《电工电子技术》课件第3章

第3章正弦交流电路3.1正弦交流电的三要素3.2正弦量的相量表示法3.3单一参数的正弦交流电路3.4多参数的正弦交流电路3.5串联与并联谐振3.6交流电路的功率及功率因数3.7三相电路小结习题3.1正弦交流电的三要素

电路中按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦量。对正弦量的描述，可以采用正弦(余弦)函数，也可以用波形图等其他方法。正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据。

图3-1所示的一段电路中有正弦电流i，在图示参考方向下，其数学表达式定义如下:

(3-1)

式中，3个常数Im、ω和fi称为正弦量的三要素。图3-1一段正弦电流电路正弦量随时间变化的图形称为正弦波。图3-2是正弦电流i的波形图(fi>0)，横轴可以用时间t表示，也可以用ωt(rad)表示。图3-2正弦电流i的波形图(fi>0)3.1.1振幅

Im称为正弦量的振幅，它是正弦量所能达到的最大值，即当sin(ωt+fi)=1时，有

imax=Im

(3-2)

这也是正弦量的极大值。当sin(ωt+fi)=－1时，将有最小值(也是极小值)imin=－Im。imax－imin=2Im

称为正弦量的峰-峰值。工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应换算为等效的直流量，以衡量和比较周期电流或电压的效应，这一等效的直流量就称为周期量的有效值，用相对应的大写字母表示。例如，周期量i的有效值I定义如下：

(3-3)

式(3-3)表示：周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值的平方根。因此，有效值又称为均方根值。式(3-3)的定义是周期量有效值普遍适用的公式。当电流i是正弦量时，可以推出正弦量的有效值与正弦量的振幅之间的特殊关系。此时有

由于，代入上式后得

(3-4)所以正弦量的有效值与其最大值之间有的关系。根据这一关系常将正弦量i改写成如下形式:

(3-5)

式中，I、ω、fi也可用来表示正弦量的三要素。正弦量的有效值与正弦量的频率和初相无关。工程中使用的交流电气设备铭牌上标出的额定电流、电压的数值，以及交流电压表、电流表表面上标出的数字等都是有效值。

【例3-1】振幅为2.82A的正弦电流通过500Ω的电阻，试求该电阻消耗的功率P。

解电流的有效值为

I=0.707Im=0.707×2.82=2A

根据有效值的定义，振幅为2.82A的正弦电流与2A的直流电流的热效应相等，故

P=I2R=22×500=2000W=2kW3.1.2频率与周期

随时间变化的角度ωt+fi称为正弦量的相位，简称相角。ω称为正弦量的角频率，它是正弦量的相位随时间变化的角速度，即

(3-6)

单位为rad/s(弧度/秒)。它与正弦量的周期T和频率f之间的关系为

(3-7)

频率f的单位为1/s(1/秒)，称为Hz(赫兹，简称赫)。我国工业化生产的电能为正弦电压源，其频率为50Hz。工程中还常以频率区分电路，如低频电路、高频电路、甚高频电路等。3.1.3初相位与相位差

fi是正弦量在t=0时刻的相位，称为正弦量的初相位(角)，简称初相，即

(ωt+fi)|t=0=fi

(3-8)

初相的单位用弧度或度表示，通常在主值范围内取值，即

|fi|≤180°。初相与计时零点的选择有关。对任一正弦量，

初相是允许任意指定的，但对于一个电路中许多相关的正

弦量，它们只能相对于一个共同的计时零点确定各自的

相位。电路中常引用“相位差”的概念描述两个同频正弦量之间的相位关系。例如，设两个同频正弦电流i1、电压u2分别为两个同频正弦量的相位差等于它们的相位相减的结果。例如，设j12表示电流i1与电压u2之间的相位差，则有

相位差也是在主值范围内取值。上述结果表明：同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，为一个与时间无关的常数。电路中常采用“超前”和“滞后”等概念来说明两个同频正弦量相位比较的结果。当j12>0时，称i1超前u2；当j12<0时，称i1滞后u2；当

j12=0时，称i1和u2同相；当|j12|=π/2时，称i1与u2正交；当|j12|=π时，称i1、u2彼此反相。

相位差可以通过观察波形来确定。在同一个周期内两个波形与横坐标轴的两个交点(正斜率过零点或负斜率过零点)之间的坐标值即为两者的相位差，先到达零点的为超前波。图3-3中为i1滞后u2。相位差与计时零点的选取、改变无关。图3-3同频正弦量的相位差3.2正弦量的相量表示法

3.2.1复数

1．复数的四种表示形式

1)复数的代数形式

复数的代数形式为

A=a+jb(3-9)

式(3-9)可用来表示一个复数，a称为复数A的实部，b称为复数A的虚部，j=是复数中的虚数单位。每个复数A=a+jb在复平面上都有一点A(a，b)与之对应，如图3-4所示。图3-4复平面图中，横轴表示复数的实部，称为实轴，以+1为单位；纵轴表示复数的虚部，称为虚轴，以+j为单位。在该复平面上，点A的横坐标等于复数的实部a，纵坐标等于复数的虚部b。

图3-4中，由原点指向点A的向量OA也与复数A对应，其实部为a，虚部为b。

是复数的大小，称为复数的模；称为辐角，是复数与实轴正方向间的夹角。

2)复数的三角形式

由a=rcosy，b=rsiny，得

(3-10)

3)复数的指数形式

根据欧拉公式:

则

(3-11)

4)复数的极坐标形式

可将式(3-10)表示的复数写成极坐标形式:

A=r∠y(3-12)

