工程力学 课件 第16章 梁的弯曲变形

工程力学

EngineeringMechanics全国高等教育自学考试指导委员会第16章梁的弯曲变形工程力学

EngineeringMechanics16.1梁的挠度和横截面的转角16.2梁的挠曲线近似微分方程梁的弯曲变形对工程中承受弯曲的杆件，

(a)强度条件工作应力不超过材料的许用应力(b)刚度条件变形方面满足要求梁的弯曲变形16.1梁的挠度和横截面的转角xwxOwl挠曲线

对称弯曲时，梁的轴线将变为一条在梁的纵向对称面内的平面曲线，称为梁的挠曲线。挠度

横截面的形心沿与轴线垂直方向的线位移，称为该截面的挠度，用w

表示。转角横截面相对其原来的位置转过的角度，称为此截面的转角，

用θ

表示。梁的弯曲变形16.1梁的挠度和横截面的转角

x轴：变形前的梁轴(向右为正)

w

轴：垂直于x

轴向上的轴(向上为正)

梁各截面处的挠度w

是x的函数，表达式为

w=w(x)称为梁的挠曲线方程。挠度转角的正负号规定在图示坐标系中挠度：向上为正转角：逆时针转向为正挠曲线方程xwxOwl梁的弯曲变形16.1梁的挠度和横截面的转角xwxOwl挠度与转角的关系在小变形情况下挠曲线上任意一点处切线的斜率或其一阶导数等于该点处横截面的转角。挠度的单位：m，cm，mm。转角的单位：rad。梁的弯曲变形16.2梁的挠曲线近似微分方程xwxOwl纯弯曲情况下剪力对变形影响很小，忽略，上式仍成立。在横力弯曲中，弯矩和曲率都随截面位置而变化。横力弯曲梁的弯曲变形16.2梁的挠曲线近似微分方程则挠曲线近似微分方程平面曲线w

=w(x)

的曲率表达式小变形情况下梁的弯曲变形16.2梁的挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程正负号：依赖于所选取的坐标轴、弯矩正负号的规定wxOwxO取正号，挠曲线的近似微分方程应写为线弹性小变形条件下梁的弯曲变形计算的基本微分方程这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，完成教材上的习题。第16章梁的弯曲变形工程力学

EngineeringMechanics16.3用积分法求弯曲变形16.4用叠加法求弯曲变形梁的弯曲变形16.2梁的挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程正负号：依赖于所选取的坐标轴、弯矩正负号的规定wxOwxO取正号，挠曲线的近似微分方程应写为线弹性小变形条件下梁的弯曲变形计算的基本微分方程梁的弯曲变形16.3用积分法求弯曲变形转角方程积分常数C、D由

(a)位移的边界条件(某些截面的已知转角和挠度)和

(b)分段交界截面处的位移连续条件确定。挠曲线方程挠曲线近似微分方程梁的弯曲变形16.3用积分法求弯曲变形l边界条件简支梁悬臂梁l梁的弯曲变形16.3用积分法求弯曲变形位移连续条件挠度、转角都是连续的，

在挠曲线上任意点，

挠度和转角分别有唯一确定的值alABC(分段梁)梁的弯曲变形16.3用积分法求弯曲变形梁的弯曲变形梁的弯曲变形梁的弯曲变形梁的弯曲变形梁的弯曲变形16.4用叠加法求弯曲变形用积分法求梁的变形的缺点(1)如果梁上的载荷很多，就要分段建立弯矩方程。

分段越多，积分常数也越多，

确定积分常数的运算繁琐。(2)在实际的工程问题中，梁上的载荷通常比较复杂，但常常只需要计算某些特定截面的转角和挠度。因此，一般不采用积分法，而采用叠加法计算梁的变形。梁的弯曲变形16.4用叠加法求弯曲变形叠加原理（力的独立作用原理）

梁的支反力、剪力和弯矩、正应力和剪应力以及挠度、转角等，都与梁的载荷成正比。每个载荷单独产生的上述各量，都不受其他载荷作用的影响。若梁内应力不超过材料比例极限，且符合小变形叠加法当梁上有几个载荷共同作用时，某一横截面的转角或挠度等于各个载荷单独作用时该截面的转角或挠度的代数和。梁上几个载荷同时作用时产生的上述各量，

等于各载荷分别单独作用所产生相应各量的代数和。梁的弯曲变形16.4用叠加法求弯曲变形这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，完成教材上的习题。第16章梁的弯曲变形工程力学

EngineeringMechanics16.5梁的刚度条件16.6简单的静不定梁问题梁的弯曲变形16.5梁的刚度条件梁的变形不能超过规定的许可范围——梁的刚度。

(1)桥式吊车大梁在起吊重物时，若梁的挠度偏大，会行驶困难，造成振动。(2)齿轮轴的弯曲变形过大，造成啮合不良，轴与轴承配合不好，传动不平稳，增加轴与轴承之间的磨损。(3)轧辊机的辊轴，若弯曲变形过大，生产出的产品就会厚薄不均，成为废品。梁的弯曲变形16.5梁的刚度条件梁的变形不能超过规定的许可范围——梁的刚度。梁的刚度条件刚度校核的目的为控制梁的变形，使最大挠度和最大转角在规定许可范围内，故梁的刚度条件为和是规定的许用挠度与许用转角梁的弯曲变形16.5梁的刚度条件梁的变形不能超过规定的许可范围——梁的刚度。梁的刚度条件利用弯曲刚度条件，可进行

