人教版九年级秋季数学教案

九年级秋季数学教案

《动态数学思维》教案

教材版本：人教版，学

校：.

年九授年月日

师级年级课时间

谒2课时课第一讲一元二次方程（一）

时题

本节重点内容为一元二次方程定义应用，一元二次方程根

教材分析的求解方法一直接开平方法、配方法、求根公式法，以及△

=b2-4ac的应用.

例题的讲解上，教师可通过降次-直接开平方法以及开方

的变形为主线进行讲解（教案中会有体现）.

其中例2、例5可作为分组生生互动题目.

拓展延伸题目，在教材中不予体现，作为教师在课堂选讲

内容（建议教师例1可与拓展1结合讲解，例5可与拓展2结

合讲解，例4可与拓展3、4结合讲解）.

1.了解一元二次方程定义及应用；

知识2.理解一元二次方程的根的概念并会判断根的情况；

3.理解并掌握一元二次方程根的求法.

技能

学

让学生通过动眼观察，动口表达，动脑思考等方式使学生

目数学理解一元二次方程的定义、以及定理的推导与应用.

标思考

经历配方法、求根公式法的探究求证与发现过程，培养学

问

生对公式、定理的推导能力与自主学习的能力.

题解决

让学生初步建立一元二次方程知识框架.享受学习、互助

情的快乐，分享成功、协作的喜悦.

感态度

教学重点：

教学重1.了解一元二次方程定义及应用；

2理.解一元二次方程的根的概念并会判断根的情况；

点、难点3理.解并掌握一元二次方程根的求法；

4使.学生初步建立一元二次方程知识框架.

教学难点：

1.适当选取直接开平方法、配方法、公式法解数字系数的

一元二次方程；

2.根的判别式A=b2-4ac的应用.

教学准备动画多媒体语言课件

第一课时

复备内容教学过程

及讨论记录

师：前面我们己经学习了一元一次方程，以及方程组，那

同学们了解“方程”的来源吗？接下来同学们和老师一起了解

一下它的历史.

课件语音导入了解方程的历史及一元二次方程的定义.

师：相信同学们已经猜到了，今天我们要学习的新知识就

是一元二次方程，接下来呢，我想请一位同学为大家读一下这

个问题.（指定学生读题）

生：”《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广

六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？……”

师：题目已经读完了，大家都听清楚了吗？（学生：听清

了）这位同学你先不要着急坐下，接下来你是想自己回答下面

的问题呢？还是需要寻求一位小伙伴替你回答呢？

生:（自己回答）、或他指定其他同学帮助.

生：高为羽那么这个门的宽是“厂6.8”，根据勾股定理

就可以列方程

"（x-6.8）2+f=102”.

师：大家有不同意见吗？

生：没有.

师：好，谢谢A同学（读题目的）和B同学（列方程的）,

那下面请大家快速的将这个方程化简整理一下.

师：同学们都整理好了吗？（学生：好了）谁说下最后的

结果？

生：2%-170尸672=0.

师：大家计算的也是这个结果吗？（学生：是或不是），

若不是请同学说出其他结果，并指正.

师：好，大家一同观察下这个方程，是不是刚才我们说的

一元二次方程？

生：是.

师：好，那老师请一位同学在来复述一下一元二次方程的

定义，举手示意一下老师，谁可以给大家复述一下？

生：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方

程叫一元二次方程.

一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a0）.

师：他说的好不好？

生：好.

师：下面同学们跟随老师一起学习下一元二次方程的相关

知识.

出示课件“抛砖引玉”中知识点.可请同学读，也可自己读，

根据学生程度或可作简单讲解.

师：接下来我们应用上面所学知识来解决一些一元二次方

程的题目.请同学们看下例1.

例1已知卜-1|=2,解关于x的一元二次方程（〃-9）

x2-4or+l=5x-2ax-2.

师：请一位同学说说他的想法吧，谁主动说一下，举下手.

老师可请一位爱马虎不认真的学生

生：回答大致有两种情况：1.由可知,-1|=2求出。=3或

T.代入方程求X.