以上关于复数的四种表示方法可以互相转换使用。

【例3-2】试将下列复数的极坐标式转换为代数式：

(1)A=9.5∠73°；

(2)A=13∠112.6°。

解将极坐标式转换为代数式，有:

(1)A=9.5∠73°=9.5cos73°+j9.5sin73°=2.78+j9.1

(2)A=13∠112.6°=13cos112.6°+j13sin112.6°=-5+j12【例3-3】试将下列复数的代数式转换为极坐标式：

(1)A=5+j5；

(2)A=4-j3。

解将代数式转换为极坐标式，有:

2．复数的运算

1)加减运算

复数的加减运算用复数的直角坐标式比较方便，运算时实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。例如，有两个复数:

A=a1+jb1,

B=a2+jb2

则

A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)

(3-13)

即当几个复数进行加减运算时，其和(差)的实部等于几个复数的实部相加(减)，和(差)的虚部等于几个复数的虚部相加减)，结果仍为复数。

2)乘除运算

复数的乘除运算用复数的指数式或极坐标式比较方便。相乘运算时，乘积的模等于各复数的模相乘之积，积的辐角等于各复数辐角相加之和；相除运算时，商的模等于各复数的模相除之商，商的辐角等于各复数辐角相减之差。例如，有两个复数:

则

(3-14)

(3-15)

【例3-4】已知A=20∠-60°，B=8.66+j5，求AB、

和A+B。

解

A的代数形式为A=10-j17.32，B的极坐标形式为B=10∠30°。3.2.2正弦交流量的相量表示法

一个正弦量由三要素来确定，分别是频率、幅值和初相。因为在同一个正弦交流电路中，电动势、电压和电流均为同频率的正弦量，即频率是已知或特定的，可以不必考虑，所以只需确定正弦量的幅值(或有效值)和初相位就可表示正弦量。

一个复数的四种表达方式均要用两个量来描述，不妨用它的模代表正弦量的幅值或有效值，用辐角代表正弦量的初相，于是得到一个表示正弦量的复数，这就是正弦量的相量表示法。例如，正弦电流：

其振幅相量为

(3-16)

其中，Im为正弦电流的幅值，辐角为该正弦电流的初相。同样地，也有电压振幅相量。相量只是一个复数，但它有特殊的意义，它代表一个正弦波。为了与一般的复数有所区别，通常在这个相量的字母上端加一点，如上所示。在正弦稳态电路中也能用有效值相量表示正弦量。正弦电流的有效值I与振幅Im之间有关系，因此

(3-17)

式(3-17)中，称为电流有效值相量。在实际应用中，正弦量更多地用有效值表示。以下凡无下标“m”的相量均指有效值相量。

正弦量可以用相量表示，但必须注意，相量只是表示正弦量的一种数学工具，两者仅仅是一一对应关系，相量并不等于正弦量。相量是复数，可采用复数的各种数学表达形式和运算规则。对于复数的四种表示形式，相量有与之对应的四种表示形式。例如，对应于，有

(3-18)

其中，

【例3-5】若i=141.4sin(314t+30°)A，

u=311.1sin(314t－60°)V，试写出代表这些正弦电流的有效值相量。

解代表i的有效值相量是，代表u的有效值相量是

下面研究相量和正弦量之间的内在联系。

正弦电流。由复数的指数形式和三角形式有从上式可以看出，正弦电流i是复函数的虚部，引用复数取虚部运算“Im［］”，则正弦电流i可表示为

(3-19)

因此，正弦交流量就是相应的相量乘以因子后取其虚部而得的结果。所以，要从电流的有效值相量求出它的瞬时值I，只需把I值和yi代入式(3-19)中即可。式(3-19)中，复指数函数ejωt是模为1、辐角为ωt的复数，它在复平面上可用一个以恒定角频率ω按逆时针方向旋转的单位向量表示，通常称为旋转因子。因此，表示一个在复平面中以恒定角频率ω按逆时针方向旋转的长度为

的相量，故称为旋转相量。由此可知，正弦量在任何时刻的瞬时值等于对应旋转相量同一时刻在虚轴上的投影，如图3-5所示。图3-5复平面中的旋转相量

【例3-6】已知同频正弦电压相量为

频率f=50Hz。试写出它们对应的函数表达式。

解由题可得

将题中所给出的相量转换为极坐标形式:因此得3.2.3相量图

为了能更明确地表示相量的概念，可以把几个同频率正弦量的相量表示在同一复平面上。这种在复平面上按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量图形，叫做相量图，如图3-6所示。图3-6相量图

【例3-7】已知u1=141sin(ωt+60°)V，

u2=70.7sin(ωt－45°)V。

(1)求相应的相量；

(2)求两电压之和的瞬时值u(t)；

(3)画出相量图。

解

(1)u1、u2对应的有效值相量分别为

(2)两电压频率相同，可以进行加减运算。两电压对应相量的和为

由此求得电压和对应的有效值相量。其对应的瞬时值表达式应为

(3)按一定比例画出、、的相量图，如图3-7所示。由于u1的初相位ψ1=60°，故位于正实轴逆时针方向转60°的位置。u2的初相位ψ2=－45°，故位于正实轴顺时针方向转45°的位置。长度分别等于有效值U1和U2，总电压相量位于和组成的平行四边形的对角线上。图3-7例3-7图

3.3单一参数的正弦交流电路

3.3.1电阻元件的交流电路

若电路中电阻参数的作用远大于其他元件参数，则此电路称为纯电阻交流电路，如实际生活中含有白炽灯、电烙铁等的电路。纯电阻交流电路可用如图3-8(a)所示的电路来表示。图3-8电阻元件的交流电路选择电压、电流为关联参考方向，根据欧姆定律，于是有u=Ri。选择电流为参考量，设流过电阻的电流为

i=Imsin(ωt)