梁的刚度校核、截面尺寸设计和确定许可载荷等计算。处理工程中梁的弯曲问题，通常须同时考虑强度条件与刚度条件。梁的弯曲变形16.5梁的刚度条件梁的变形不能超过规定的许可范围——梁的刚度。梁的刚度条件梁的弯曲变形16.6简单的静不定梁问题静不定梁未知量数目与独立静力平衡方程数目之差，称为静不定次数。静不定梁就是在原来静定梁的基础上增加约束，

静不定梁比相应的静定梁提高了强度和刚度。梁的约束力中未知量数目多于独立静力平衡方程的数目，

因而仅凭静力平衡方程不能确定全部反力。这种梁称为静不定梁。梁的弯曲变形16.6简单的静不定梁问题多余约束在维持平衡必须约束的基础上额外增加的约束。多余约束多余约束多余约束(限制转动)多余约束梁的弯曲变形16.6简单的静不定梁问题变形比较法解简单静不定梁的步骤可归纳为：（1）根据未知约束力数目和有效平衡方程数目，判定梁的静不定次数；（2）解除多余约束，代之以相应的未知约束力，得到原静不定梁的相当系统；（3）根据多余约束的性质与特点，建立变形协调条件的位移表达式；（4）在相当系统的多余约束处，分别计算由已知外载荷和未知约束力产生的相应位移，并根据变形协调条件建立补充方程；（5）由补充方程解出未知约束力，并由静力学平衡方程确定其他约束力；（6）按要求进行其他计算，诸如内力、应力与位移等。梁的弯曲变形16.6简单的静不定梁问题ACBla(b)梁的弯曲变形例如图(a)所示外伸梁，在外伸端C

处受集中力F

作用，梁的EI、l、a

均为已知。试用叠加法计算截面C

处的挠度与转角。梁在任一截面的总挠度或总转角，等于梁各段单独发生变形时在该截面引起的挠度或转角的总和。解(a)ACBwC1wC2laACB(c)la1.令AB

段不变形，只考虑BC

段的变形ACBla(b)梁的弯曲变形例如图(a)所示外伸梁，在外伸端C

处受集中力F

作用，梁的EI、l、a

均为已知。试用叠加法计算截面C

处的挠度与转角。梁在任一截面的总挠度或总转角，等于梁各段单独发生变形时在该截面引起的挠度或转角的总和。解(a)ACBwC1wC2laACB(c)la2.令BC

段不变形，只考虑AB

段的变形ACBla(b)梁的弯曲变形例如图(a)所示外伸梁，在外伸端C

处受集中力F

作用，梁的EI、l、a

均为已知。试用叠加法计算截面C

处的挠度与转角。(a)ACBwC1wC2laACB(c)la2.令BC

段不变形，只考虑AB

段的变形1.令AB

段不变形，只考虑BC

段的变形3.计算截面C

处的总挠度与总转角（真实方向向下）ACBla(b)梁的弯曲变形例如图(a)所示外伸梁，在外伸端C

处受集中力F

作用，梁的EI、l、a

均为已知。试用叠加法计算截面C

处的挠度与转角。(a)ACBwC1wC2laACB(c)la2.令BC

段不变形，只考虑AB

段的变形1.令AB

段不变形，只考虑BC

段的变形3.计算截面C

处的总挠度与总转角（真实转向为顺时针转向）梁的弯曲变形例悬臂梁受力如图(a)所示，试求梁截面B

的挠度及转角。梁的弯曲刚度为EI。将均布载荷与集中力分开后，如图(b)和(c)所示。解ABl(a)ABl(b)ABl(c)均布载荷q

作用下梁的弯曲变形例悬臂梁受力如图(a)所示，试求梁截面B

的挠度及转角。梁的弯曲刚度为EI。将均布载荷与集中力分开后，如图(b)和(c)所示。解ABl(a)ABl(b)ABl(c)集中力F=ql

作用下梁的弯曲变形例悬臂梁受力如图(a)所示，试求梁截面B

的挠度及转角。梁的弯曲刚度为EI。将均布载荷与集中力分开后，如图(b)和(c)所示。解均布载荷q

作用下集中力F=ql

作用下叠加后得ABl(a)ABl(b)ABl(c)梁的弯曲变形例悬臂梁受力如图(a)所示，试求梁截面B

的挠度及转角。梁的弯曲刚度为EI。将均布载荷与集中力分开后，如图(b)和(c)所示。解均布载荷q

作用下集中力F=ql

作用下叠加后得ABl(a)ABl(b)ABl(c)ACBxwabl解

1.支座反力2.弯矩方程3.挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：例设梁的弯曲刚度EI

为常数。求梁的挠曲线梁的弯曲变形ACBablxwAC段：CB段：梁的弯曲变形ACBxwabl梁的弯曲变形AC段：CB段：边界条件ACBxwabl连续条件梁的弯曲变形AC段：CB段：ACBxwabl梁的弯曲变形AC段：CB段：设a>b，则在ACBxwabl可用中点处挠度作为梁的最大挠度，误差不超过3%。梁的弯曲变形设a>b，则在ACBxwabl梁的弯曲变形lABq(1)确定弯矩方程(2)确定转角和挠度方程例试用积分法求图示梁的转角方程与挠曲线方程，并求最大转角和最大挠度。设梁的弯曲刚度EI为常数。解梁的弯曲变形(3)确定积分常数()()lABq例如图所示梁的弯曲刚度EI

为常数。试计算支座B

的约束力。(1)1次静不定梁。(2)解除B

处多余约束，代之以反力FB

。ABlq静定基相当系统(3)确定B

处的挠度：q

单独作用下：()B

处的

FB

单独作用下：()FBABlq解(4)确定几何方程：()(5)求解梁的弯曲变形例一简支梁，跨度中点受集中载荷F

作用。已知F=35kN，跨度l=4m，许用应力，许用挠度，材料的弹性模量E=