2.先由〃-1|=2,求出。二3或T.但是这两个值要满足：

（。-9）x-4ax+1=5x-2ar2-2.

说明：本题重点考察一元二次方程定义中二次项系数不为

0的情况，所以教师在讲解时要先说明将一元二次方程化为的

一般形式，让后让二次项系数不为0.

师：大家同意他的结果吗？

生：同意（不同意）

师：对于1的情况教师从新强调二次项系数不为0的重要

性.对于2的情况请不同意的同学说明.我们在解这样的题目需

要注意什么呢？

生：一元二次方程定义，其中二次项系数不为0.

师：说的非常好，也就是说，如果我们在解这样的题目时,

首先说明

3a-9W0,是不是就不会出现4=3时x的结果了.对于这样

3〃一9w0

的题目，其实我们是列出的是一个方程组,c，这样相

信就不会出现二次项系数等于0的情况了.

师：在应用降次法解一元二次方程时，直接开平方法是其

中最直接有效的方式，接下来左边的同学作为第一组，右边的

同学作为第二组，第一组的同学作例2的①③，第二组的同学

作例2的②④，看看哪组同学对直接开平方法掌握的最好.

例2

①5f-40=0；②（x+l）2-9=0；③9幺-24x+16=121；④

（3%+2）（3尸2）=4.

好，你们两组都有答案了吗？各组请一个代表站起来公布

下你们的答案.

生：第组①,X2=~2V2>（3）X1—5,X2=——.

3

生：第二组②x尸2,a二-4,④工尸名旦，即二-马旦.

33

师：大家作的都非常好.对于ar?+c=0（。=0旦acWO）

或（〃比+〃）2=p形式的，我们都可以应用直接开平方法解其根.

如果一元二次方程不是上面的两种形式，而是一般式

—+bx+c=O,比如2f-4x-2=0,我们该如何求解根呢？

生：转化为上面的两种类型.

师：如何转化呢？

生：配方.

师：嗯，回答的非常好，我们可以应用前面所学的配方法

将其转化为

，**/**iI•、•=4、z

A2X2-4X-2=O〃形式，下面同

JI移常数项

0x2-4x=Q.

学们一向形式.

n二次项系数为1

场（方程两边同除以2）

x2-2x=l

ik口两边加1（即（爸尸）.配方法，重点说明“二

己使左边配成J+26+〃的形式

次项奇/苛二:工工口一次项系数一半的平

u左边写成完全平方形式

（X-1）2=2

方，，Q降次（开平方）

x-1=/2"或工一1=—J2-

。解一次方程

Xi=1+J2",X2=1—J2"

师：在配方的时候一般我们要重点注意以下两点：一是“二

次项系数化为1"，二是“方程两边同时添加一次项系数一半的

平方”，下面请两位同学到前面黑板上应用刚才我们说的配方

法求解例3中的第②小题3犬-4尸2=0.其他同学在下面独自求

解一下.

例3用配方法解下列方程

①2f-4厂2=0②

3X2-4X~2=0

答案…二"芈…二一胆

3333

师：他们两个求解的过程对不对？

生：对（不对）

师请观察答案，不对的地方给予纠正.

师：上面我学习了一元二次方程的定义，以及应用直接开

平方法、配方法解方程，接下来，同学们快速的将练习题中的

1、2、3完成.

教师利用这段时间巡视学生上面的题目完成情况，练习题

完成可直接对答案

1.下列方程中不一定是一元二次方程的是（）

A.(。-3)xJ8(aW3)B.ax+bx^c=O

C.Cv+3)(x-2)-x+5D.+-x-2=0

57

2一.元二次方程2X2-3X+1=0化为(x+〃)2二人的形式,正确的

是()

A(3丫(3?1(3丫1

12)14；1614；16

D.以上都不对

3关.于x的一元二次方程(。-1)£+田〃2一1二0的一个根是0,

则。值为()

A.1B.-1C.1或TD.-

2

答案：l.B；2.C；3.B.

