2024-2025学年浙江省宁波市五校联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1.已知集合，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】，.故选：C.2.下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A选项，的定义域为，故，故为偶函数，A错误；B选项，画出的图象，满足既是奇函数又在0,+∞上单调递减，B正确；C选项，的定义域为R，且，故为偶函数，C错误；D选项，在0,+∞上单调递增，D错误.故选：B.3.设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由命题p为真命题，得，解得，显然，所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由为偶函数可排除A，C；当时，图象高于图象，即，排除B.故选：D．5.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在上分别为增函数，减函数，增函数，故，.故选：A.6.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得且，解得，，令得，此时，故的图像过定点.故选：A.7.若函数对于任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对任意的正实数、，当时，，不妨设，则，即，所以，函数为0,+∞上的增函数，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.8.已知，，且，则的最小值为（）A.9 B.10 C.11 D.13【答案】D【解析】，且，故，当且仅当，即时，等号成立.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】对于选项A：因为，又因为，则，可得，所以，故A错误；对于选项B：因为，又因为，则，可得，所以，故B正确；对于选项C：因为，又因为，则，可得，所以，故C错误；对于选项D：因为，所以，故D正确.故选：BD.10.下列说法中正确的有（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.函数和函数表示同一个函数C.函数的值域为D.函数满足，则【答案】ACD【解析】A选项，令，解得，故函数的定义域为，A正确；B选项，的定义域为，的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误；C选项，令，故，故，，因为，所以在上单调递增，故，函数的值域为，C正确；D选项，满足①，故②，联立①②得，D正确.故选：ACD.11.函数在，上有定义，若对任意，，，有，则称在，上具有性质．设在，上具有性质，下列命题正确有A.在，上的图象是连续不断的B.在，上具有性质C.若在处取得最大值1，则，，D.对任意，，，，，有【答案】CD【解析】对A，反例在，上满足性质，但在，上不是连续函数，故A不成立；对B，反例在，上满足性质，但在，上不满足性质，故B不成立；对C：在，上，，，故，对任意的，，，，故C成立；对D，对任意，，，，，有，，故D成立．故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为________．【答案】且【解析】根据题意得到，且，解得且.13.已知不等式的解集为，则________，函数的单调递增区间为________.【答案】【解析】因为不等式的解集为，所以和是方程的两个根，且，根据韦达定理，对于方程，有，，解得，，此时函数，要使函数有意义，则，解得，令，则，在上单调递增，对于，其对称轴为，所以在上单调递增，根据复合函数“同增异减”的原则，函数的单调递增区间为.14.已知函数，若，，满足，记，则的取值范围为________．【答案】【解析】因为的图象是将在轴下方部分沿轴翻折得到的.满足，则直线在如图所示两条虚线间上下平移.令，即，解得或.令时，解得.令，即，解得或.令时，解得.画出草图如下：由，，知，，，又因为，由函数的对称性，此两点关于对称，则.令，则，，则，，，对称轴为，则在单调递减..则的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.计算：（1）；（2）已知，求的值．解：（1）．（2）由，则有，，所以原式.16.已知函数的图象过点和．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在区间0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明.解：（1）根据题意函数的图象过点和，则，，解得，，则.（2）函数在0,+∞上单调递减，证明：任取，，设，则，又因为，则，，，，则；所以，故函数在0,+∞上为减函数.17.已知集合，.（1）当时，求；（2）已知“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.解：（1），得，所以.，当时，，.（2）因为“”是“”的必要条件，所以.当时，，不符合题意；当，即时，，符合题意；当时，，所以，解得.综上所述：.18.某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供12万元的总收入.已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为万元（今年为第一年）.（1）试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？（2）该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案：①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备；②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备.试问哪一种方案较为划算？请说明理由.解：（1）由题意可知，总收入扣除支出后的纯收入，，解得，由，所以从第三年开始盈利.（2）方案①：纯收入，则5年后盈利总额达到最大值9万元，以1万元的价格卖出该设备，共盈利10万元；方案②：年均盈利，由，，当且仅当，即时等号成立，，当4年后年均盈利达到最大值2万元时，以2万元的价格卖出该设备，共盈利万元.两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.19.已知函数，且.（1）判断函数的奇偶性；（2）若，试判断函数的单调性.并求使不等式在R上恒成立的的取值范围；（3）若，且在上的最小值为，求的值.解：（1）函数的定义域为R，，所以函数是奇函数.