于是

其中，Um=RIm，还可以写成:

(3-20)下面直接表示出电压相量、电流相量之间的关系，便于今后分析一般的正弦电路。设电压、电流有效值相量分别为

其比值为

(3-21)

将式(3-20)代入，得

(3-22)

式(3-22)为欧姆定律的相量表示。电压和电流的相量图如图

3-8(c)所示。下面分析电路中的功率。

电路在某一瞬间吸收或放出的功率称为瞬时功率，为该瞬间电压与电流的乘积，用小写字母pR表示。设

则根据定义，瞬时功率为

(3-23)

pR的变化曲线如图3-8(d)所示。从图中可看出，瞬时功率始终为正值：当u、i同处于正半周期、为正值时，瞬时功率为正数；当u、i同处于负半周期、为负值时，瞬时功率也为正数。这表明，电阻是一种耗能元件，始终从电源吸收电能，并将能量转化为热能，是一种不可逆的能量转换。工程上通常用瞬时功率在一个周期内的平均值来表示电路所消耗的功率，称为平均功率，用大写字母PR表示。

电阻电路的平均功率为

(3-24)

式(3-24)与直流电路的公式在形式上是一样的。通常各交流电器上的功率都是指其平均功率。由于它是电路实际消耗的功率，因此又称为有功功率。

【例3-8】把一个100Ω的电阻元件接到频率为100Hz、电压有效值为10V的正弦交流电源上，电流是多少？如果保持电压值不变，而电源频率改变为200Hz，这时电流将变为多少？

解因为电阻与频率无关，所以电压有效值保持不变，电流有效值不变，即

【例3-9】已知电炉丝的电阻为5Ω，电源电压为

ω=314rad/s，求电流i及当ωt=15°时的瞬时功率pR及平均功率PR。

解

3.3.2电感元件的交流电路

若电路中电感参数的作用远大于其他元件参数，则此电路称为纯电感交流电路。对于一个将漆包线密绕在用非铁磁性材料做成的骨架上所构成的线性电感线圈，可以忽略导线的电阻及电容，成为一个线性的纯电感元件。通常用如图

3-9(a)所示的电路来表示纯电感交流电路。图3-9电感元件的交流电路电感线圈中有正弦电流通过时，其线圈内外会建立磁场并产生磁通Φ。设线圈匝数为N，电流i通过线圈所产生的磁通的总和为

Ψ=NΦ

式中，Ψ称为磁链。定义

式中，L是一个与Ψ、i及t无关的正值常数，称为线圈的自感系数，也称电感。国际单位制中，电感的单位是亨利，简称亨，符号为H，也可以用毫亨，符号为mH。它们的关系是:

1mH=10－3H

在图3-9(a)所示的电感中，电感端电压u和电流i在关联参考方向下，由电磁感应定律可知，电路产生的电动势为

于是在线圈两端出现电压uL。规定eL、uL和i的参考方向相同。根据基尔霍夫定律，线圈的端电压为

(3-25)

设电感中的电流为i=Imsin(ωt)，选择电压、电流的关联参考方向，根据电感上电压、电流的关系式，可得电感电压为其中，Um=ωLIm，ψu=90°，上式还可以写成

(3-26)

由此可见，在电感元件的交流电路中，电压和电流是两个同频率的正弦量；电压、电流的幅值(及有效值)之比为ωL，设XL=ωL，称为感抗；在关联参考方向下，电压超前电流90°，或者说电流滞后电压90°。电压、电流波形如图

3-9(b)所示。在式(3-26)中，当电压一定时，XL越大，则电流I越小，可见感抗对电流有阻碍作用。ω的单位是rad/s，L的单位是H，则感抗的单位是Ω。XL与R具有同样的单位。

用相量表示电压与电流的关系，则有

(3-27)

电感上电压和电流的相量图如图3-9(c)所示。设纯电感线圈的电流为i=Imsinωt，根据电压与电流的相互关系，电感的瞬时功率为

(3-28)

可见，p是一个幅值为UI、以2ω的角频率随时间交变的正弦量，其波形如图3-9(d)所示。电感元件的平均功率为

(3-29)

式(3-29)进一步说明了电感元件中没有能量的损耗，只有电感和外电路进行能量互换，可采用无功功率QL来度量。规定电感的无功功率等于瞬时功率的幅值，也就是等于电感元件两端电压的有效值U与电流有效值I的乘积。即

(3-30)

【例3-10】如图3-10(a)所示的电阻、电感串联电路中，已知正弦电流i=2

sin(20t)A，R=30Ω，L=2H，试求正弦电压uR、uL、u，并画出相量图。图3-10例3-10图解正弦电流的相量为

电感元件的感抗为

可求得电阻电压的相量为可求得电感电压的相量为

则电阻、电感电压的瞬时值表达式为由KVL得，总电压为

【例3-11】设有一线圈，其电阻可忽略不计，电感L=35mH，在频率为50Hz的电压=110V的作用下，求：

(1)线圈的感抗XL；

(2)电路中的电流及其与的相位差j；

(3)线圈的无功功率QL；

(4)在周期中线圈储存的磁场能量WL。3.3.3电容元件的交流电路

若电路中电容参数的作用远大于其他元件参数，则此电路称为纯电容交流电路。如果将一个介质损耗和电感都很小的电容器接在交流电路中，就可以忽略其电阻及电感，成为一个线性的纯电容元件。通常用如图3-11(a)所示的电路来表示纯电容交流电路。

