第I组点中去掉点6,第H组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L.

其中所有正确结论的序号是.

试卷第4页，共50页

［概率-离散型分布列及数学期望］

17.（2021•北京平谷•一模）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高,

某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中

随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：

老年人中年人青年人

满意度

酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶鲜奶

满意100120120100150120

不满意503030505080

（1）从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率;

（2）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人

对生产的鲜奶质量满意的概率；

（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1,使得

整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）.

18.（2021•北京门头沟•一模）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，

为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生

中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：

[90,

分数段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

100]

人数1228331

我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以

下为良好；80分及以上为优秀.

（I）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？

（H）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2

人中优秀人数，求X的分布列与期望.

试卷第6页，共50页

19.(2021•北京丰台•一模)某电影制片厂从20n年至2020年生产的科教影片、动画影

片、纪录影片的时长(单位：分钟)如图所示.

(1)从20n年至2020年中任选一年,求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率;

(2)从20n年至2020年中任选两年，设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影

片时长的年数，求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为

22

V，52,53,试比较的大小.(只需写出结论)

20.（2021•北京怀柔•一模）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流

水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：

分组区间（单位：克）(490,4951(495,500](500,5051(505,510](510,5151

产品件数34751

包装质量在（495,510］克的产品为一等品，其余为二等品

（1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；

（2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列;

（3）从该流水线上任取2件产品，设丫为一等品的产品数量，求丫的分布列；试比较

期望EX与则望EY的大小.（结论不要求证明）

试卷第8页，共50页

21.(2021•北京朝阳•一模)我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全

部脱贫，消除了绝对贫困.为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对4B

两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据

如下表：

A地区〃地区

2019年人均年纯收入超过10000元100户150户

2019年人均年纯收入未超过10000元200户50户

假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立.

(1)从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超

适10000元的概率；

(2)在样本中，分别从4地区和8地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为

这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望;

(3)从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人

均年纯收入都超过10000元.根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯

收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由.

22.（2021•北京西城•一模）天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮.视

星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度;绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年

的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领.下表列出了（除太阳外）视星等

数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中ae[0,L3].

五南

星天狼老人南门大角织女参宿水委参宿

车河

名星星星七四

视

-0.040.0

星-1.47-0.72-0.270.030.120.380.46a

8

等

绝

时-0.38-6.98-5.85

1.42-5.534.40.60.12.67-2.78

星

等

赤-16.7°-52.7°-60.8°38.8。5.2°-57.2°

19.2°46°-8.2°7.4°

纬

（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率;

（2）已知北京的纬度是北纬40。，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于-50。时，能在

北京的夜空中看到它.现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看

到的数量为X颗，求X的分布列和数学期望；

（3）记〃=0时10颗恒星的视星等的方差为记〃=1.3时10颗恒星的视星等的方差

为s1判断s；与s；之间的大小关系.（结论不需要证明）

试卷第10页，共50页

23.（2021•北京石景山•一模）某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式

的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式

下的日营业额（单位：万元）迸行调查.调查结果如下：

门店

门店1门店2门店3门店4门店5门店6门店7

8

线下

96.5199.514.516.520.512.5

日营业额

线上

11.591217192321.515

日营业额

若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的

日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标.若某门店的日营

业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的

日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标.（各门店的营业额之间互不影

响）

（1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概

率；

（2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额

达标的门店个数.以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标

的概率，求X的分布列和数学期望；

（3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为从和外，线下日营业额和线

上日营业额的样本方差分别记为S；和S）试判断从和〃2的大小，以及S；和S；的大

小.（结论不要求证明）

24.(2021•北京通州•一模)我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11

分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升

器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天

事业具有重大而深远的影响.某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查

问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学

生测试的评分数据按照[30,40),[40,50),[50,60),[60,70)00,80),[80,90),[90,100]分组，绘

制成评分频率分布宜方图，如下：

(1)从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽

取的学生人数；

(2)在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使,

记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X,求X的分布列和数学期望；

(3)观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值。和评分的中位数力的大

小关系.(直接写出结论)

试卷第12页，共50页

25.（2021•北京东城•一模）小明同学两次测试成绩（满分100分）如下表所示:

语文数学英语物理化学生物

第一次879291928593

第二次829495889487

（1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；

（2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记牙为抽取的2

科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望E（X）；

（3）现有另一名同学两次测试成绩（满分100分）及相关统计信息如下表所示：

语文数学英语物理化学生物6科成绩均值6科成绩方差

第一次qa2%%%*D、

第二次b2b*4dx2D.

