2025届河南省部分名校阶段性测试高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省部分名校阶段性测试2025届高三上学期11月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由集合即可得.故选：B2.已知复数，若，则的实部与虚部的比值为（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】设,则由可得，化简得，故的实部与虚部的比值为1，故选：C3.已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，由为等差数列，则，，，，解得或（舍去）.故选：C.4.函数在区间上（）A.单调递增 B.单调递减C.先减后增 D.先增后减【答案】D【解析】因即，设，显然，函数在上单调递减，又，由零点存在定理，存在唯一的，使得，当时，，则，此时在上单调递增；当时，，则，此时，在上单调递减.即函数在区间上先增后减.故选：D.5.放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，即，即.故选：A.6.若函数在时取得极小值，则的极大值为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】由函数，求导可得，由题意可得，则，解得，所以，则，，令，解得或，可得下表：f极大值极小值则函数的极大值为.故选：D.7.若函数在区间上有唯一极值点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函数，求导可得，由题意可得方程在区间上存在唯一解，由方程，解得，由题意取原点附近相邻的两个解，即当时，；当时，，①令，解得；②令，无解.故选：B8.在中，角所对的边分别为，已知，点在所在的平面内，满足，且，则（）A.有最大值10 B.有最小值10C有最大值 D.有最小值【答案】D【解析】由，则，即，，故，由、都为单位向量，故平分，故，则，则，当且仅当时，等号成立，即，即有最小值.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.与有相同的最小正周期B.与有相同的最大值C.与的图象有相同的对称轴D.将的图象绕点旋转可得到的图象【答案】ABD【解析】对于，和中的均为，由知，和的最小正周期相同，故A正确；对于，当时，；当时，，故B正确；对于，令得，的对称轴方程为，令得，的对称轴方程为，和的对称轴不相同，故C错误；对于D，设的关于点的对称函数为，则图象上任意一点关于点的对称点在图象上，，化简得，图象绕点族转后可得到的图象，故D正确；故选：ABD.10.如图，是边长为1的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（）A.的值不可能大于1 B.C.的最小值为 D.的最大值为1【答案】BD【解析】对于A，过点作交延长线于，过点作交于，作图如下：在平行四边形中，，由，则，故A错误；对于B，，故B正确；对于C、D，作图如下：，在等边三角形中，易知，则，，设与的夹角为，易知，则，所以，故C错误，D正确.故选：BD.11.已知数列满足，且则（）A. B.C.当时， D.【答案】ACD【解析】由可得；即，，所以，因此，；累乘可得；所以，即，可得，即A正确；B错误；当时，，所以可得；又可得，即，可知C正确；由可得，又，，因此，又时，易知，所以，即可得，即D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，使得，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由，使得，即在上能成立，即要求在上的最小值.因在上为增函数，故，故得，即实数的取值范围为.故答案为：[1,+∞).13.如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为，则______.【答案】【解析】由题可知，，所以，因为，即，又因为，所以，故答案为：.14.已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的最大值为______.【答案】【解析】设，因为均为上增函数，故为上的奇函数，又，由不等式可化为，即，故，故的解集中有且仅有2个整数，故的解集中有且仅有2个整数，设，则，则当时，h'x<0；当时，h故hx在0,1上为减函数，在1,+故，故的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且.（1）证明：等差数列；（2）求数列的前项和.（1）证明：因为是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，即，又，所以是首项为，公差为的等差数列.（2）解：由（1）知，所以，所以，则，上述两个等式作差可得，故.16.在中，内角所对的边分别为，已知，且（1）求；（2）若的外接圆半径为，周长为，且，求.解：（1）因为,故，所以.因为，所以，又，所以.（2）由正弦定理可知，因为，所以，所以.所以又，所以，所以，故.17.已知函数（1）求的图象在点处的切线方程；（2）若在区间上单调递减，求的取值范围.解：（1）由题可知，则，又，故的图象在点处的切线方程为.（2）令，则.当时，，故在上存在零点，记其中最小的零点为，则在上恒为正，在上单调递增，故在上单调递增，故在上单调递增，不符合题意当时，在上有，故在上单调递减，即在上单调递减.故在上单调递减，符合题意故的取值范围为.18.已知函数.（1）当时，求的零点个数；（2）设，函数.（i）判断的单调性；（ii）若，求的最小值.解：（1）由题可知，则，令，可得，当时在单调递减，当时在单调递增，，又，即在和内各有一个零点，有2个不同的零点.（2）（i）由题可知，则令，可得或，当时，，当时，，在上单调递增，在和上单调递减.（ii）由，可得是关于的方程的两个不同的实根，故，即.故，设，当时，，为上的增函数，的最小值为，故的最小值为.19.设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积.