2025年人教五四新版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教五四新版高二数学下册阶段测试试卷84考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、在正方体ABCD-AlB1C1D1中，P是正方体的底面AlB1C1D1（包括边界）内的一动点（不与A1重合），Q是底面ABCD内一动点，线段A1C与线段PQ相交且互相平分，则使得四边形A1QCP面积最大的点P有（）

A.1个。

B.2个。

C.3个。

D.无数个。

2、现有5种不同颜色的染料；要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是（）

A.120

B.140

C.240

D.260

3、已知关于x的一次函数设则函数是增函数的概率是（）A.B.C.D.4、复数等于A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i5、【题文】若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x等于()A.6B.5C.4D.36、【题文】已知则角所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7、已知函数且函数f(x)的零点均在区间内，圆的面积的最小值是（）A.B.C.D.8、原点和点(1,1)在直线x+y-a=0的两侧，则a的取值范围是（）A.a<0或a>2B.a=0或a=2C.0<2D.评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)9、设椭圆的右焦点为F2，以F2为圆心，F2O为半径的圆与椭圆的右准线相交，则椭圆的离心率的取值范围为____．10、【题文】函数的值域是____．11、【题文】经过点且与直线垂直的直线方程为____．12、【题文】若实数满足且的最小值为则实数的值为_____.13、已知实数x，y满足不等式组则的最小值是______．14、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，有______种染色方法．15、如图所示；AB是圆O的直径，直线MN切圆O于C，CD⊥AB，AM⊥MN，BN⊥MN，给出下列四个结论：

①∠1=∠2=∠3；②AM•CN=CM•BN；③CM=CD=CN；④△ACM∽△ABC∽△CBN．

则其中正确结论的序号是______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共27分)23、一个特殊模具容器横断面如图所示：内壁是抛物线的一部分，外壁是等腰梯形ABEF的两腰AF、BE及底AB围成．已知EF=8厘米，AB=3厘米，点O到EF的距离是8厘米，BE所在直线与抛物线相切于点E．

（Ⅰ）求切线BE的方程和容器的高h；

（Ⅱ）求这个容器横断面的面积（阴影部分）

24、已知不等式x2≤5x-4解集A，关于x的不等式x2-（a+2）x+2a≤0（a∈R）解集为M．

（1）求集合A；

（2）若M⊆A，求实数a的范围．25、已知AB

是抛物线x2=2py(p>0)

上的两个动点，O

为坐标原点，非零向量OA鈫�,OB鈫�

满足|OA鈫�+OB鈫�|=|OA鈫�鈭�OB鈫�|

．

(

Ⅰ)

求证：直线AB

经过一定点；

(

Ⅱ)

当AB

的中点到直线y鈭�2x=0

的距离的最小值为255

时，求p

的值．评卷人得分五、综合题(共3题，共9分)26、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．28、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】

∵线段A1C与线段PQ相交且互相平分；

∴四边形A1QCP是平行四边形；

因AlC的长为定值，为了使得四边形A1QCP面积最大，只须P到AlC的距离为最大即可；

由正方体的特征可知，当点P位于B1、C1、D1时，平行四边形A1QCP面积相等；且最大．

则使得四边形A1QCP面积最大的点P有3个．

故选C．

【解析】【答案】根据平行四边形的判定定理，由于线段A1C与线段PQ相交且互相平分，得出四边形A1QCP是平行四边形，又因AlC的长为定值，为了使得四边形A1QCP面积最大，只须P到AlC的距离为最大即可，再结合正方体的特征可知，当点P位于B1、C1、D1时，平行四边形A1QCP面积相等；且最大．

2、D【分析】

由题意；先涂A处，有5种涂法，再涂B处4种涂法，第三步涂C，若C与A同，则D有四种涂法，若C与A不同，则D有三种涂法，由此得不同的着色方案有5×4×（1×4+3×3）=260种。

故选D

【解析】【答案】可分步研究涂色的种数；从A处开始，再涂B处，C处时进行分类，分A，C相同，与不同两类，由计数原理计算出不同的着色结果数选出正确选项。

3、B【分析】因为关于x的一次函数设则函数是增函数的情况有m>0,6种，而所有的情况有10，因此概率值为选B【解析】【答案】B4、A【分析】【解析】【答案】A5、C【分析】【解析】∵8a-b=(6,3),