将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为2.有一种

观点认为：若用=在。＜。2,则。春22.你认为这种观点是否正确？（只写“正确”或

“不正确”）

26.（2021•北京海淀•一模）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，

又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机

抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：

小时），并将样本数据分成©2],（2,4],（4,6],（6,8],（8JOJ,（10,12],（12,14],（14,16],

。618]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

6

05

O.04

O.03

O.02

O.001

（1）求”的值；

（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，

从日平均阅读时间在（12,14],（14,16],（16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法

抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在（14,16]内的学生人数

为X,求X的分布列；

（3）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用

“七（口”表示这20名学生中恰有A名学生日平均阅读时间在（10/2]（单位：小时）内的概

率，其中"=0,1,2,…,20.当/（士）最大时，写出k的值.（只需写出结论）

试卷第14页，共50页

27.（2021•北京房山•一模）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决

赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根

据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成

绩.现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表:

运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩

分站

第1次第2次第3次第1次第2次第3次

第1站80.2086.2084.0380.1188.400

第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60

第3站79.10087.5089.1075.3687.10

第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01

第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70

假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立.

（1）从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概

率；

（2）从上表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，

求X的分布列和数学期望；

（3）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根

据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由.

（注：方差/=：［■一X）…-x）］，其中X为1I，…，%的平均

数）

2020-2021北京高三一模分类

统计与概率-解析

【计算原理、二项式定理】

L(2021•北京石景山•一模)“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.

如22,121,3443等.那么在四位数中，回文数共有()

A.81个B.90个C.100个D.900个

【答案】B

【分析】

依据题意可知该数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的，简单计算可得结果.

【详解】

由题可知：回文数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的

所以共有：—=90

故选：B

2.(2021•北京门头沟•一模)二项式展开式中，父的系数是()

A.40B.1()C.-40D.-10

【答案】A

【分析】

利用二项式展开式的通项公式可求得结果.

【详解】

二项式卜-：［展开式的通项公式为1=C；(x2)5-r(-j)r=(-2)<"2,

试卷第16页，共50页

r=0,1,2,3,4,5,

令10-3「=4,得r=2,

所以展开式中，44的系数是（-2）2。；=40.

故选：A

3.（2021•北京大兴•一模）在@-啦）“的展开式中，r的系数为（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】B

【分析】

由（■应）,展开式的通项，由r=2得出/的系数.

【详解】

*-V2）4展开式的通项为-[-应）’

由4一一=2,解得/*=2,则/的系数为C：（-75）2=6x2=12

故选：B

4.（2021•北京平谷•一模）（x+||的展开式中Y的系数是（）

A.28B.56C.112D.256

【答案】C

【分析】

由二项展开式的通项公式可得

【详解】

(2)2=28x4=112.

故选：c.

5.（2021•北京怀柔•一模）在的展开式中，/的系数为（）

A.20B.-20C.-40D.40

【答案】C

【分析】

根据二项式展开式的通项求产的系数.

【详解】

由题得（2x7）5的展开式的通项为j=C.2x尸（-1），=C；（T），25f产，.

令5-L2,则『3,所以寸的系数为C^（-l）325-3=-40.

故答案为：C

6.（2021•北京西城•一模）在［一土］的展开式中，常数项为（）

A.15B.-15C.30D.-30

【答案】A

【分析】

根据二项展开式的通项公式直接求解.

【详解】

&=c"d=c;.（T'•尸，

令6-3r=0,得厂=2,

所以常数项是l=C：（T）2=15.

故选：A

试卷第18页，共50页

7.（2021•北京海淀•一模）在卜-的展开式中，/的系数为12,则。的值为（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【分析】

先写出通项公式，即可求出4.

【详解】

卜-雪的展开式的通项为尸品声，（―|）'"婷=（-

VX4的系数为12,

:.当6-2r=4时，解得『I,

有（一1）'/4=12,即・6a=12,解得：a=-2.

故选：B

【点睛】

方法点睛：二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析.

5234

8.（2021•北京通州•模）己知（2+x）-%+a^x+a2x+a3x+a4x+%?,则］%=（）

A.10B.20C.40D.80

【答案】C

【分析】

利用二项式定理求出答案即可.

【详解】

2y5

因为(2+X)，=%+qx+a2x+a3x+a4x*+a5x

所以为=C；22=40

故选：C

9.（2021•北京东城•一模）（1-A）、的展开式中，/的系数为.（用数字作答）

【答案】5

【分析】

利用二项展开式的通项公式可求得结果.

【详解】

（1-五）5的展开式的通项公式为（.I=（一如V=（_1），C；/"r=0J,2,3,4,5,

令?=2,得r=4,

所以Y的系数为（7）4C；=5.

故答案为：5

10.（2021•北京房山•一模）（x-jj的展开式的常数项是（用数字作答）.

【答案】-160

【分析】

先写出二项展开式的通项，由赋值法，即可求出结果.

【详解】

因为卜展开式的第4+1项为如=以―（-2>J=C；（-2）£fN,

令6—24=0,则欠=3,

所以展开式的常数项为C；（-2）3=-160.

故答案为：-160.

