高考数学总复习《幂函数与指、对数式的运算》专项测试卷带答案

第第页高考数学总复习《幂函数与指、对数式的运算》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．已知常数α∈Q，如图为幂函数y＝xα的图象，则α的值可以为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(3,2)2．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断3．下列运算正确的是()A．2logeq\s\do8(\f(1,5))10＋logeq\s\do8(\f(1,5))0.25＝2B．log427×log258×log95＝eq\f(8,9)C．2lg2－lgeq\f(1,25)＝1D．logeq\s\do8((2＋eq\r(3)))(2－eq\r(3))－(log2eq\r(2))2＝－eq\f(5,4)4．(2024·山东潍坊模拟)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(eq\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3))，c＝log3π，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a5．已知eeq\s\up15(eq\f(1,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(1,2)x)＝2，则eeq\s\up15(eq\f(3,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(3,2)x)的值为()A．2 B．8C．10 D．146．(2024·河南新乡检测)已知lga，lgb是方程6x2－4x－3＝0的两根，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(b,a)))2＝()A．eq\f(4,9) B．eq\f(13,9)C．eq\f(14,9) D．eq\f(22,9)7．(2024·四川成都模拟)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为()A．3.6小时 B．3.8小时C．4小时 D．4.2小时8．(2024·河南新乡模拟)已知lg3＝a，lg5＝b，则log212的值为()A．eq\f(2b－a＋2,1－b) B．eq\f(2b－a＋2,b－1)C．eq\f(a－2b＋2,1－b) D．eq\f(a－2b＋2,1＋b)9.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－eq\f(1,b)＝()A．0 B．1C．eq\f(1,2) D．2二、多项选择题10．下列关系中，根式与分数指数幂的互化正确的是()A．－eq\r(x)＝(－x)eq\s\up15(eq\f(1,2))(x>0)B．eq\r(6,y2)＝yeq\s\up15(eq\f(1,3))(y>0)C．xeq\s\up15(－eq\f(1,2))yeq\s\up15(eq\f(2,3))＝eq\f(\r(3,y2),\r(x))(x>0，y>0)D．xeq\s\up15(－eq\f(1,3))＝－eq\r(3,x)(x>0)11．若10a＝4,10b＝25，则()A．a＋b＝2 B．b－a＝1C．ab>8(lg2)2 D．b－a>lg6三、填空题与解答题12．(2024·山西模拟)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.13．(1)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.(2)若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝________.14．计算：(1)log535＋2logeq\s\do8(\f(1,2))eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514；(2)eq\f(1－log632＋log62·log618,log64).高分推荐题15．(1)若a4＋a3＋a2＋a＋1＝0(a∈C)，则a100＝________.(2)(2024·湖北武汉质检)设eq\f(1,3－\r(7))的整数部分为x，小数部分为y，求x2＋eq\r(7)xy＋eq\f(3,y)的值．解析版一、单项选择题1．已知常数α∈Q，如图为幂函数y＝xα的图象，则α的值可以为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(3,2)解析：由幂函数y＝xα的图象关于y轴对称知，函数y＝xα是偶函数，排除B，D选项；再根据幂函数y＝xα的图象在第一象限内从左到右下降，可得α<0，排除A选项．故选C．答案：C2．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断解析：∵函数f(x)＝(m2－m－5)xm2－6是幂函数，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴m2－6>0，∴m＝3，∴f(x)＝x3.若a，b∈R，且a＋b>0，则a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选A．答案：A3．下列运算正确的是()A．2logeq\s\do8(\f(1,5))10＋logeq\s\do8(\f(1,5))0.25＝2B．log427×log258×log95＝eq\f(8,9)C．2lg2－lgeq\f(1,25)＝1D．logeq\s\do8((2＋eq\r(3)))(2－eq\r(3))－(log2eq\r(2))2＝－eq\f(5,4)解析：对于D，logeq\s\do8((2＋eq\r(3)))(2－eq\r(3))－(log2eq\r(2))2＝logeq\s\do8((2＋eq\r(3)))eq\f(1,2＋\r(3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝－1－eq\f(1,4)＝－eq\f(5,4)，故D正确．答案：D4．(2024·山东潍坊模拟)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(eq\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3))，c＝log3π，则a，b，c的大小关系为()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a解析：∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(eq\f(2,3))<1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3))<1，c＝log3π>1，∴c>a，c>b，又∵幂函数y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3))为增函数，∴b>a，∴c>b>a，故选D．答案：D5．