（1）若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及；（2）若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项；（3）若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列.（1）解：为等积数列，.；（2）证明：当时，是公共积为的等积数列，，又.又，，即原命题得证；（3）解：设是公共积为1的等积数列，且，对任意的，都存在正整数，使得，，这项均为中的项，由题可知，，必有，又，是公比为的等比数列.是公比为的等比数列.河南省部分名校阶段性测试2025届高三上学期11月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由集合即可得.故选：B2.已知复数，若，则的实部与虚部的比值为（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】设,则由可得，化简得，故的实部与虚部的比值为1，故选：C3.已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，由为等差数列，则，，，，解得或（舍去）.故选：C.4.函数在区间上（）A.单调递增 B.单调递减C.先减后增 D.先增后减【答案】D【解析】因即，设，显然，函数在上单调递减，又，由零点存在定理，存在唯一的，使得，当时，，则，此时在上单调递增；当时，，则，此时，在上单调递减.即函数在区间上先增后减.故选：D.5.放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，即，即.故选：A.6.若函数在时取得极小值，则的极大值为（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】由函数，求导可得，由题意可得，则，解得，所以，则，，令，解得或，可得下表：f极大值极小值则函数的极大值为.故选：D.7.若函数在区间上有唯一极值点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函数，求导可得，由题意可得方程在区间上存在唯一解，由方程，解得，由题意取原点附近相邻的两个解，即当时，；当时，，①令，解得；②令，无解.故选：B8.在中，角所对的边分别为，已知，点在所在的平面内，满足，且，则（）A.有最大值10 B.有最小值10C有最大值 D.有最小值【答案】D【解析】由，则，即，，故，由、都为单位向量，故平分，故，则，则，当且仅当时，等号成立，即，即有最小值.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.与有相同的最小正周期B.与有相同的最大值C.与的图象有相同的对称轴D.将的图象绕点旋转可得到的图象【答案】ABD【解析】对于，和中的均为，由知，和的最小正周期相同，故A正确；对于，当时，；当时，，故B正确；对于，令得，的对称轴方程为，令得，的对称轴方程为，和的对称轴不相同，故C错误；对于D，设的关于点的对称函数为，则图象上任意一点关于点的对称点在图象上，，化简得，图象绕点族转后可得到的图象，故D正确；故选：ABD.10.如图，是边长为1的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（）A.的值不可能大于1 B.C.的最小值为 D.的最大值为1【答案】BD【解析】对于A，过点作交延长线于，过点作交于，作图如下：在平行四边形中，，由，则，故A错误；对于B，，故B正确；对于C、D，作图如下：，在等边三角形中，易知，则，，设与的夹角为，易知，则，所以，故C错误，D正确.故选：BD.11.已知数列满足，且则（）A. B.C.当时， D.【答案】ACD【解析】由可得；即，，所以，因此，；累乘可得；所以，即，可得，即A正确；B错误；当时，，所以可得；又可得，即，可知C正确；由可得，又，，因此，又时，易知，所以，即可得，即D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，使得，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由，使得，即在上能成立，即要求在上的最小值.因在上为增函数，故，故得，即实数的取值范围为.故答案为：[1,+∞).13.如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为，则______.【答案】【解析】由题可知，，所以，因为，即，又因为，所以，故答案为：.14.已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的最大值为______.【答案】【解析】设，因为均为上增函数，故为上的奇函数，又，由不等式可化为，即，故，故的解集中有且仅有2个整数，故的解集中有且仅有2个整数，设，则，则当时，h'x<0；当时，h故hx在0,1上为减函数，在1,+故，故的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且.（1）证明：等差数列；（2）求数列的前项和.（1）证明：因为是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，即，又，所以是首项为，公差为的等差数列.（2）解：由（1）知，所以，所以，则，上述两个等式作差可得，故.16.在中，内角所对的边分别为，已知，且（1）求；（2）若的外接圆半径为，周长为，且，求.解：（1）因为,故，所以.因为，所以，又，所以.（2）由正弦定理可知，因为，所以，所以.所以又，所以，所以，故.17.已知函数（1）求的图象在点处的切线方程；（2）若在区间上单调递减，求的取值范围.解：（1）由题可知，则，又，故的图象在点处的切线方程为.（2）令，则.当时，，故在上存在零点，记其中最小的零点为，则在上恒为正，在上单调递增，故在上单调递增，故在上单调递增，不符合题意当时，在上有，故在上单调递减，即在上单调递减.故在上单调递减，符合题意故的取值范围为.18.已知函数.（1）当时，求的零点个数；（2）设，函数.（i）判断的单调性；（ii）若，求的最小值.解：（1）由题可知，则，令，可得，当时在单调递减，当时在单调递增，，又，即在和内各有一个零点，有2个不同的零点.（2）（i）由题可知，则令，可得或，当时，，当时，，在上单调递增，在和上单调递减.（ii）由，可得是关于的方程的两个不同的实根，故，即.故，设，当时，，为上的增函数，的最小