试卷第20页，共50页

11.（2021•北京丰台•一模）在［+1］的展开式中常数项为（用数字作答）.

【答案】160

【分析】

写出卜+：）的展开式的通项，即可求得常数项.

【详解】

+的展开式的通项为：

…W月

=C-2.2r

=。＜2），产2"

当6-2厂=0,

解得r=3,

［丫2的展开式中常数项是：cl2=20x8=160.

故答案为：160.

【点睛】

关键点睛：本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是

掌握（。+町’的展开通项公式*=C；/F.

12.（2021,北京朝阳•一模）在h+」丫的展开式中，/的系数为.（用数字作答）

【答案】28

【分析】

根据该二项展开式的通项公式为（+i=C；f，d）'=C"4'，令8-2〃=4,然后计算即

X

可.

【详解】

由题可知：卜+：］的展开式的通项公式为lx=G产一（），=。"82,

令8-2r=4,贝壮二2,

所以/的系数为C：=28,

故答案为：28

【统计及数据特征分析】

13.（2021•北京东城•一模）某中学高一、高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的

方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年

级的人数为（）

年级人数

高一550

高二500

高三450

合计1500

A.18B.22C.40D.60

试卷第22页，共50页

【答案】A

【分析】

根据分层抽样的概念及方法，刻出方程，即可求解.

【详解】

设该样本中高三年级的人数为〃人，

根据分层抽样的概念及方法，可得黑=总，解得〃=18人.

500450

故选：A.

14.（21）21•北京房山•一模）“十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均

收入持续增长.下面散点图反映了2016-2020年我国居民人均可支配收入（单位:元）情况.

根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（）

2016・2020我国居民人均可支配收入统计图

人均可支配收入（元）

35000---------------------------------------------------；--------

30000------------------------------；--------5-----------------

5

25000---------9--------------------------------------------------

20000--------------------------------------------------------------

15000--------------------------------------------------------------

10000--------------------------------------------------------------

5000--------------------------------------------------------------

0-------1----------1----------1----------1----------1----------►

20162017201820192020年份

•人均可支配收入（元）

A.2016・2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元

B.2017.2020年，全国居民人均可支配收入均逐年增加

C.根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元

D.根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入一定大于30000元

【答案】D

【分析】

根据散点图逐•一分析判断即可.

【详解】

A：由散点图可知：2016-2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元，所

以本判断正确：

B：由散点图可知：2017-2020年，全国居民人均可支配收入均逐年增加，所以本判断

正确；

C：根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元，所以本判

断正确；

D：根据图中数据预测，2021年仝国居民人均可支配收入有可能大于30000元，不是一

定大于30000元，所以本判断不正确，

故选：D

15.（2021•北京平谷•一模）从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里

快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016

年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）.

根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是—

①2015年这一年,高铁运营里程数超过0・5万公里；

②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长

率；

③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；

④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；

试卷第24页，共50页

20092010201120122013201420152016

年份

【答案】②③

【分析】

根据数据折线图，分别进行判断即可.

【详解】

①看2014,2015年对应的纵坐标之差小于2-1.5=0.5,故①错误；

②连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故②正确；

③2013年到2014年两点纵坐标之差最大，故③正确；

④看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故④错误；

故答案为：②③.

16.（2021•北京海淀•一模）对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线

ax+by+c=0使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”.对于一条分

类直线/,记所有的点到/的距离的最小值为4,约定：4越大，分类直线/的分类效果

越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用工（单位：百元）和网

购图书的费用）'（单位：百元）的情况如图所示，现将片，G和8为第I组点.将2,

0和2；归为第H点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L.

给出下列四个结论:

①直线x=2.5比直线3x-y-5=0的分类效果好；

②分类直线L的斜率为2；

③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元,则小明的这两项网购

花销的费用所对应的点与第II组点位于L的同侧；

④如果从第I组点中去掉点<,第H组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【分析】

根据分类直线的定义判断.

【详解】

由图象知：4(1.5,2),鸟(1,3),鸟(2,3),《(2,4),Q(3,1),Q?(3,2),Q(4、3),

①当直线x=2.5为分类直线时，4=3-25=0.5,当直线3x-y-5=0为分类直线时

4=|3x2-?|二%所以直线5=0分类效果好，故错误；

V32+l25

②由图知定位L的位置由6(1.5,2),[(2,3),0(3,2)确定，所以直线L过点

试卷第26页，共50页

E（L5,2）,7?Q3）,Q2（3,2）的外心，设直线方程为广&+人则即3+4二5一

J1+/~—+♦

解得2=2,故正确；

③当6到L的距离与Q到L的距离相等时为L的临界值，此时点（3,3）在L的右侧，故

正确；

④去掉点/后，陪^端解得女"故正确;

故答案为：②③④

【点睛】

关键点点睛：本题关键是理解分类直线的定义，如本撅L的位皆由

［（1.5,2）,4（2,3）,。2（3,2）确定.

