高考数学总复习《指数函数》专项测试卷带答案

第第页高考数学总复习《指数函数》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝eq\f(1,1＋2x)，则对任意实数x，有()A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝0C．f(－x)＋f(x)＝1D．f(－x)－f(x)＝eq\f(1,3)2．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x的图象关于()A．y轴对称 B．x轴对称C．原点对称 D．直线y＝x对称3．(2024·陕西汉中月考)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()4．若函数y＝ax(a>0，且a≠1，x∈[－1,1])的最大值与最小值之和为3，则a2＋a－2＝()A．9 B．7C．6 D．55．(2024·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是()6．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部一个细微的小孔漏出，tmin后剩余的细沙量(单位：cm3)为y＝ae－bt.6min后发现容器内还有一半的细沙，要使容器内的细沙只有开始时的八分之一，则需再经过()A．6min B．12minC．18min D．32min7．(2024·山东济宁模拟)已知函数f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)，若a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b8．(2024·湖北宜昌模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－2,1) B．(－4,3)C．(－3,4) D．(－1,2)二、多项选择题9．(2024·广东梅州模拟)已知实数a，b满足等式2021a＝2022b，下列等式可以成立的是()A．a＝b＝0 B．a<b<0C．0<a<b D．0<b<a10．关于函数f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的性质，下列说法中正确的是()A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形三、填空题与解答题11．(2024·山东菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x)为偶函数．12．(2024·安徽皖北七校联考)已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．13．(2024·福建福州质检)若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2＋2x＋3的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，则f(x)的单调递增区间是________．14．(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝1－eq\f(4,2ax＋a)(a>0，且a≠1)且f(0)＝0.(1)求a的值；(2)若函数g(x)＝(2x＋1)f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；(3)当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．高分推荐题15．(2024·江苏徐州模拟)已知0<a<b<1，则()A．(1－a)eq\s\up15(eq\f(1,b))>(1－a)bB．(1－a)b>(1－a)eq\s\up15(eq\f(b,2))C．(1＋a)a>(1＋b)bD．(1－a)a>(1－b)b解析版一、单项选择题1．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝eq\f(1,1＋2x)，则对任意实数x，有()A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝0C．f(－x)＋f(x)＝1D．f(－x)－f(x)＝eq\f(1,3)解析：函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq\f(1,1＋2－x)＝eq\f(2x,1＋2x)，所以f(－x)＋f(x)＝eq\f(2x,1＋2x)＋eq\f(1,1＋2x)＝1.故选C．答案：C2．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x的图象关于()A．y轴对称 B．x轴对称C．原点对称 D．直线y＝x对称解析：因为f(－x)＝2－x＋1＝g(x)，所以f(x)，g(x)的图象关于y轴对称，故选A．答案：A3．(2024·陕西汉中月考)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()解析：易知函数f(x)的两个零点为a，b，由图象可知b＜－1，且0＜a＜1，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，g(0)＝1＋b<0，所以选项A符合，故选A．答案：A4．若函数y＝ax(a>0，且a≠1，x∈[－1,1])的最大值与最小值之和为3，则a2＋a－2＝()A．9 B．7C．6 D．5解析：∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上单调，且当x＝－1时，y＝a－1；当x＝1时，y＝a，∴a－1＋a＝3，两边同时平方得a－2＋2＋a2＝9，∴a－2＋a2＝7.答案：B5．(2024·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是()解析：当x＝1时，y＝1，排除C，D；当x>1时，y＝e－(x－1)单调递减，排除A．答案：B6．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部一个细微的小孔漏出，tmin后剩余的细沙量(单位：cm3)为y＝ae－bt.6min后发现容器内还有一半的细沙，要使容器内的细沙只有开始时的八分之一，则需再经过()A．6min B．12minC．18min D．32min解析：当t＝0时，y＝a；当t＝6时，y＝ae－6b＝eq\f(1,2)a，所以e－6b＝eq\f(1,2).若容器内的细沙只有开始时的八分之一，则y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，所以e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－6b)3＝e－18b，则t＝18，18－6＝12(min)，所以再经过12min，容器内的细沙只有开始时的八分之一．