师：同学们休息10分钟，10分钟后我们继续下面的内容，

有问题的同学可以举手示意一下.

第二课时

复备内容及讨论教学过程

记录

师：刚才我们学习三个内容，第一个：一元二次方程的定义；第二彳

应用直接开平方法解一元二次方程；第三个是应用配方法解一元二次方米

也就是说我们在求解一元二次方程时利用降次的方法求解方程时首

对于

ax2+c=0(a工0且ac<0)或(/nx+〃)2=〃形式，我们直接开方即可

若对于给定各系数的一元二次方程一般式，我们选择应用配方将其转化大

直接开方的形式，那在这里，有一个问题，如果对于一元二次方程的一般

,2小隹同学用配方法推导一元二次方程加+c=O（aW。）的求根公式时，〜*

ax2+bx样一道

对于用一4。。>0的情况,她是这样做的：什」

产+皋=_泉，……第一步

目，一"+'+点尸=一泉+（务"……第二步

口+务?=啮弊5……第三步

“X+曷=晦亚（户一4/00）,……第四步

x=一一+J-2-44C........第五步

1a

小佳的解法从第____步开始出现错误；

事实上，当力2_4ac>0时，方程ar2+hx+c=0（a0）的求根公式

师：大家都看完了吧？

生：看完了.

师：现在请一位同学来回答老师的一些问题.好，某某同学回答.

师：小佳的解法从第几步开始出现错误呢？

生：第四步.

师：能说说错误原因吗？

生：一个正数开方时应该有两个，一个正的一个负的.

师：同学们他说的正确吗?

生：正确.

师：看来同学们对开平方都是比较了解的.好，请坐.老师还有在请一

同学回答问题，好，就某某某同学.题目中的第一步到第三步，都分别在

什么？

生：第一步是把常数项移项并将二次项系数化1.第二步是配方，要在

程两边同时添加一次项系数一半的平方.第三步是应用完全平方公式.

师：他回答的好不好？

生：好.

师：这是不是我们上节课应用配方法是所学习的？

生：是的.

师：所以同学们可以看到，对于一元二次方程的一般式加+版%=0,

们也是可以应用配方法求解根的.同学们在思考一个问题，如果题目中，

有给出4呢＞0,在第四步可以开方吗？

生：不能，要对〃-4讹进行讨论.

师：哪位同学给大家详细的说下？

生：当序-4〃cV0时，不能开平方，所以一元二次方程没有实数根；

当"-4〃c=()时，一元二次方程有两个相等的实数根；

当〃-4双＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根.

师：他回答的非常全面，老师相信咱们班的大多数同学都能够做到他

答的这样.

这里我们把〃-4这表示为“△”，并称之为根的判别式，说明对任意

一元二次方程加+2・0,我们可以通过的符号问题来得到方

根的情况.这里老师可以随着学生回答板书下面

「两个不相等的实数根1△>0、

一元二次方程根的情耳两个相等的实数根（—△=（）L△%2-

、没有实数根1△<0J（根的判别¥

像刚才某某某说的一样当△>（）时方程有两个不相等的实数根；△二

时方程有两个相等的实数根；A<0方程没有实数根.对于上面的题目，

家在这个空应该填写什么？

生犬_6±yjb2-4ac

2a

师：这个公式，我们叫做一元二次方程求根公式.下面我们应用上面

学，看看例5.请两位同学到前面板书，其他同学独自解答.

例5用公式法解下列方程

7

①3d+4=7x②2f+'x=l

3

_4__1_3

即--，沏-1X\--，X2~—.

332

教师巡视指正

师：在应用公式法求解一元二次方程时，需要注意，应先验证△司2-

的符号，得到一元二次方程是否有实数根，之后在用公式求解.对于这道

目就不做过多说明了，接下来，一起看看例4

教师读题

例4己知关于x的一元二次方程f-2x+Q0

（1）方程有两个不相等的实数根，求&的取值范围；

（2）在（1）中当&取最大整数时，求所得方程的实数根.

