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专题突破练12数列解答题123451234512345123452.(15分)(2024福建厦门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=2a1=4,当n∈N*,且n≥2时,Sn+1=3Sn-2Sn-1.(1)证明:{an}为等比数列;12345(1)证明

因为当n≥2时,Sn+1=3Sn-2Sn-1,变形得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1),即an+1=2an,又a2=2a1=4,故an+1=2an在n∈N*上都成立,且a1=2,所以{an}是首项、公比均为2的等比数列.123453.(15分)(2024山西大同模拟)已知等比数列{an}的公比q>1,且a1,a2,a3-1是公差为d的等差数列{bn}的前3项.(1)求q+d的最小值;12345解

(1)由题知a1+a3-1=2a2,即a1+a1q2-1=2a1q,可得a1(q-1)2=1.即q=2时等号成立.所以q+d的最小值为3.12345(2)由(1)知,当q+d取最小值时,q=2,d=1,a1=1,所以an=2n-1,bn=n.123454.(15分)(2024江苏南通二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=an-4an+1,a1=-1.(1)证明:数列{2an+1-an}为等比数列;(2)设,求数列{bn}的前n项和;(3)是否存在正整数p,q(p<6<q),使得Sp,S6,Sq成等差数列?若存在,求p,q;若不存在,请说明理由.12345(1)证明

n∈N*,Sn=an-4an+1,当n≥2时,Sn-1=an-1-4an,两式相减得an=an-an-1-4an+1+4an,即4an+1=4an-an-1,则有2(2an+1-an)=2an-an-1,当n=1时,S1=a1=a1-4a2,则a2=0,即2a2-a1=1≠0,所以数列{2an+1-an}是以1为首项,为公比的等比数列.12345

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