（2）由，，得，则，显然函数，在R上单调递增，因此函数是R上的增函数，不等式，则，，，于是，当且仅当时取等号，因此，所以的取值范围是.（3）由，得，而，解得，则，，令，由（2）知，函数是R上的增函数，当时，，，当时，函数在上单调递增，当时，，解得与矛盾；当时，时，，则，所以.浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1.已知集合，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】，.故选：C.2.下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A选项，的定义域为，故，故为偶函数，A错误；B选项，画出的图象，满足既是奇函数又在0,+∞上单调递减，B正确；C选项，的定义域为R，且，故为偶函数，C错误；D选项，在0,+∞上单调递增，D错误.故选：B.3.设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由命题p为真命题，得，解得，显然，所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由为偶函数可排除A，C；当时，图象高于图象，即，排除B.故选：D．5.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在上分别为增函数，减函数，增函数，故，.故选：A.6.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图像过定点（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得且，解得，，令得，此时，故的图像过定点.故选：A.7.若函数对于任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对任意的正实数、，当时，，不妨设，则，即，所以，函数为0,+∞上的增函数，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.8.已知，，且，则的最小值为（）A.9 B.10 C.11 D.13【答案】D【解析】，且，故，当且仅当，即时，等号成立.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】对于选项A：因为，又因为，则，可得，所以，故A错误；对于选项B：因为，又因为，则，可得，所以，故B正确；对于选项C：因为，又因为，则，可得，所以，故C错误；对于选项D：因为，所以，故D正确.故选：BD.10.下列说法中正确的有（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.函数和函数表示同一个函数C.函数的值域为D.函数满足，则【答案】ACD【解析】A选项，令，解得，故函数的定义域为，A正确；B选项，的定义域为，的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误；C选项，令，故，故，，因为，所以在上单调递增，故，函数的值域为，C正确；D选项，满足①，故②，联立①②得，D正确.故选：ACD.11.函数在，上有定义，若对任意，，，有，则称在，上具有性质．设在，上具有性质，下列命题正确有A.在，上的图象是连续不断的B.在，上具有性质C.若在处取得最大值1，则，，D.对任意，，，，，有【答案】CD【解析】对A，反例在，上满足性质，但在，上不是连续函数，故A不成立；对B，反例在，上满足性质，但在，上不满足性质，故B不成立；对C：在，上，，，故，对任意的，，，，故C成立；对D，对任意，，，，，有，，故D成立．故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为________．【答案】且【解析】根据题意得到，且，解得且.13.已知不等式的解集为，则________，函数的单调递增区间为________.【答案】【解析】因为不等式的解集为，所以和是方程的两个根，且，根据韦达定理，对于方程，有，，解得，，此时函数，要使函数有意义，则，解得，令，则，在上单调递增，对于，其对称轴为，所以在上单调递增，根据复合函数“同增异减”的原则，函数的单调递增区间为.14.已知函数，若，，满足，记，则的取值范围为________．【答案】【解析】因为的图象是将在轴下方部分沿轴翻折得到的.满足，则直线在如图所示两条虚线间上下平移.令，即，解得或.令时，解得.令，即，解得或.令时，解得.画出草图如下：由，，知，，，又因为，由函数的对称性，此两点关于对称，则.令，则，，则，，，对称轴为，则在单调递减..则的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.计算：（1）；（2）已知，求的值．解：（1）．（2）由，则有，，所以原式.16.已知函数的图象过点和．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在区间0,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明.解：（1）根据题意函数的图象过点和，则，，解得，，则.（2）函数在0,+∞上单调递减，证明：任取，，设，则，又因为，则，，，，则；所以，故函数在0,+∞上为减函数.17.已知集合，.（1）当时，求；（2）已知“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.解：（1），得，所以.，当时，，.（2）因为“”是“”的必要条件，所以.当时，，不符合题意；当，即时，，符合题意；当时，，所以，解得.综上所述：.18.某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供12万元的总收入.已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为万元（今年为第一年）.（1）试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？（2）该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案：①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备；②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备.试问哪一种方案较为划算？请说明理由.解：（1）由题意可知，总收入扣除支出后的纯收入，，解得，由，所以从第三年开始盈利.（2）方案①：纯收入，则5年后盈利总额达到最大值9万元，以1万元的价格卖出该设备，共盈利10万元；方案②：年均盈利，由，，当且仅当，即时等号成立，，当4年后年均盈利达到最