师:第（1）问,我们可利用什么求解呢？

生：A=Z?2-4tzc大于零.

师：大家都知道为什么吗？

生：知道.

师：那快速求解一下.....结果是多少？

生：k<l.

师：那在这个范围内，最大的整数是多少呢？

生：0.

师：也就是说，右0时求解方程9-2田七0的解是不是？

生：是的.

师：同学们独自求解一下吧.

师：本题中，首先我们可以看到该方程为一元二次方程，并且二次项

数为已知，根据一元二次方程根的判别式可得到△斗2_44大于零.进而求

k的取值范围.如果一元二次方程二次项系数不确定时，我们又该如何处

呢？

同学们看看练习第7题.读题

7.已知关于x的方程正+gx~2=0有两个不相等的实数根，求女的

值范围.

师：谁上来在黑板上写一下你的求解过程？请一个同学

其他同学在下面快速求解一下.

答案：

解：・・,原方程有两个不相等的实数根，

r,n附工。

・••有J，即。7—\2

△X)[(Vb-I)+8&X)

解得：1

且人工0

7

或2>-工，教师对女>-」情况说明

77

师：哪位同学和他的结果不同？强调一元二次方程二次项系数不为0

于错误的学生

不一样的同学是不是直接应用△大于零而没有说明ZWO,这里，希望

起同学们的重视，所以为了避免错误的产生，同学们应该按着规范书写，

某某同学写的就非常规范.如果板书错误教师要指出并更正

师：下面，同学们把剩余的练习题求解一下.就是4、5、6、8.

救师巡视，看学生作的情况

4.如果2x2+l与4x~~2x~5互为相反数,则x的值为________.

5.若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3yH有实根，则k的取值

围.

6.关于x的一元二次方程幺+g+〃二0有两个相等实根，则符合条件的

组”、〃的实数值可以是m二,n=.

8.一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离〃（m）与抛出后小

运动的时间Ns）有如下关系：力二24广5人经过多少时间后，小球离上抛点

距离是16m?

答案

2

4.1或一一

3

7

5.k>——

4

6.0,0,答案不唯一

4

8.f=一财

5

拓展问题教师根据学生情况选做

总结：

师：这堂课，我们主要学习了一元二次方程的定义以及二次项系数不

零的易错点，还有解一元二次方程的三种方法，直接开平方法、配方法、

式法.

其中在推导公式法中，我们得到了根的判别式△二/-4妆的符号可判

一元二次方程根的情况.

相应出示课件中总结内容.

不过同学们认为这三种解方程的方法简便吗？

生：简便（不简便）

师：下节课中老师与大家分享一种更为简便的求解一元二次方程的

法，这节课就到这里.

【类似性问题】

1.B

2.C

3.B

4.1或-2

3

7

5.k>--且2W0

4

6.0,0,答案不唯一

7.%>-■!■且

7

4

8.r=-«£4.

5

拓展延伸答案

1.A

2.四：

la

3.解：・・・关于x的方程W+S+2）x+64=0有两个相等的实数根,

・・・△=（什2）2-4（6力尸0.

则"二T0（舍），岳=2.

・・・△ABC是等腰三角形，

工三边分别为。=5、b=2、c=5,△A8C周长为12.

4.

(1)证明：•・•攵工0,

0是关于x的一元二次方程.

k

VA=(-1)2-4JI(--)=9>0.

k

・・・方程总有两个不相等的实数根.

(2)解：由求根公式，得

1±>/9

X=--------

•・•方程的两个实数根都是整数，且左是整数，

*,•左=-1或2=1.

手册答案

1.B

2.C

3.D

4.3或-1

5.-3,2

6「.-，1<6F<-1

2

7.-

3

8.配方法：(1)芭=-2+6,%2=-2-石；(2)%=9=一6.

9.(1)/w=l,2；(2)当机=1时，x=0；m二2时，X)=0,x2=-5.

10.斜边长为5夜.

