人教版九年级上册数学《圆》单元综合检测(含答案)

人教版数学九年级上学期《圆》单元测试考试时间:100分钟;总分:120分一、单选题(每小题3分，共30分)1．(2019·全国初三课时练习)下列直线是圆的切线的是()A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线2．(2019·全国初三课时练习)如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是()A．8 B．18 C．16 D．143．(2019·台湾中考真题)如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？()A． B． C． D．4．(2019·辽宁中考真题)如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A=25°，则∠C的度数是()A.25° B.30° C.35° D.40°5．(2019·辽宁中考真题)如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是()A． B． C． D．6．(2019·湖南中考真题)如图，边长为的等边的内切圆的半径为()A．1 B． C．2 D．7．(2019·山东初三期中)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为()A.点M在⊙C上 B.点M在⊙C内 C.点M在⊙C外 D.点M不在⊙C内8．(2018·浙江初三期中)如图:在⊙O中，AD平分圆周角∠BAC，AE⊥BC，∠BAC＝60°，∠OAD＝16°，求∠C的度数为()A.50° B.30° C.44° D.45°9．如图，为的切线，为切点，点在上，如果，那么为()A. B.C. D.10．(2018·杭州市下沙中学初三月考)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm．则OF的长度是()A． B． C． D．3二、填空题(每小题4分，共24分)11．(2019·山东初三期中)如图CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，如果CD＝10，AB＝8，那么CE的长为_____．12．(2019·江阴市敔山湾实验学校初三期中)如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是_____°．13．(2019·无锡市硕放中学初三期中)如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB=_________．14．(2019·浙江初三期中)已知在圆O中，AB是直径，点E和点D是圆O上的点，且∠EAB=45°，延长AE和BD相交于点C，连接BE和AD交于点F，BD=12，CD=8，则直径AB的长是_____．15．(2019·江苏初三期中)如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为___________16．(2019·无锡市硕放中学初三期中)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为_______________.三、解答题一(每小题6分，共18分)17．(2018全国初三单元测试)已知:如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证:AB＝CD．18．(2019·山东初三期中)已知AB，AC为弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，求证:MN∥BC且MN＝BC．19．(2019·江苏东绛实验学校初三期中)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝16cm，AE＝4cm．(1)求⊙O的半径;(2)求OF的长．四、解答题二(每小题7分，共21分)20．(2018全国初三课时练习)如图，已知点O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.求证:(1)∠AOE＝∠BOD;(2).21．(2019·无锡市甘露学校初三期中)如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N(1)求证:∠AOC＝135°;(2)若NC＝3，BC＝2，求DM的长．22．(2019·陕西延安职业技术学院附中初三期中)如图，在中，平分，交于点，以点为圆心，为半径的⨀与相交于点．(1)判断直线与⨀的位置关系，并证明你的结论;(2)若，求的长．五、解答题三(每小题9分，共27分)23．(2019·贵州中考真题)如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，BC．(1)求证:△ADB≌△BCA;(2)若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长;(3)在(2)的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，连接PC．求证:PC是⊙O的切线．24．(2019广东中考真题)如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接.(1)求证:;(2)求证:是的切线;(3)如图2，若点是的内心，，求的长.25．(2016安徽初三月考)如图，⊙是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF。(1)若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长;(结果保留π)(2)求证:OD=OE;(3)求证:PF是⊙的切线。

参考答案一、单选题(每小题3分，共30分)1．(2019·全国初三课时练习)下列直线是圆的切线的是()A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线【答案】B【解析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解:A、割线与圆也有公共点但不是切线，故不正确;

B、符合切线的判定，故正确;

C、应为垂直于圆的半径的且过半径外端点的直线，故不正确;

D、应为过圆的直径外端点并与该直径垂直的直线，故不正确;

故选:B．【点睛】本题考查了切线的判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键.2．(2019·全国初三课时练习)如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是()A．8 B．18 C．16 D．14【答案】C【解析】根据PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得:PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．【详解】解:∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，

