题型23 6类圆锥曲线离心率问题解题技巧（定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程求离心率）-高考数学必考模型归纳

题型236类圆锥曲线离心率问题解题技巧（定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程求离心率）技法01技法01椭圆、双曲线中的定义法求离心率技法02焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率技法03斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率技法04定比分点求椭圆、双曲线的离心率技法05余弦定理求椭圆、双曲线的离心率技法06构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率技法01椭圆、双曲线中的定义法求离心率定义法求离心率是最本质和常规的方法，也定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习知识迁移椭圆公式1:，公式2:变形，双曲线公式1:，公式例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（

）A． B． C． D．，所以，．例1-2．（2023·江苏模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．.1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知椭圆C：的右焦点为，P为椭圆的左顶点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为.3．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为．4．（2023·浙江台州·统考二模）已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率为.技法02焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率焦点三角形中求离心率方法较多焦点三角形中求离心率方法较多，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，难度较小，需强化练习知识迁移已知棚圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则例2．（全国·高考真题）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，∠=，则C的离心率为A． B． C． D．【法一】

离心率e＝【法二】计算即可已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为)A.B.C.D.2．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．4．（天津红桥·高二统考期末）已知F1，F2是双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若线段MF1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为（

）A．＋1 B．4＋2C． D．－1技法03斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率已知斜率乘积求离心率已知斜率乘积求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习例3．（2023·吉林·高三阶段练习）已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．，求解即可1．（2022秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）已知双曲线的两个顶点分别为A、B，点P为双曲线上除A、B外任意一点，且点P与点A、B连线的斜率为，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．32．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）过点作斜率为的直线与椭圆：()相交于､两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．技法04定比分点求椭圆、双曲线的离心率已知定比分点求离心率已知定比分点求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习知识迁移点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或例4．（全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为A． B． C． D．计算即可1．（2022·全国·高三专题练习）已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则A．1 B． C． D．23．（2023·山东烟台·统考三模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．技法05余弦定理求椭圆、双曲线的离心率用余弦定理求离心率用余弦定理求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习例5．（2023·福建宁德·校考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，

因为，则，因为为的中点，则，且，由双曲线的定义可得，所以，，则，由余弦定理可得，所以，，因此，该双曲线的离心率为.1．（2023·山东烟台·校联考三模）双曲线的左､右焦点分别为，以1．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点的直线与椭圆交于两点，设椭圆的右焦点为，已知，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2023·四川成都·统考一模）已知圆经过椭圆的两个焦点，圆和椭圆在第二象限的交点为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．技法06构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率构造其次方程求离心率构造其次方程求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习例6．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点且与椭圆的长轴垂直，直线过椭圆的上顶点与右顶点且与交于点，若（为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（

）．A． B． C． D．【详解】设椭圆的焦距为，则直线，直线，联立，解得，即，因为，故．因为，所以点在椭圆上，将代入椭圆的方程得，即，即，解得或（舍去）.1．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率（

）A．