已知eeq\s\up15(eq\f(1,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(1,2)x)＝2，则eeq\s\up15(eq\f(3,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(3,2)x)的值为()A．2 B．8C．10 D．14解析：∵eeq\s\up15(eq\f(1,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(1,2)x)＝2，∴两边同时3次方，得(eeq\s\up15(eq\f(1,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(1,2)x))3＝8，化简得eeq\s\up15(eq\f(3,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(3,2)x)－3(eeq\s\up15(eq\f(1,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(1,2)x))＝8.又∵eeq\s\up15(eq\f(1,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(1,2)x)＝2，∴eeq\s\up15(eq\f(3,2)x)－eeq\s\up15(－eq\f(3,2)x)＝8＋6＝14.答案：D6．(2024·河南新乡检测)已知lga，lgb是方程6x2－4x－3＝0的两根，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(b,a)))2＝()A．eq\f(4,9) B．eq\f(13,9)C．eq\f(14,9) D．eq\f(22,9)解析：由已知得lga＋lgb＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，lga·lgb＝－eq\f(3,6)＝－eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(b,a)))2＝(lgb－lga)2＝(lgb＋lga)2－4lga·lgb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(22,9).故选D．答案：D7．(2024·四川成都模拟)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为()A．3.6小时 B．3.8小时C．4小时 D．4.2小时解析：由题意可得，N0e－4k＝eq\f(4,5)N0，可得e－4k＝eq\f(4,5)，设N0e－kt＝0.64N0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2N0，可得e－kt＝(e－4k)2＝e－8k，解得t＝8.因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时．故选C．答案：C8．(2024·河南新乡模拟)已知lg3＝a，lg5＝b，则log212的值为()A．eq\f(2b－a＋2,1－b) B．eq\f(2b－a＋2,b－1)C．eq\f(a－2b＋2,1－b) D．eq\f(a－2b＋2,1＋b)解析：log212＝log2(3×4)＝log23＋2＝eq\f(lg3,lg2)＋2＝eq\f(lg3,lg10－lg5)＋2＝eq\f(a,1－b)＋2＝eq\f(a＋2－2b,1－b).故选C．答案：C9.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－eq\f(1,b)＝()A．0 B．1C．eq\f(1,2) D．2解析：∵BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0,1)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)))，将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(2,3)，b＝logeq\s\do8(\f(2,3))eq\f(1,3)，∴a－eq\f(1,b)＝logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(2,3)－eq\f(1,logeq\s\do8(\f(2,3))\f(1,3))＝0.答案：A二、多项选择题10．下列关系中，根式与分数指数幂的互化正确的是()A．－eq\r(x)＝(－x)eq\s\up15(eq\f(1,2))(x>0)B．eq\r(6,y2)＝yeq\s\up15(eq\f(1,3))(y>0)C．xeq\s\up15(－eq\f(1,2))yeq\s\up15(eq\f(2,3))＝eq\f(\r(3,y2),\r(x))(x>0，y>0)D．xeq\s\up15(－eq\f(1,3))＝－eq\r(3,x)(x>0)解析：对于A，－eq\r(x)＝－xeq\s\up15(eq\f(1,2))(x>0)，故A错误；对于B，eq\r(6,y2)＝yeq\s\up15(eq\f(1,3))(y>0)，故B正确；对于C，xeq\s\up15(－eq\f(1,2))yeq\s\up15(eq\f(2,3))＝eq\f(\r(3,y2),\r(x))(x>0，y>0)，故C正确；对于D，xeq\s\up15(－eq\f(1,3))＝eq\f(1,\r(3,x))(x>0)，故D错误．答案：BC11．若10a＝4,10b＝25，则()A．a＋b＝2 B．b－a＝1C．ab>8(lg2)2 D．b－a>lg6解析：由10a＝4,10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，则a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A正确；b－a＝lg25－lg4＝lgeq\f(25,4)>lg6且lgeq\f(25,4)<1，故B错误，D正确；ab＝lg4·lg25＝4lg2·lg5>4lg2·lg4＝8(lg2)2，故C正确．故选ACD．答案：ACD三、填空题与解答题12．(2024·山西模拟)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.解析：由题意得m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1.当m＝3时，f(x)＝x－1，定义域[－3－m，m2－m]为[－6，6]，f(x)在x＝0处无意义，故舍去．当m＝－1时，f(x)＝x3，定义域[－3－m，m2－m]为[－2，2]，满足题意，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.答案：－113．(1)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.(2)若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝________.解析：(1)∵5x＝4，∴52x＝16，∴52x－y＝52x÷5y＝16÷2＝8.(2)∵100a＝5，∴102a＝5，又10b＝2，∴102a＋b＝10.∴2a＋b＝1.答案：(1)8(2)114．计算：(1)log535＋2logeq\s\do8(\f(1,2))eq\r(2)－log5e