2024年北师大新版高二数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大新版高二数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.3pa2B.6pa2C.12pa2D.24pa22、对任意实数定义运算其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知并且有一个非零常数使得对任意实数都有则的值是（）A.B.C.D.3、【题文】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查；则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）

A.B.C.D.4、已知那么p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5、某班有50

名同学，一次数学考试的成绩X

服从正态分布N(110,102)

已知P(100鈮�X鈮�110)=0.34

估计该班学生数学成绩在120

分以上的人数(

)

A.7

B.7

C.8

D.9

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、已知直线l的倾斜角为它与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若=λ（λ＞1），则λ的值为____．7、点A（x，y）在双曲线的右支上，若点A到左焦点的距离等于4x，则x=____．8、如图，当输入的x值为4时，输出y的结果是____．

9、椭圆的离心率为则实数m的值为____．10、函数的单调递减区间为_______11、【题文】如果AB＞0，BC＞0，则直线不经过第____象限评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)12、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、计算题(共2题，共18分)19、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。20、解不等式组．评卷人得分五、综合题(共3题，共24分)21、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．22、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．23、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】【解析】

根据题意球的半径R满足,（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故选B【解析】【答案】B2、B【分析】由定义可知所以所以恒成立，所以【解析】【答案】B3、A【分析】【解析】

试题分析：由题意知，样本容量为其中高中生人数为

高中生的近视人数为故选A.

【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.【解析】【答案】A4、A【分析】【分析】由可以解得或所以由可以推出但是由推不出所以是的充分不必要条件.选A

【点评】判断充分条件、必要条件，关键是分清谁是条件，谁是结论，注意推理的严谨性.5、C【分析】解：隆脽

考试的成绩娄脦

服从正态分布N(110,102).

隆脿

考试的成绩娄脦

关于娄脦=110

对称；

隆脽P(100鈮�娄脦鈮�110)=0.34

隆脿P(娄脦鈮�120)=P(娄脦鈮�100)=

。12(1鈭�0.34隆脕2)=0.16

隆脿

该班数学成绩在120

分以上的人数为0.16隆脕50=8

．

故选：C

．

根据考试的成绩娄脦

服从正态分布N(110,102).

得到考试的成绩娄脦

关于娄脦=110

对称；根据P(100鈮�娄脦鈮�110)=0.34

得到P(娄脦鈮�120)=0.16

根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．

本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩娄脦

关于娄脦=110

对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．【解析】C

二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】

根据题意设A（x1，y1），B（x2，y2），由=λ可得（-x1，-y1）=λ（x2-y2），故-y1=λy2

∴λ=-

设直线方程为

联立直线与抛物线方程，消元得：y2+py-p2=0，∴y1+y2=-p，y1y2=-p2；

因此=-即-λ-+2=-解得λ=3（λ＞1）．

故答案为3

【解析】【答案】设出A，B的坐标，利用向量条件，可得λ=-设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及即可求得结论．

7、略

【分析】

∵a=2，b=4

∴c==6，∴左焦点F（-6，0），左准线方程为x=-=-离心率为=3

∵点A到左焦点的距离等于4x，∴=3

∴x=2

故答案为：2

【解析】【答案】确定双曲线左焦点；左准线方程；利用第二定义，即可求得结论．

8、略

【分析】

这是一个用条件分支结构设计的算法；

该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值．

因为输入的x值为4；

满足x≥3；

∴y=3+42=19．

故答案为：19．

【解析】【答案】根据流程图所示的顺序；逐框分析程序中各变量；各语句的作用可知：该程序的作用是求分段函数的函数值．

9、略

【分析】

当m＞5时，=解得m=

当m＜5时，=解得m=3符合题意；

故答案为：

【解析】【答案】分当m＞5和m＜5时两种情况，根据e=求得m．

10、略

【分析】试题分析：因为，所以，由得，0<1,故函数的单调递减区间为（0,1）。考点：利用导数研究函数的单调性【解析】【答案】（0,1）答案不唯一11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】二三、作图题(共7题，共14分)12、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、计算题(共2题，共18分)19、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。20、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．五、综合题(共3题，共24分)21、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）22、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；