电容元件是实际电容器的理想化模型，用来表示电路中存储电场能这一物理性质的理想元件。电容器可由两块金属板用介质隔开所构成，在外电源的作用下，两块极板上分别存储等量的异性电荷，因此在两极板间形成电场。电容器是一种能积聚电荷、存储电场能量的器件。电压u越高，则聚集的电荷越多，产生的电场就越强，存储的电场能也就越多。电荷与电压的关系为

或下面讨论电容在交流电路中的伏安关系。

设电容元件两端的电压u=Umsin(ωt)为参考正弦量，取电容电压与电流的关联参考方向，如图3-11(a)所示，则电容电流为

其中，Im=ωCUm，ψi=90°，还可以写成

(3-31)由此可见，在电容元件的交流电路中，电压和电流是两个同频率的正弦量；电压、电流的幅值(及有效值)之比为

设称为容抗；在关联参考方向下，电流超前电压90°，或者说电压滞后电流90°。电压、电流波形如图3-11(b)所示(取ψu=0)。

在式(3-31)中，当电压一定时，XC越大，则电流I越小。可见，容抗对电流有阻碍作用。ω的单位是rad/s，L的单位是H，则容抗的单位是Ω。XC、XL与R具有同样的单位。图3-11电容元件的交流电路容抗XC与电容C、频率f成反比。在同样的电压下，电容C越大，电容器能容纳的电量就越大，因而电流就越大；在同样的电压下，频率越高，电容元件的充放电就进行得越快，单位时间内电荷的移动量就越多，因而电流就越大。电容在直流电路中，因f=0，故表现在容抗上，XC→0，可看做开路。由此可知，电容具有高频短路、直流开路的性质。下面用相量表示电压与电流的关系，则有

(3-32)

式(3-32)同时反映了电容上电压和电流的幅值关系和相位角关系。其电压和电流的相量图如图3-11(c)所示。下面分析电容电路中的功率问题。取电容电压为参考正弦量，即电压u满足

纯电容电路的瞬时功率为

(3-33)由此可知，电容元件的瞬时功率也是一个幅值为UI、角频率为2ω的随时间改变的正弦量，如图3-11(d)所示。其平均功率为

(3-34)

式(3-34)说明电容元件是不消耗能量的，和电感元件一样，它与外电路之间只发生能量的互换。这个能量互换的规模则由无功功率来度量，它等于瞬时功率的幅值，即

(3-35)

【例3-12】已知电源电压

将R=100Ω的电阻、L=1H的电感、C=100μF的电容分别接到电源上。试分别求出通过各元件的电流相量

并写出各电流iR、iL和iC的函数式。

解取电源电压相量为参考相量

则有由此可得

3.4多参数的正弦交流电路

3.4.1基尔霍夫定律的相量形式

基尔霍夫电流定律(KCL)的时域表达式为

对于正弦稳态电路，由于各电流都是同频的正弦量，因此上式可写为由于上式对任何t成立，并且ejωt恒不为零，因此有

(3-36)

这就是KCL的相量形式。它表示正弦稳态电路中流出(或流入)任一节点或封闭面的各支路电流相量的代数和为零。相应地，KVL的时域表达式为

同理，对于正弦稳态电路，有

(3-37)

这就是KVL的相量形式。它表示正弦稳态电路中任一闭合回路的各支路电压相量的代数和为零。3.4.2电路元件伏安关系的相量形式

3.3节中已经分别讨论了电阻、电感、电容这三种基本元件的正弦交流电路，得出了它们各自的相量关系式，即在关联参考方向下，有

(3-38)我们把同一元件的电压相量与电流相量的比值定义为该元件的阻抗，并用Z来表示，单位为Ω，即

(3-39)

因此，电阻、电感、电容这三种基本元件的阻抗为

(3-40)其中，XL=ωL，称为电感的电抗，简称感抗；

称为电容的电抗，简称容抗。

Z是一个复数，它同样也有以下四种表示形式:

(3-41)

式中，|Z|是Z的模，即阻抗模；j是Z的辐角，即阻抗角；X称为电抗。3.4.3

RLC串联交流电路

如图3-12所示，串联电路在正弦电压u的作用下有大小为

i的正弦电流流经，在三个元件上分别引起电压uR、uL和uC，其参考方向如图中所示。图3-12

RLC串联交流电路根据基尔霍夫电压定律，有

u=uR+uL+uC

因为uR、uL、uC和u均是同频率的正弦电压，所以可以写成基尔霍夫电压定律的相量形式:

(3-42)设相量电流为，根据电阻、电感和电容元件伏安关系的相量形式，有

则

(3-43)

式中:

(3-44)

X称为串联交流电路的电抗。

RLC串联电路中也可采用相量作图的方法，利用几何图形求电压与电流的大小与相位关系。相量图如图3-13(a)所示。图3-13

RLC串联交流电路相量图先取电流相量为参考相量，再根据电阻、电感和电容上的电压与电流间的相位关系作出电压相量，接下来作与同相，作超前90°，作滞后90°，然后根据平行四边形法则或三角形法则，将、、进行相量相加，就得到了端电压相量。图3-13(a)中

为电抗压降。、、组成一个三角形，如图3-13(b)所示。其中:

(3-45)可见，|Z|、R、X之间符合直角三角形关系，如图3-14所示。该三角形是阻抗三角形，从而可以求出三角形中的其他参数，如

(3-46)