∴PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，

∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16．

故选:C．【点睛】此题考查了切线长定理．此题难度不大，注意从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．3．(2019·台湾中考真题)如图，直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，根据图中标示的长度与角度，求的长度为何？()A． B． C． D．【答案】D【解析】设，利用切线长定理得到，，，然后根据勾股定理得到，最后解方程即可．【详解】解:设，∵直角三角形的内切圆分别与、相切于点、点，，，，在中，，解得，即的长度为．故选:D．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理．4．(2019·辽宁中考真题)如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A=25°，则∠C的度数是()A.25° B.30° C.35° D.40°【答案】D【解析】连接OB，CB与⊙O相切于点B，得到∠OBC=90°，根据条件得到∠COB的度数，然后用三角形内角和求出∠C的度数即可．【详解】解:如图:连接OB，∵OB=OA，∴∠A=∠OBA，∵∠A=25°，∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBC=90°，∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°．故选:D．【点睛】本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB的度数，然后在三角形中求出∠C的度数．正确作出辅助线是解题的关键．5．(2019·辽宁中考真题)如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是()A． B． C． D．【答案】A【解析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．【详解】连接AC，如图，∵BC是的直径，∴，∵，∴．故答案为．故选:A．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．6．(2019·湖南中考真题)如图，边长为的等边的内切圆的半径为()A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH=AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可．【详解】设的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵为等边三角形，∴CH平分，AO平分，∵为等边三角形，∴，，∴，，在中，∵，∴，即内切圆的半径为1．故选:A．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．7．(2019·山东初三期中)已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM是它的中线，以C为圆心，5cm为半径作⊙C，则点M与⊙C的位置关系为A.点M在⊙C上 B.点M在⊙C内 C.点M在⊙C外 D.点M不在⊙C内【答案】A【解析】根据题意可求得CM的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．【详解】如图，∵由勾股定理得AB==10cm，∵CM是AB的中线，∴CM=5cm，∴d=r，所以点M在⊙C上，故选A．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上⇔圆心到点的距离=圆的半径．8．(2018·浙江初三期中)如图:在⊙O中，AD平分圆周角∠BAC，AE⊥BC，∠BAC＝60°，∠OAD＝16°，求∠C的度数为()A.50° B.30° C.44° D.45°【答案】C【解析】连接OD、CD，等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠AOD=148°，根据圆周角定理得出∠ACD=74°，∠BCD=∠BAD=30°，进而即可求得∠ACB=44°．【详解】解:连接OD、CD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝16°，∴∠AOD＝180°﹣16°﹣16°＝148°，∴∠ACD＝74°，∵∠BAC＝60°，AD平分圆周角∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝74°﹣30°＝44°故选:C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，解决本题的关键是正确作出辅助线构建等腰三角形以及同弧所对的圆周角．9．如图，为的切线，为切点，点在上，如果，那么为()A. B.C. D.【答案】C【解析】根据切线的性质得∠OAC＝90°，则∠OAB＝35°，所以可求∠AOB＝110°．【详解】解:∵∠OAC＝90°，∴∠OAB＝90°−55°＝35°，∴∠AOB＝180°−35°×2＝110°．故选:C．【点睛】此题运用了切线的性质定理、三角形的内角和定理和等腰三角形的性质．10．(2018·杭州市下沙中学初三月考)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm．则OF的长度是()A． B． C． D．3【答案】A【解析】根据垂径定理得出BE的长，利用勾股定理求出AB，进而利用中位线定理得出OF即可．【详解】解:连接AB，OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，∴BE＝4cm，在Rt△ABE中，AB＝，∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，∴BF＝FC，∴OF＝AB＝．故选:A．【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理以及中位线定理，关键是根据垂径定理得出BE的长．二、填空题(每小题4分，共24分)11．(2019·山东初三期中)如图CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，如果CD＝10，AB＝8，那么CE的长为_____．【答案】2【解析】根据垂径定理求出DE=4,在Rt△OED中勾股定理,求出OE=3,即可解题.【详解】解:连接OD,∵弦CD⊥AB于E，如果AB＝10，CD＝8，∴DE=4,OD=5,(垂径定理)在Rt△OED中,OE=3(勾股定理)∴AE=5-3=2.【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,属于简单题,作辅助线构造直角三角形是解题关键.12．(2019·江阴市敔山湾实验学校初三期中)如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是_____°．【答案】40°．【解析】连接BO，∵∠A=50°，∴∠BOC=100°，∵OD⊥BC，∴BD=CD，∴∠BOD=∠COD=50°，∴∠OCD=40°.故答案为40°.点睛:熟练运用垂径定理以及圆周角与圆心角之间的关系.13．(2019·无锡市硕放中学初三期中)如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB=_________．【答案】60°【解析】分析:根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据直角三角形的性质计算即可．详解:∵AB是⊙O的切线，∴∴故答案为:60°．点睛:本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．14．(2019·浙江初三期中)已知在圆O中，AB是直径，点E和点D是圆O上的点，且∠EAB=45°，延长AE和BD相交于点C，连接BE和AD交于点F，BD=12，CD=8，则直径AB的长是_____．【答案】【解析】根据AB是直径到∠AEB=90°，又∠EAB=45°得到△ABE为等腰直角三角形，则AE=BE，利用圆周角的性质得到∠EAF=∠EBC，在根据∠BEC=∠AEF=90°即可证明△AEF≌△BEC，得到AE=BC=20，再利用勾股定理即可求解.【详解】∵AB是直径∴∠AEB=90°，∵∠EAB=45°∴△ABE为等腰直角三角形，则AE=BE，∵∠EAF=∠EBC，∠BEC=∠AEF=90°∴△AEF≌△BEC(ASA)，∴AE=BC=20，则BE=AE=20∴AB=故填:【点睛】此题主要考查圆内综合题，解题的关键是熟知圆周角的性质及全等三角形的判定方法.15．(2019·江苏初三期中)如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为___________【答案】π【解析】连接OB、OC，如图，利用切线的性质得∠ABO=90°，再利用直角三角形的性质可求出∠BAO=30°，则∠AOB=60°，接着利用平行线的性质得到∠CBO=∠AOB=60°，利用三角形面积公式可得到S△ABC=S△OCB，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S扇形BOC进行计算．【详解】解:连接OB、OC，如图，