【概率.离散型分布列及数学期望】

17.（2021•北京平谷•一模）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高,

某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中

随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：

老年人中年人青年人

满意度

酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶衅奶

满意100120120100150120

不满意503030505080

（1）从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；

（2）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人

对生产的鲜奶质量满意的概率;

（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0」，使得

整体对鲜奶的满意度提升最大？(直接写结果).

【答案】⑴:(2)；(3)青年人.

【分析】

(1)用频率估计概率，直接计算；

(2)先分别求出老年人和青年人满意度的概率，然后对“抽取这三人中恰有2人对生产

的鲜奶质量满意''分成一老年人、一青年人满意和两老年人满意讨论，进行计算即可；

(3)直接判断出青年人.

【详解】

解：(I)设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A，总人次为500人，

共抽取了100+120+150=370人次对酸奶满意，所以〃(力=黑=累.

'/50050

(2)由频率估计概率，由已知抽取老年人满意度的概率为〃小)=3,抽取青年人满

O

意度的概率为P(C)='，抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率P(0,

所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为玄.

(3)青年人.

【点睛】

(1)实际问题中一般用频率估计概率；

(2)等可能性事件的概率一般用列举法列举出基本事件,直接套公式求概率.

18.(2021•北京门头沟•一模)第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，

为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生

中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：

试卷第28页，共50页

分数段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1001

人数1228331

我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以

下为良好；80分及以上为优秀.

（I）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？

（II）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2

人中优秀人数，求X的分布列与期望.

【答案】（1）（2）分布列见详解；E（X）=（.

【分析】

（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.

（2）由题意可得x=0,1,2,再利用二项分布的概率计算公式列出分布列，从而求出数

学期望.

【详解】

（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为A,

贝JlP（4）=£_=_L=2_.

',/19095

（2）抽到一名优秀学生的概率为

X的取值为0,1,2,

3。）=呜苜啮

小训=呜'图哈

P（3咫削）V，

故X的分布列为:

X012

1681

P

252525

E（X）=Ox26+1XA+2X±=2

2525255

19.（2021•北京丰台•一模）某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影

片、纪录影片的时长（单位：分钟）如图所示.

（1）从2011年至2020年中任选一年,求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率;

（2）从2011年至2020年中任选两年，设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影

片时长的年数，求X的分布列和数学期望凤X）；

（3）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为

22

5.,52,<,试比较的大小.（只需写出结论）

【答案】（1）|;（2）分布列见解析，|；⑶菜>寸..

【分析】

（1）由统计图表知10年有6年时间动画影片时长大于纪录影片时长，由此可得概率:

试卷第30页，共50页

(2)X的所有可能取值为0.12计算出各概率，可得分布列，由期望公式计算出期望;

(3)根据统计图表中的数据计算出方差后可得.

【详解】

(1)从2011年至2020年中任选一年，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是

2011年，2015年，2017年，2018年，2019年和2020年，共6年.

记从2011年至2020年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件A,

则F=l

(2)X的所有可能取值为0,12

C22

P(X=O)=-f=—

《15

1

P(X=1)=皆r'r8

do15

di

p(X=2)=

党153

所以X的分布列为

X012

282

P百石3

数学期望顼乂)31+以2+2乂；=%

(3)科教影片所记录时长波动较大，方差最大，动画影片、纪录影片的时长需计算出

方差才能确定.

180+150+200+240+320+290+350+260+380+430

=281

10

2(-101)2+(-131)2+(-81)2+(-41)2+392+92+692+(-21)2+992+1492

5,=-------------------------------------------------------------------=7441

10

—100+270+3304-300+240+380+190+130+210+150…

、10

2(-130)2+402+1002+702+102+15O2+(-40)2+(-100)2+(-20)2+(-80)2)

S；=---------------------------------------------------------------------=7d

10

所以s；.

20.（2021•北京怀柔•一模）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流

水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：

分组区间（单位：克）(490,4951(495,500](500,505](505,510](510,5151

产品件数34751

包装质量在（495,510］克的产品为一等品，其余为二等品

（1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；

（2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列;

（3）从该流水线上任取2件产品，设y为一等品的产品数量，求V的分布列；试比较

期望EX与则望EY的大小.（结论不要求证明）

【答案】（1）（2）分布列见解析；（3）分布列见解析，£（r）=E（X）

【分析】

（1）直接利用古典概型的概率公式计算可得；

（2）依题意X的可能取值为0、1、2,求出所对应的概率，列出分布列；

（3）依题意丫〜即可求出V的分布列，再求出数学期望，即可得解；

【详解】

解：（1）样本中一共有3十4十7十5十1=20件产品，包装质量在（495,510］克的产品有

试卷第32页，共50页

4+7+5=16件，故从