高考数学二轮复习数学思想方法第1讲函数与方程思想课件

第1讲函数与方程思想应用一运用函数相关概念的本质解题例1(2024辽宁模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)=f'(x)-2ex+x也是定义在R上的奇函数,则关于x的不等式g(1-x2)+g(2x+2)>0的解集为(

)A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-1,3) D.(-3,1)A解析

因为g(x)=f'(x)-2ex+x,且g(x)为奇函数,故f'(x)-2ex+x+f'(-x)-2e-x-x=0,故f'(x)+f'(-x)=2ex+2e-x,因为f(x)是定义在R上的奇函数,故f(x)+f(-x)=0,故f'(x)-f'(-x)=0,故f'(x)=ex+e-x,故g(x)=-ex+e-x+x,此时g'(x)=-ex-e-x+1≤-2+1<0,故g(x)为R上的减函数,而g(1-x2)+g(2x+2)>0等价于g(1-x2)>g(-2x-2),即1-x2<-2x-2,即x2-2x-3>0,故x<-1或x>3.故选A.[应用体验1](2024江西南昌二模)已知

则不等式f(x)<2的解集是(

)A.(-∞,2) B.(-∞,3) C.[0,3) D.(3,+∞)B解析

当x<0时,不等式f(x)<2可化为-x2-2x<2,所以x2+2x+2>0,可得x<0;当x≥0时,不等式f(x)<2可化为log2(x+1)<2,所以x+1<4,且x+1>0,所以0≤x<3,所以不等式f(x)<2的解集是(-∞,3),故选B.应用二利用函数性质解不等式、方程问题例2(1)设函数f(x)=sinx+ex-e-x+2,则满足f(x)+f(3-2x)<4的x的取值范围是(

)A.(3,+∞) B.(1,+∞)C.(-∞,3) D.(-∞,1)A解析

设g(x)=f(x)-2=sin

x+ex-e-x,x∈R,则g(-x)=-sin

x+e-x-ex=-g(x),故g(x)是奇函数.又g'(x)=cos

x+ex+e-x≥cos

x+=cos

x+2>0,当且仅当x=0时等号成立,所以g(x)是R上的增函数,则f(x)+f(3-2x)<4等价于f(x)-2<-f(3-2x)+2,而g(2x-3)=-g(3-2x)=-f(3-2x)+2,因此有g(x)<g(2x-3),从而x<2x-3,解得x>3.故选A.(2)(2024北京朝阳一模)已知函数

若实数a,b,c(a<b<c)满足f(a)=f(b)=f(c),则a+b=

;a+b+c的取值范围是

.

2[6,7)解析

由

故f(x)在(-∞,1],(2,+∞)上单调递减,在[1,2]上单调递增,且有f(1)=0,f(2)=1,f(0)=1,f(4)=1,f(5)=0,5-2=3;由f(a)=f(b)=f(c),则0≤a<1<b≤2<4≤c<5,由x∈[0,2]时,f(x)=|x-1|,则f(x)的图象关于直线x=1对称,故a+b=2,则a+b+c=2+c∈[6,7).[应用体验2](2024广东佛山二模)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(1)=2,则满足f(x)+f(-x)>4的实数x的取值范围为

.

解析

由f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递减,故f(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(1)=2,故f(x)>2,可得x∈(-1,1),又f(-x)=f(x),故f(x)+f(-x)>4等价于f(x)>2,故符合条件的x的取值范围为(-1,1).(-1,1)应用三构造函数解决方程、不等式问题例3已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1)=2,且对任意0≤x1<x2,都有

>-1,则不等式f(2x-1)<4-2x的解集为(

)A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,1) D.(0,1)C可得f(x1)+x1<f(x2)+x2,令g(x)=f(x)+x,则函数g(x)=f(x)+x在[0,+∞)上单调递增,又x∈R,且f(x)是定义域为R的奇函数,所以g(-x)=f(-x)-x=-[f(x)+x]=-g(x),所以g(x)为R上的奇函数,所以g(x)在R上是增函数.由f(1)=2,不等式f(2x-1)<4-2x等价于f(2x-1)+(2x-1)<3=f(1)+1,所以g(2x-1)<g(1),所以2x-1<1,解得x<1,故选C.[应用体验3](2024天津二模)已知函数

若∃x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是

.

解析