∵AB切⊙O于点B，

∴OB⊥AB，

∴∠ABO=90°，

在Rt△ABO中，∵OA＝4，OB=2，

∴∠BAO=30°，

∴∠AOB=60°，

∵BC∥OA，

∴∠CBO=∠AOB=60°，S△ABC=S△OCB，

∴∠BOC=60°，图中阴影部分的面积=S扇形BOC，

∴图中阴影部分的面积==π．

故答案为π．【点睛】本题考查了切线的性质和扇形的面积计算公式，根据面积相等进行转化是解题的关键.16．(2019·无锡市硕放中学初三期中)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为_______________.【答案】【解析】先取EF得中点O，连接DE、DE、DC，所以OC=EF，由AF=DF，BE=DE，得到∠A=∠ADF，∠B=∠BDE，从而∠ADF+∠BDE=∠A+∠B=90°，所以∠EDF=90°，因此OD=EF，得到EF=OC+OD，因此当C、O、D三点在同一直线上，且CD⊥AB时，OC+OD最短，由OE=OF，OC=OD，∠C=90°得到四边形CEDF为矩形，于是过点C作CH⊥AB，此时点D与H重合，EF=OC+OD=CD=CH最短，由∠AFD=∠BED=90°，可知∠A=∠B=45°，从而CH为AB=，故EF的最小值为【详解】取EF得中点O，连接DE、DE、DC，∵∠C=90°，∴OC=EF,∠A+∠B=90°，∵AF=DF，BE=DE，∴∠A=∠ADF，∠B=∠BDE，∴∠ADF+∠BDE=∠A+∠B=90°，∴∠EDF=90°，∴OD=EF，∴EF=OC+OD，当C.O、D三点在同一直线上，且CD⊥AB时，OC+OD最短，∵OE=OF，OC=OD，∴四边形CEDF为平行四边形，∵∠C=90°，∴四边形CEDF为矩形，于是过点C作CH⊥AB，此时点D与H重合，EF=OC+OD=CD=CH最短，∴∠AFD=∠BED=90°，∴∠A=∠B=45°，CH=AB=，∴EF的最小值为.【点睛】此题考查圆周角定理及其推论，解题关键在于作辅助线.三、解答题一(每小题6分，共18分)17．(2018全国初三单元测试)已知:如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证:AB＝CD．【答案】见解析【解析】要证明两条弦AB＝CD，可以转化为证明就可以．已知AC=BD可以证明得到，进而得到．【详解】证明:∵AC＝BD，∴．∴∴．∴AB＝CD．【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦其中有一组量相等，那么其它两组量也相等．18．(2019·山东初三期中)已知AB，AC为弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，求证:MN∥BC且MN＝BC．【答案】见解析.【解析】先根据垂径定理的出AN=CN，AM=BM，故可得出MN是△ABC的中位线，由此可得出结论．【详解】证明:∵AB，AC为弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，∴AN＝CN，AM＝BM，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC且MN＝BC．【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦(非直径)的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．19．(2019·江苏东绛实验学校初三期中)如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝16cm，AE＝4cm．(1)求⊙O的半径;(2)求OF的长．【答案】(1)10;(2)OF＝2【解析】(1)连接OB，设半径为R，则OE＝R－4，再由垂径定理求得BE，根据勾股定理求出R即可;(2)根据勾股定理求得BC，证明△CFO∽△CEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【详解】解:(1)连结OB,设半径为R，则OE＝R－4∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于E∴BE＝DE＝8在Rt△BOE