∴(8a-b)·c=18+3x=30,x=4,故选C.【解析】【答案】C6、B【分析】【解析】解：因为的真限制小于零，余弦值小于零，说明在第三象限，则在第二象限，故选B【解析】【答案】B7、A【分析】【解答】∵

∴当或时，．

而当时，

∴对任意恒成立，得函数是上的增函数。

∵

∴函数在上有唯一零点

∴的最小值为

∵圆的圆心为原点，半径

∴圆的面积为可得面积的最小值为故选A.8、C【分析】【解答】∵原点和点在直线的两侧，∴(-a)×(2-a)<0，∴0<2，故选C二、填空题(共7题，共14分)9、略

【分析】

∵以F2为圆心，F2O为半径的圆与椭圆的右准线相交；

∴-c＜c⇒a2-c2＜c2⇒a2＜2c2

两边都除以a2，得

∴e＞

∵椭圆的离心率e＜1

∴e的范围是（1）

故答案为：

【解析】【答案】根据题意，右焦点F2到右准线的距离小于圆的半径F2O，进而可得不等式-c＜c；然后将此不等式变形，即可求得离心率e的范围，最后结合椭圆的离心率小于1，综合可得答案．

10、略

【分析】【解析】

试题分析：根据余弦二倍角公式可知所以原函数为

因为所以则函数的值域为

考点：二倍角公式、余弦函数的值域【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】直线的斜率为故所求直线的斜率为从而所求直线方程为．【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】解：满足不等式组可行域如下图所示：

∵表示可行域内任一点与原点连线的斜率；

由图可知当x=y=时，有最小值

故答案为：

先画出满足条件的可行域，再根据表示可行域内任一点与原点连线的斜率，借助图形分析出满足条件的可行域内点的坐标，代入即可得到答案．

本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据已知中的约束条件画出满足条件的可行域，进而利用数形结合分析满足条件的点的坐标，是解答本题的关键．【解析】14、略

【分析】解：设四棱锥为P-ABCD．

下面分两种情况即B与D同色与B与D不同色来讨论；

（1）P：C51，A：C41，B：C31；

B与D同色：D：1，C：C31．

（2）P：C51，A：C41，B：C31；

B与D不同色：D：C21，C：C21．

共有C51•C41•C31•1•C31+C51•C41•C31•C21•C21=420．

故答案为：420

首先给顶点P选色；有5种结果，再给A选色有4种结果，再给B选色有3种结果，最后分两种情况即B与D同色；B与D不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．

本题主要排列与组合及两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属中档题【解析】42015、略

【分析】解：∵AB是圆O的直径；CD⊥AB，∴∠2=∠3；

∵直线MN切圆O于C；∴∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3，①对；

利用△AMN∽△CNB得=∴AM•BN=CM•CN，②错．

利用△AMN≌△ADC；可得CM=CD，△CDB≌△CNB，可得CD=CN，∴CM=CD=CD，③对；

利用等角的余角相等得到△ACM∽△ABC∽△CBN；④对．

故答案为：①③④．

利用圆周角判断①的正误；相似三角形判断②的正误；三角形全等判断③的正误；三角形相似判断④的正误．即可得出结论．

本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【解析】①③④三、作图题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共27分)23、略

【分析】

（Ⅰ）∵EF=8；且EF关于y轴对称，∴点E的横坐标为4；

又∵点E在抛物线上，∴点E的纵坐标是yE=8即E（4；8）

函数的导数为y′=x

∵直线BE与抛物线相切；E为切点；

∴直线BE的斜率k=y'|x=4=4

∴直线BE的方程是y-8=4（x-4）即y=4x-8

∵AB=3，且AB关于y轴对称，∴B的横坐标是

又点B在直线y=4x-8上。

∴点B的纵坐标是

∴h=yE-yB=8-（-2）=10

即容器的高为10厘米。

（Ⅱ）∵EF=8；E点的横坐标为4，∴F点的横坐标为-4．

S梯形ABEF===55

∵直线EF方程为y=8；

∴抛物线与直线EF所围曲边图形面积S=∫-44（8-）dx=（8x-）|-44=

∴容器横断面的面积S=S梯形ABEF-S=55-=

∴这个容器横断面的面积平方厘米。

【解析】【答案】（Ⅰ）欲求切线BE方程；只需求出切点E的坐标和切线斜率，因为EF=8厘米，所以可求E点的横坐标，代入抛物线方程就可求出E点的纵坐标，再根据切线的斜率是曲线在切点处的导数，通过求导，就可求出切线BE的斜率，得到BE的方程．