由式(3-46)可知，当频率一定时，相位差j的大小决定了电路的参数及电路的性质。

当XL>XC时,j>0,这时电流滞后电压j

，该电路呈电感性；

当XL<XC时,j<0,这时电流超前电压j

，该电路呈电容性；

当XL=XC时,j=0,这时电流与电压同相，该电路呈电阻性。图3-14阻抗三角形综合以上分析，可以得出如下结论:

(1)RLC串联电路中各电压和电流都是同频率的正弦量。

(2)总电压u的幅值(或有效值)与电流i的幅值(或有效值)成正比，比例系数为阻抗的模|Z|，但电压和电流的瞬时值不成正比，即

(3)电路的阻抗角j是总电压u和电流i之间的相位差，它只与电路频率及参数R、L、C有关。

(4)交流电路中，基尔霍夫定律只适用于瞬时值和相量表达式，不能用于有效值和最大值。

【例3-13】在如图3-12所示的RLC串联电路中，设在工频下，I=10A，UR=80V，UL=180V，UC=120V。

(1)求总电压U；

(2)求电路参数R、L、C；

(3)求总电压与电流的相位差；

(4)画出相量图。

解

(1)总电压U为

(2)电路各参数如下：

电阻:

感抗：电感:

容抗:

电容:

(3)总电压与电流的相位差为

(4)以电流为参考相量，画出电压、电流相量图，如图

3-15所示。图3-15例3-13图3.4.4

RLC并联交流电路

图3-16所示为由电阻R、电容C和电感L组成的三条支路并联而成的交流电路。下面采用相量法来分析。图3-16

RLC并联交流电路在该并联电路中，因各支路的端电压相等，故可选取端电压为参考正弦量或参考相量，即设

其相量形式为各支路中产生电流的参考方向如图3-16所示，各电流相量分别为

(3-47)由式(3-47)可知，电阻支路的电流与电压同相；电感支路的电流滞后于电压90°；电容支路的电流超前于电压90°。

由各支路电流，可根据KCL的相量形式求出总电流的关系式，即

(3-48)

其有效值为

(3-49)

各支路电流相量和总电流相量的关系可在一个相量图中表示出来，如图3-17所示。图3-17

RLC并联交流电路相量图相量图上由电流构成的直角三角形称为电流三角形。总电流与电压的相位差为

(3-50)

由式(3-50)可知，总电流与电压的相位差j是由电路的参数所决定的。当电路的总电流滞后于电源电压，并联电路呈现电感性；

当电路的总电流超前于电源电压，并联电路呈现电容性；

当电路的总电流与电源电压同相，并联电路呈现电阻性，这是因为电路中感纳的作用和容纳的作用互相抵消。

【例3-14】在RLC并联电路中，R=10Ω，XC=8Ω，XL=15Ω，U=120V，f=50Hz。

(1)试求

(2)写出iR、iL、iC及i的表达式。

解取电压为参考相量，令则

(1)

(2)因f=50Hz，故ω=2πf=314rad/s，各电流的瞬时值表达式为3.4.5阻抗的串联

图3-18(a)所示为两个负载串联的交流电路，根据KVL的相量形式，有

(3-51)

式中，Z称为电路的等效阻抗，即串联电路的等效阻抗等于各串联阻抗的和。图3-18(a)所示电路的等效电路如图(b)所示。一般情况下，等效阻抗的表达式为

(3-52)

式中，∑XK包括感抗XL和容抗XC，感抗XL取正值，容抗XC取负值。

图3-18阻抗的串联相应的分压公式为

(3-53)

式中，分别是总电压相量和Zi的电压相量。3.4.6阻抗的并联

图3-19(a)所示为两个负载并联的交流电路，根据KCL的相量形式，有

(3-54)

将式(3-54)中的两个并联的阻抗用一个等效阻抗Z来代替，等效电路如图3-19(b)所示。因此，有

(3-55)

或

(3-56)相应的分流公式为

(3-57)

一般情况下，等效阻抗与各并联阻抗的关系可用下式表示:

(3-58)图3-19阻抗的并联

【例3-15】在图3-20所示的无源端口网络中，已知端口电压和电流分别为u(t)=10

sin(100t+36.9°)V，i(t)=2

sin(100t)A，试求该网络的输入阻抗及其等效电路。图3-20例3-15图

解由题可得电压和电流相量为

根据定义，阻抗为

故X=3Ω>0，电路呈感性，等效电路为一个R=4Ω的电阻与一个感抗XL=3Ω的电感元件串联，其等效电感为

【例3-16】在如图3-21所示的正弦稳态电路的相量模型中，已知R1=8Ω,XC1=6Ω,R2=3Ω,XL2=4Ω，R3=5Ω,XL3=10Ω。试求电路的输入阻抗Zab。

解首先，求出各支路的阻抗:

利用阻抗的串、并联关系可得输入阻抗:图3-21例3-16图

3.5串联与并联谐振

3.5.1串联谐振

在如图3-22所示的RLC串联电路中，当XL＝XC时，则

此时电压与电流同相位，电路呈纯电阻性，电路阻抗达到最小值，当电路所加电压幅度不变时，电流达到最小值，即电路发生谐振。由于谐振发生在串联电路中，因此又叫做串联谐振。图3-22串联谐振由谐振的定义可知，串联谐振的条件是：

XL＝XC

电路发生谐振时的频率称为谐振频率。串联谐振的频率为

即

(3-59)串联谐振具有以下特点：

(1)电路的阻抗最小，电流最大。谐振时电路的阻抗和电流分别为

(2)电压与电流同相，j=0，cosj=1，电路呈现纯电阻性，总无功功率为零，电路与电源之间不发生能量互换。

(3)电感上的电压与电容上的电压大小相等，但相位相反。当XL＝XC≥R时，UL＝UC≥UR＝U。也就是说，电感或电容上的电压将大于电路的总电压，因此串联谐振也称为电压谐振。