中，OE2＋BE2＝OB2∴(R－4)2＋82＝R2解得R＝10．(2)根据勾股定理得BC＝8可证△COF∽△CBE得＝即＝∴OF＝2【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，灵活应用垂径定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.四、解答题二(每小题7分，共21分)20．(2018·全国初三课时练习)如图，已知点O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.求证:(1)∠AOE＝∠BOD;(2).【答案】证明见解析【解析】分析:(1)先画出图形，根据等腰三角形的性质，可得出∠A=∠B，再由OA=OD，OB=OE，可得出∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，即可得出∠AOD=∠BOE，即可得出∠AOE=∠BOD;(2)根据∠AOD=∠BOE，由弧、弦、圆心角之间的关系，即可得出．详解:(1)∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵OA=OD，OB=OE，∴∠A=∠ODA，∠B=∠OEB，∴∠AOD=∠BOE，∴∠AOD+∠DOE=∠BOE+∠DOE，∴∠AOE=∠BOD;(2)∵∠AOD=∠BOE，∴．点睛:本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．21．(2019·无锡市甘露学校初三期中)如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N(1)求证:∠AOC＝135°;(2)若NC＝3，BC＝2，求DM的长．【答案】(1)∠AOC＝135°;(2)DM＝1．【解析】(1)如图，作OE⊥AC于E，连接OM，ON，由切线的性质可得OM⊥AB，ON⊥CD，由角平分线的性质可得OM=OE，从而得AC是⊙O的切线，继而可得OC平分∠ACD，继而通过推导即可证得∠AOC=135°;(2)由切线长定理可得AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，AM=AE=y，则有BD=3﹣x，在Rt△BDC中，利用勾股定理进行求解即可.【详解】(1)如图，作OE⊥AC于E，连接OM，ON，∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N，∴OM⊥AB，ON⊥CD，∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，∴OM=OE，∴AC是⊙O的切线，∵ON=OE，ON⊥CD，OE⊥AC，∴OC平分∠ACD，∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠AOC=180°﹣(∠DAC+∠ACD)=180°﹣45°=135°．(2)∵AD，CD，AC是⊙O的切线，M，N，E是切点，∴AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，AM=AE=y，∵AB=AC，∴BD=3﹣x，在Rt△BDC中，∵BC2=BD2+CD2，∴20=(3﹣x)2+(3+x)2，∵x>0，∴x=1，∴DM=1．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用切线的相关知识是解题的关键.22．(2019·陕西延安职业技术学院附中初三期中)如图，在中，平分，交于点，以点为圆心，为半径的⨀与相交于点．(1)判断直线与⨀的位置关系，并证明你的结论;(2)若，求的长．【答案】(1)直线与⨀相切，理由见解析;(2)1【解析】(1)过作于，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论;(2)根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据切割线定理即可得到结论．【详解】解:(1)直线与⨀相切，理由:过作于，，平分，，直线与⨀相切;(2)，在与中，，，，是⨀的切线，∴BF2＝BA•BE，，．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．五、解答题三(每小题9分，共27分)23．(2019·贵州中考真题)如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，BC．(1)求证:△ADB≌△BCA;(2)若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长;(3)在(2)的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，连接PC．求证:PC是⊙O的切线．【答案】(1)详见解析;(2);(3)详见解析.【解析】(1)可证∠ACB=∠ADB=90°，则由HL定理可证明结论;

(2)可证AD=BC=DC，则∠AOD=∠ABC=60°，由直角三角形的性质可求出AC的长;

(3)可得出BC=BP=2，∠BCP=30°，连接OC，可证出∠OCP=90°，则结论得证．【详解】(1)证明:∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AB，∴△ADB≌△BCA(HL);(2)解:如图，连接DC，∵OD⊥AC，∴，∴AD＝DC，∵△ADB≌△BCA，∴AD＝BC，∴AD＝DC＝BC，∴∠AOD＝∠ABC＝60°，∵AB＝4，∴;(3)证明:如图，连接OC，由(1)和(2)可知BC=∵BP＝2∴BC＝BP＝2∴∠BCP＝∠P，∵∠ABC＝60°，∴∠BCP＝30°，∵OC＝OB，∠ABC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠OCP＝∠OCB+∠BCP＝60°+3