容器的高h等于直线AB与直线EF之间的距离，也即点B与点F的纵坐标之差的绝对值，由前面已知E点坐标，因为AB=3厘米，所以B点横坐标为又因为B点在直线BE上，代入直线BE方程，就可得到B点纵坐标，求出容器的高h．

（Ⅱ）有图知这个容器横断面的面积为梯形ABEF的面积，减去直线EF与抛物线所围曲边梯形的面积，由（Ⅰ）可知梯形的上下底长和高，易求面积，而曲边梯形的面积即为函数y=8-在区间[-4；4]的定积分，所以阴影面积可求．

24、略

【分析】

（1）先化不等式为标准形式；求得对应方程的根，借助二次函数的图象可得解集；

（2）按两根a；2的大小分情况讨论解得M，由M⊆A，得a所满足的不等式；

本题考查一元二次不等式的解法、集合关系中的参数取值问题，考查分类讨论思想，属基础题．【解析】解：（1）不等式x2≤5x-4可化为x2-5x+4≤0；解得1≤x≤4；

∴A={x|1≤x≤4}；

（2）原不等式等价于（x-a）（x-2）≤0；

若a＜2；则M=[a，2]，要M⊆A，只需1≤a＜2；

若a＞2；则M=[2，a]，要M⊆A，只需2＜a≤4；

若a=2；则M={2}，符合M⊆A．

综上所述，a的取值范围为[1，4]．25、略

【分析】

(

Ⅰ)

欲证直线经过定点，只需找到直线方程，在验证不管参数为何值都过某一定点即可，可根据|OA鈫�+OB鈫�|=|OA鈫�鈭�OB鈫�|

判断直线OAOB

垂直，设AB

方程，根据OAOB

垂直消去一些参数，再进行判断．

(

Ⅱ)

设AB

中点的坐标根据OAOB

垂直，可得AB

中点坐标满足的关系式，再用点到直线的距离公式求AB

的中点到直线y鈭�2x=0

的距离的，求出最小值，让其等于255

解参数p

即可．

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的判断，注意韦达定理的应用．【解析】解：(

Ⅰ)隆脽|OA鈫�+OB鈫�|=|OA鈫�鈭�OB鈫�|

隆脿OA隆脥OB.

设AB

两点的坐标为(x1,y1)(x2,y2)

则x12=2py1x22=2py2

．

经过AB

两点的直线方程为(x2鈭�x1)(y鈭�y1)=(y2鈭�y1)(x鈭�x1).

由y1=x122p,y2=x222p

得(x2鈭�x1)(y鈭�y1)=(x222p鈭�x122p)(x鈭�x1)

．

隆脽x1鈮�x2隆脿y鈭�y1=x2+x12p(x鈭�x1).

令x=0

得y鈭�y1=x2+x12p(鈭�x1)

隆脿y=鈭�x1x22p(*)

隆脽OA隆脥OB

隆脿x1x2+y1y2=0

从而x1x2+x12x224p2=0

．

隆脽x1x2鈮�0(

否则，OA鈫�,OB鈫�

有一个为零向量)

隆脿x1x2=鈭�4p2.

代入(*)

得y=2p

隆脿AB

始终经过定点(0,2p)

．

(

Ⅱ)

设AB

中点的坐标为(x,y)

则x1+x2=2xy1+y2=2y

隆脿x12+x22=2py1+2py2=2p(y1+y2).

又隆脽x12+x22=(x1+x2)2鈭�2x1x2=(x1+x2)2+8p2

隆脿4x2+8p2=4py

即y=1px2+2p.垄脵

AB

的中点到直线y鈭�2x=0

的距离d=|y鈭�2x|5

．

将垄脵

代入，得d=|1px2+2p鈭�2x|5=|1p(x鈭�p)2+p|5=1p(x鈭�p)2+p5

．

因为d

的最小值为255

隆脿p5=255

隆脿p=2

．五、综合题(共3题，共9分)26、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）