第10章平稳随机信号-1

3.1典型随机过程3.2随机信号通过线性系统分析3.3白噪声通过线性系统3.4随机序列通过离散线性系统§3平稳随机信号通过线性系统13.1典型的随机过程1、白噪声白噪声的功率谱密度和自相关函数

平稳白噪声功率谱密度：白噪声样本函数波形

白噪声相关系数：2、正态随机过程如果一个随机过程X(t)的任意n维分布都服从正态分布，则称该随机过程为正态随机过程。一维分布特征函数

设X(t)是正态随机过程，若有

则X(t)称为广义平稳正态过程。平稳正态过程性质：对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价；不相关与独立等价；一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过程。若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此过程为平稳正态白噪声。满足

例1、设随机过程，其中A、B是两个独立的正态随机变量，且有，，为常数，求此过程的一维概率密度。例2、一零均值高斯过程X(t)，其协方差函数为：求在时刻t1=0、t2=1、t3=2抽样的三维概率密度。3.2随机信号通过线性系统分析微分方程法；冲击响应法；频谱法；3.3白噪声通过线性系统1、冲激响应法

h(t)X(t)Y(t)若X(t)平稳•均值系统的输出

•互相关函数若X(t)平稳当输入X(t)为白噪声，系统的输出

系统h(t)X(t)互相关函数测量系统辨识结构图•自相关函数若X(t)平稳输入输出相关函数关系图平稳情况2频谱法

输入输出相关函数关系图3

平稳性讨论(1)若输入X(t)平稳，h(t)在(-

，+)存在，则输出Y(t)平稳，且与X(t)联合平稳；(2)对于物理可实现系统，即当t<0时，h(t)=0，且假定输入X(t)平稳。•若输入从-

加入(双侧随机信号)结论：输出平稳，若X(t)遍历，则Y(t)遍历•若输入从t=0时加入，(单侧随机信号)结论：输出不平稳例1

如图所示的RC电路，输入为零均值的平稳随机过程,

且相关函数为求输出Y(t)的自相关函数。

X1(t)X2t)6

2

3

2

1FY(t)思考题：

相互独立的随机电压信号X1(t)和X2(t)施加于RC网络。电路中电阻无噪，已知求系统输出的自相关函数和功率谱密度。

CX(t)Y(t)R3.3白噪声通过线性系统•白噪声通过积分系统相关函数：功率谱密度：相关时间：•白噪声通过微分系统RCX(t)Y(t)功率谱密度：相关函数：•白噪声通过理想低通系统|H(

)|K0

-

相关函数：输出功率：输出功率谱：理想低通随机过程的自相关函数

pwc-0pwct)(tYR理想低通随机信号：相关时间：相关系数：•白噪声通过高斯型带通系统0输出功率谱：相关函数：输出功率：-5-4-3-2-1012345-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3高斯型带通随机过程的自相关函数

参量正比与系统带宽，故相关时间与反比。相关时间：相关系数：3.4随机序列通过离散线性系统等效噪声带宽随机序列通过离散线性系统时间序列模型1：噪声等效通能带(等效噪声带宽)0等效原则：理想系统与实际系统在同一白噪声激励下，两个系统的输出平均功率相等，且理想系统的增益为实际系统的最大增益。对于可实现系统，由帕斯瓦尔定理：•对于带通系统离散系统可实现系统•低通性质：(1)噪声等效通能带只由线性系统特性确定；(2)对于带通系统，输出平均功率对于低通系统，输出平均功率(3)当线性系统的形式及级数确定后，噪声等效通能带与3dB带宽有确定关系，级数越高，两者越接近。例1

低通滤波器的单位冲激响应为求系统噪声等效通能带。例2离散时间系统的差分方程为求系统噪声等效通能带。2:

随机序列通过离散线性系统)(nh)(nh)(nX)(nX)(nY)(nY系统输出系统描述均值:若X(n)平稳:相关函数:若X(n)平稳:功率谱密度：若用z变换表示,则例3：设一个平稳随机序列X(n)的自相关函数为，线性系统的单位冲激响应是求输出Y(n)的自相关函数及功率谱密度。3:

常用时间序列模型式中X(n)为零均值、方差为

2的平稳白噪声，模型称为自回归－滑动平均模型，用ARMA(N,r)表示。1、时间序列模型许多随机序列可以看成是典型的白噪声序列激励一个线性系统所产生的，一般表示式为：当系数均为零时，模型称为自回归模型（Autoregressive），用AR(N)表示。，若模型系数多项式的根全在单位圆内，即其根的模都小于1，则AR(N)模型是平稳的。当系数均为零时，模型称为滑动平均模型(MovingAverage)，用MA(r)表示。，若模型系数多项式的根全在单位圆内，即其根的模都小于1，则MA(r)模型是可逆的。例4设有如下差分方程描述的离散线性系统，

X(n)=aX(n-1)+W(n)系统如图所示，其中W(n)为平稳白噪声，方差为

2，模型所产生的随机过程称为AR过程，求一阶AR过程的自相关函数和功率谱。单位延迟X(n)W(n)aX(n-1)单位延迟X(n)W(n)aX(n-1)例5:设有如下差分方程描述的离散线性系统，

X(n)=b0W(n