谐振时电感(或容抗)上的电压与总电压之比称为电路的品质因数，用Q表示，即例如，图3-23(a)所示为收音机的输入电路，它是由线圈L和可变电容C组成的串联电路，图中L1是天线线圈。天线接收到的所有不同频率的信号都会在LC谐振电路中感应出来，其等效电路如图3-23(b)所示，图中R是电感线圈Ｌ的等效电阻。改变电容C，使电路在所需信号频率发生谐振，此时所需信号在电容两端的电压最高，其他信号由于没有谐振，电压很小。这样就起到了选择信号和抑制干扰的作用。图3-23收音机的输入电路

【例3-17】在电阻、电感、电容串联谐振电路中，L=0.05mH，C=200pF，品质因数Q=100，交流电压的有效值U=1mV。试求：

(1)电路的谐振频率f0。

(2)谐振时电路中的电流I0。

(3)电容上的电压UC。

解

(1)电路的谐振频率:

(2)由于品质因数:

故

谐振时，电流为

(3)电容两端的电压是电源电压的Q倍，即

【例3-18】在图3-24所示的电路中，线圈的电感为

0.2mH，要想使频率820kHz的信号获得最佳效果，电容器的电容C应调节到多少？图3-24例3-18图

解要使f=820kHz的信号获得最佳效果，必须使电路的固有频率为820kHz，即电路谐振频率为

电容器的电容应为3.5.2并联谐振

1．谐振条件

在实际工程电路中，最常见的、用途极广泛的谐振电路由电感线圈和电容器并联组成，如图3-25所示。图中，电容器损耗很小，可以忽略不计，可看成一个纯电容；线圈的电阻是不可忽略的，可看成由一个纯电感和电阻串联而成。图3-25

RLC并联谐振电路电感线圈与电容并联谐振电路的谐振频率为

式中，R为线圈的电阻，单位为欧姆(Ω)。在一般情况下，线圈的电阻比较小，即Q>>1,

则所以谐振频率近似为

(3-60)

这个公式与串联谐振频率公式相同。在实际电路中，如果电阻的损耗较小，则应用此公式计算出的结果其误差是很小的。

2．谐振电路的特点

电感线圈与电容并联的电路谐振时具有的特点与RLC串联谐振电路相同。

(1)电路呈纯电阻特性，总阻抗最大，当时，有

(3-61)

(2)品质因数定义为

(3-62)

(3)总电流与电压同相，数值关系为

(3-63)

(4)支路电流为总电流的Q倍，即

(3-64)

因此，并联谐振又叫做电流谐振。

【例3-19】收音机的中频放大耦合电路是一个线圈

与电容器并联的谐振回路，其谐振频率为465kHz，电容C=200pF，回路的品质因数Q=100。求线圈的电感L和电阻R。

解因为Q>>1，所以电路的谐振频率为

因此，回路谐振时的电感和电阻分别为3.6交流电路的功率及功率因数

3.6.1瞬时功率

设某一电路中的端口电压为

端口电流为那么电路的瞬时功率为

(3-65)

根据i、u、p的表达式画出电压、电流和瞬时功率随时间变化的曲线，如图3-26所示。从图3-26中可看出，瞬时功率可正可负。当电压和电流的实际方向一致时，功率为正值，表明电路从电源取用功率；当电压和电流的实际方向相反时，功率为负值，表明电路将功率传送给电源。图3-26电压、电流和瞬时功率随时间变化的曲线3.6.2有功功率、无功功率和视在功率

有功功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值，简称功率。其计算式为

(3-66)

平均功率就是电路中电阻元件所消耗的功率。通常将cosj定义为功率因数，相应的j定义为功率因数角，它取决于交流电路的参数和频率。定义无功功率为

(3-67)

电压与电流有效值的乘积称为电路的视在功率或表观功率，用S表示，即

S=UI

(3-68)

为了与有功功率和无功功率加以区别，视在功率的单位为伏·安(V·A)。有功功率、无功功率和视在功率之间的关系为

(3-69)

从图形关系上看，三者符合直角三角形的关系。这一三角形称为功率三角形。3.6.3功率因数的提高

1.提高功率因数的意义

当电路负载为电阻性时，电压、电流才是同相位的，即功率因数为1。对其他负载而言，其功率因数均介于0与1之间。电源提供无功功率，表明电源和负载之间有一部分能量在相互交换。在U、I一定的情况下，功率因数越低，无功功率比例越大，对电力系统的运行越不利，这体现在以下几个方面。

(1)降低了电源设备容量的利用率。

电源设备的额定容量是根据额定电压和额定电流设计的。额定电压和额定电流的乘积就是额定视在功率，代表着设备的额定容量。容量一定的供电设备提供的有功功率为

功率因数cosj越低，P越小，则设备利用率越低。

(2)增加了输电线路和供电设备的功率损耗。负载上的电流为

在P、U一定的情况下，功率因数cosj越低，I就越大。线路上的功率损耗为

其中，r代表传输线路加上电源内阻的总等效电阻。由上式可知，功率损耗和功率因数cosj的平方成反比，即功率因数cosj越低，电路损耗越大，则输电效率就越低。

(3)降低了电能质量。

如前所述，功率因数cosj越低，输电线上电流I就越大，在线上产生的电压降也就越大。这样降低了供电的电能质量，满足不了用户对电能质量的要求。

2.提高功率因数的方法

功率因数不高的根本原因是电感性负载的存在。例如，工业生产中最常用的异步电动机就是感性负载，其功率因数约为0.6，轻载时更低；日光灯作为感性负载其功率因数也只有0.3左右。感性负载的功率因数之所以不高，是由于负载本身需要一定的无功功率。按照供用电规则，高压供电的工业企业的平均功率因数为0.8～0.95。