故选B．答案：B7．(2024·山东济宁模拟)已知函数f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)，若a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b解析：f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)＝eq\f(ex＋1－2,ex＋1)＝1－eq\f(2,ex＋1)，因为y＝ex在R上单调递增，所以y＝eq\f(2,ex＋1)在R上单调递减，所以f(x)＝1－eq\f(2,ex＋1)在R上单调递增．又因为20.3>20＝1,0<0.20.3<0.20＝1，log0.32<log0.31＝0，所以f(20.3)>f(0.20.3)>f(log0.32)，即a>b>c.故选B．答案：B8．(2024·湖北宜昌模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－2,1) B．(－4,3)C．(－3,4) D．(－1,2)解析：原不等式可变形为m2－m<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(－∞，－1]上是减函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.答案：D二、多项选择题9．(2024·广东梅州模拟)已知实数a，b满足等式2021a＝2022b，下列等式可以成立的是()A．a＝b＝0 B．a<b<0C．0<a<b D．0<b<a解析：如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.故选ABD．答案：ABD10．关于函数f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的性质，下列说法中正确的是()A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形解析：函数f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝eq\f(1,4x＋2)在定义域内单调递减，所以函数的值域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝eq\f(1,4x＋1＋2)＋eq\f(1,4－x＋2)＝eq\f(1,4·4x＋2)＋eq\f(4x,2·4x＋1)＝eq\f(1,2)，所以f(x)关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))对称，所以D正确．故选ACD．答案：ACD三、填空题与解答题11．(2024·山东菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数________．①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x)为偶函数．解析：若满足①对任意的x1x2≥0，有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，所以满足①②两个条件的函数满足f(x)＝a|x|(a>0，且a≠1)即可．答案：f(x)＝2|x|(答案不唯一)12．(2024·安徽皖北七校联考)已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．解析：由题意知，f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥1，,e2－x，x<1.))当x≥1时，f(x)≥e，且当x＝1时，取得最小值e；当x<1时，f(x)>e.故f(x)的最小值为f(1)＝e.答案：e13．(2024·福建福州质检)若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2＋2x＋3的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，则f(x)的单调递增区间是________．解析：令g(x)＝ax2＋2x＋3，因为f(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，所以g(x)的值域是[2，＋∞)．因此有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(12a－4,4a)＝2，))解得a＝1，所以g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2＋2x＋3.因为g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]14．(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝1－eq\f(4,2ax＋a)(a>0，且a≠1)且f(0)＝0.(1)求a的值；(2)若函数g(x)＝(2x＋1)f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；(3)当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)对于函数f(x)＝1－eq\f(4,2ax＋a)，由f(0)＝1－eq\f(4,2＋a)＝0，得a＝2.(2)由(1)知，f(x)＝1－eq\f(4,2·2x＋2)＝1－eq\f(2,2x＋1).∵函数g(x)＝(2x＋1)f(x)＋k＝2x＋1－2＋k＝2x－1＋k有零点，∴函数y＝2x的图象和直线y＝1－k有交点，∴1－k>0，即k∈(－∞，1)．(3)∵当x∈(0,1)时，f(x)>m·2x－2恒成立，即1－eq\f(2,2x＋1)>m·2x－2恒成立，亦即m<eq\f(3,2x)－eq\f(2,2x2x＋1)恒成立，令t＝2x，则t∈(1,2)，且m<eq\f(3,t)－eq\f(2,tt＋1)＝eq\f(3t＋1,tt＋1)＝eq\f(1,t)＋eq\f(2,t＋1)恒成立．由于y＝eq\f(1,t)＋eq\f(2,t＋1)在(1,2)上单调递减，∴eq\f(1,t)＋eq\f(2,t＋1)>eq\f(1,2)＋eq\f(2,2＋1)＝eq\f(7,6)，∴m≤eq\f(7,6).故实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,6))).高分推荐题15．(2024·江苏徐州模拟)已知0<a<b<1，则()A．(1－a)eq\s\up15(eq\f(1,b))>(1－a)bB．(1－a)b>(1－a)eq\s