提高功率因数的途径有两个：一是提高用电设备自身的功率因数，如降低轻载时加在三相异步电动机绕组上的电压；二是用其他设备进行补偿。第二种途径将作为我们讨论的重点。由功率三角形可知，负载的功率因数:

式中，Q=QL－QC。可以利用QL和QC之间的相互补偿作用，让容性无功功率QC在负载网络内部补偿感性负载所需的无功功率QL，使电源提供的无功功率Q接近或等于1。因此，从技术经济的观点出发，提高感性负载网络功率因数的有效方法，是在感性负载两端并联适当大小的电容器，其电路如图3-27所示。图3-27提高功率因数的电路提高功率因数的原理也可用相量图来说明，如图3-28所示。图中，代表并联电容器之前感性负载上的电流，等于线路上的电流，它滞后于电压的角度是j，这时的功率因数是cosj

。并联电容器C之后，由于增加了一个超前于电压90°的电流，所以线路上的电流变为

其中，滞后于电压的角度是j′。由于j′<j

，所以cosj′>cosj

。只要电容C选得适当，就可达到补偿要求。图3-28相量图下面推导计算并联电容器电容值的公式。由图3-28可得:

又因则有

因此在感性负载ZL两端并联适当的电容后，能起到以下作用：

(1)电源向负载ZL提供的有功功率未变。

(2)负载网络(包括并联电容)对电源的功率因数提高了。

(3)线路电流下降了。

(4)电源与负载之间不再进行能力的交换(Q=0)。这时感性负载ZL所需的无功功率全部由电容提供，能量的互换完全在电感与电容之间进行，电源只提供有功功率。

【例3-20】有一感性负载的功率P=1600kW，功率

因数cosj1=0.8，接在电压U=6.3kV的电源上，电源频率

f=50Hz。

(1)如果把功率因数提高到cosj2=0.95，试求并联电容器的容量和电容并联前后的线路电流；

(2)如果将功率因数从0.95再提高到1，并联电容器的容量还需增加多少？此时电路中发生了怎样的物理现象？

解

(1)

根据公式:可知所需电容量为

并联电容前，线路电流(即负载电流)为

(2)要将功率因数从0.95再提高到1，尚需增加电容:

此时，线路电流为

将功率因数从0.95提高到1，需要增加电容42.2μF，增加了原电容值的78%，但线路电流的改变不大，仅降至254A，只下降了5%。同时，电路中发生了谐振现象。这说明将功率因数提高到1是不经济、不可取的。因此，通常只将功率因数提高到0.9～0.95之间。3.7三相电路

3.7.1三相电源电压

三相电源是由三个幅值相等、频率相同、相位依次相差120°的正弦电压源uA、uB、uC组成的，每个电压源的参考方向均由始端指向末端，如图3-29所示。

若以uA为参考正弦量，则有

式中，Upm为每个相电压的最大值，Up为有效值。它们的波形和相量图如图3-30(a)、(b)所示。图3-29三相电压源图3-30对称三相电压源的波形和相量图对称三相电压源的特点是：

或

从波形图中可以看出，uA、uB、uC达到最大值是有先有后的。通常把这三个电压达到最大值的先后顺序称为相序。相序分有正(顺)序和负(逆)序。当发电机的转子顺时针旋转时，三相电压uA超前uB120°，uB又超前uC120°，这时三相电压的相序为A→B→C，称为正(顺)序；当转子逆时针旋转或虽顺时针旋转但B和C相互对调时，相序为A→C→B，称为负(逆)序。但应指出的是，在发电机的三相绕组中，哪个是A相可以任意指定，当A相指定后，比A相落后120°的就是B相，比A相超前120°的就是C相。在输配电工程中，常用黄、绿、红分别表示A、B、C相的引出线，以免搞错而造成事故。这说明相序在电力系统中是非常重要的。

虽然三相电源中有三个独立的电压源，但在实际应用中，它们并不都单独引出线来向用户供电，而是先在内部采用一定的连接。其连接方式有星形(Ｙ)连接或三角形(△)连接两种。

1.对称三相电源的星形连接

图3-31所示为对称三相电源的星形连接，即把定子三相绕组的末端X、Y、Z连在一起，从始端引出三根导线A、B、C(称为端线或相线，俗称火线)，从公共点0引出一根导线(称为零线或中线，俗称地线)。每根火线(始端)与地线之间的电压称为相电压，如图中的uA、uB、uC。两根火线之间的电压称为线电压，如图中的uAB、uBC、uCA。显然，有图3-31对称三相电源的星形连接它们的相量关系为

其相量图如图3-32(a)、(b)所示。图3-32对称三相电源星形连接的相电压和线电压相量图因相电压对称，故线电压也对称。相、线电压的关系可由三个相量所组成的等腰三角形求得，则有线电压超前相应相电压30°，有效值线电压为相电压的倍，即

(3-70)

因此，星形连接三相电源的线电压相量是相应相电压相量的倍，而相位超前其30°，故有

(3-71)

【例3-21】星形连接对称三相电源如图3-31所示，已知相电压为220V，求其线电压，并求出

(设为参考相量)。

解由式(3-70)可知:

若设则有

2.对称三相电源的三角形连接

若把发电机的三相绕组始末端依次相连，再从连接点分别引出三根导线A、B、C，则这种连接方式称为对称三相电源的三角形(△)连接，如图3-33所示。从图中不难看出，这种连接中线电压和相电压是相等的。应指出的是，对称三相电源作三角形连接时，每相的始末端必须连接正确，否则三个相电压之和不再为零，将在其闭合内回路产生很大的电流(又称环流)，从而造成严重后果。图3-33对称三相电源的三角形连接3.7.2对称三相电路分析

1.负载作星形连接的对称三相电路的计算

负载作星形连接时,对称三相电路分为Y－Y连接和△－Y连接两种形式。图3-34所示为有中线的Y－Y连接对称三相电路，即三相四线制电路。图中，为方便起见，忽略了火线阻抗，各相负载阻抗均为Z＝|Z|∠f，中线阻抗为Z0。显然，在这种Y

－Y连接电路中，流过每相负载的电流(称相电流)等于流过火线的电流(称线电流)，即流过中线的电流(称中线电流)等于三个线电流之和，它们的参考方向如图中所示。那么如何求图中的电流和负载端的相、线电压呢？图3-34有中线的Y－Y连接对称三相电路首先，用结点法求中点电压然后再求其他各量。若选0为参考节点，则得中点电压为

(3-72)

由于三相电源对称，因此中点电压为零表明,每相的电源与负载(即每相电路)是相互独立的，而加于各相负载的电压就是电源的相电压，即

若选为参考相量，则可见，各相、线电流是对称的。因此，中线电流为零，即

负载端的相、线电压关系与电源端的相、线电压关系相同，即可见,负载的相、线电压也是对称的。它们的相量图如图3-35所示。由上述分析不难看出，有中线的Ｙ－Ｙ连接对称三相电路的计算可以归结为一相法，即只要先计算出其中一相的电流、电压(通常为Ａ相)，再根据对称性，就可直接写出其他两相的电流和电压。但应注意的是，因为所以在一相计算电路中不应包括中线阻抗Z0(相当于短路)。

由于I0=0，因此中线不起作用，可省去，从而构成无中线的对称三相三线制Y－Y连接电路。其各相电路仍然是相互独立的，因此仍可用一相法计算。图3-35对称Y－Y连接三相电路的相量图综上所述，负载作星形连接的对称三相电路，其负载电压、电流的特点如下：

(1)相、线电压以及相、线电流都是对称的。

(2)线电流等于相电流。

(3)线电压等于相应相电压的倍，相位超前30°。

【例3-22】对称三相三线制连接电路的电源电压为

380V，接星形对称负载，每相阻抗Z=7+j5Ω，火线阻抗ZL=1+j1Ω，求负载的相电流。

解根据在三相电路中，凡不加说明的电压均指线电压的有效值，所以对星形负载来说，对称三相三线制连接电路的电源电压不论是星形连接还是三角形连接，都可用等效的星形连接的三相电源代替，并按对称Y－Y连接的一相法计算。因此，本例中等效的星形电源的相电压有效值为设为参考相量，则故由一相法可求得

根据对称性可推知:

2.负载作三角形连接的对称三相电路的计算

对于作三角形连接的负载，与它相接的三相电源一定是线电压，因此计算时可以不必追究电源的连接方式。另外，由于三相电源总是对称的，且可作Y－△等效，所以为了方便，通常只画出三相负载的连接图即可。

图3-36所示为负载作三角形连接的对称三相电路。图中忽略了火线阻抗，各相负载阻抗都相等，即

显然，加于负载的相电压就是电源的线电压

图3-36负载作三角形连接的对称三相电路若选为参考相量，则各负载的相电流为可见，负载相电流亦是对称的。因此，三个线电流为其相量图如图3-37所示。根据等腰三角形，由图可得

显然，线电流也是对称的，其有效值为相电流的倍,而相位则均滞后于相应相电流30°。这就是对称三角形负载的相、线电流关系。图3-37对称三角形负载的相线电流相量图综上所述，负载作三角形连接的对称三相电路中负载电压、电流的特点如下：

(1)相、线电压以及相、线电流都是对称的。

(2)线电压等于相电压。

(3)线电流相量等于相应相电流相量的倍，其相位滞后30°。

【例3-23】电路如图3-36所示，对称三相电压为380V,对称负载作三角形连接，每相负载复阻抗为Z=8+j6Ω，求负载的相线电流。

解设为参考相量，即则相电流为

根据对称性可推知:线电流为

可推知:3.7.3三相电路的功率

在对称三相电路中，各相负载(星形或三角形连接)是相等的，各相负载的相电压与相电流的有效值和阻抗角都相同(用Up、Ip、f表示)，故各相负载吸收的平均功率相等。因此，三相的有功功率为

(3-73)

式中，f是负载相电压和相电流的相位差或阻抗角。三相的无功功率为

(3-74)

视在功率为

(3-75)小结

一、基本要求

1.深刻理解正弦交流电中频率、角频率与周期之间，瞬时值、有效值与最大值之间，相位、初相位与相位差之间的关系。

2.深刻理解电路基本定律的相量形式和相量图，掌握用相量法计算简单正弦交流电路的方法。

3.深刻理解R、L、C在交流电路中的作用。

4.牢固掌握串联交流电路中的阻抗、阻抗模和阻抗角的计算，理解串联交流电路中电压与电流的相量关系、有效值关系和相位关系。

5.牢固掌握串联、并联和简单混联电路