《动态数学思维》教案

教材版本：人教版.学

校：,

年九授年月日

师级年级课时间

摒2课时课第二讲一元二次方程(二)

时题

本节重点内容为因式分解法解一元二次方程及一元二次

教材分析方程根与系数关系的应用.

课程可设计为：第一节，因式分解法解一元二次方程；第

二节，一元二次方程根与系数关系.

其中例1(1)、(2)给出较详细的十字相乘法解一元二次

方程，教师可应用其讲解十字相乘法，(3)、(4)小题可作为

师生互动题目；例3为换元法解高次方程，若时间允许教师可

结合拓展2进行师生互动、生生讨论的方式加深对换元法及根

的判别式应用的理解；例5为一元二次方程根与系数关系的应

用，可进行分组解答.

拓展延伸题目，在教材中不予体现，作为教师在课堂选讲

内容.

1.理解并应用因式分解法解一元二次方程；

知识2.理解并应用一元二次方程根与系数关系求解相应代数

式的值.

技能

学

学生通过课件导入及教师讲解，观察、思考发现因式分解

目数学法解一元二次方程与一元二次方程根与系数的关系，培养学生

观察、分析问题的能力以及演绎推理的能力.

标思考

通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”“降

问次”的数学思想方法；通过课件了解数学家韦达对一元二次方程根与

系数关系的推导过程.

题解决

情了解由二次向一次的“转化”思想在解方程中的应用，培养学生

感态度的学习兴趣，据髀习效率

教学重点：

教学重1.因式分解法解一元二次方程；

2.一元二次方程根与系数关系.

点、难点教学难点：

1.十字相乘法解一元二次方程；

2.一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用.

教学准备动画多媒体语言课件

第一课时

复备内教学过程

容及讨论记

录

课堂导入

师：上节课我们已经学习了什么是一元二次方程，以及解

一元二次方程的几种方法，还有如何判断一元二次方程根的情

况，哪位同学能分别回答下这三个问题呢？

（教师板书相应知识：

1：ax2+bx+c=O（a^O）；

2：直接开平方法、配方法、公式法；

3：△=b>~^ac.

生1：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方

程，叫做一元二次方程，其一般形式为办2+打+。=0（存0）.

生2：解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、

公式法.

生3：△大于零时，一元二次方程有两个不相等的实数根，

△等于零时，一元二次方程有两个相等的实数根，△小于零时,

一元二次方程没有实数根.

师：这三位同学回答的都非常好，掌声鼓励一下.

生：（鼓掌）

师：通过上节课的学习，同学们也都了解了，在解一元二

次方程时无论是直接开平方法还是配方法，我们都遵循一个

方式，那就是将二次降为一次，那除了这两个方式外，我们还

有其他更简便的方式可以实现降次的目的吗？下面请同学们看

一下导入中的题目.

知识导引读题

如图，在△A5C中，NB=90°,点尸从点A开始，沿

边向点8以lcm/s的速度移动，点。从点3开始，沿8C边向

点C以2cm/s的速度移动，如果4B=6cm,BC=12cm,P、Q分

别从A、B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?

r

解：设，秒后△PB。的面积等于8cm2,则8片6-r,BQ=2t,

SNBQ=LBP•BQ=LX(6-r)X2尸8,

22

整理得尸-6什8=0,

解得片2,后4,

答：2秒或4秒后△尸8Q的面积等于8cm2.

师：如果我们设，秒后△P8Q的面积等于8cm2,那如何建

立相应的方程呢？

生：此时3P=6-z,BQ=2f,△P5Q的面积等于;BQ,

也就是

-X(6-r)X2r=8.

2

师：大家同意这个方程吗？

生：同意.

师：这个方程用什么方法解呢？

生：配方（公式法、因式分解）

若有回答因式分解的可听取其解答过程

师：看来同学们心中都有自己认同的方式求解了，那谁可

以最迅速的求解其根呢？（听取不同方式求解，导出因式分解

法）

师：将上面的方程整理为3-6什8=0后，能不能转化为

（Z-2）（r-4）=0.

生：可以.

师：是的，这样将产-6什8=0转化为（卜2）（，-4尸0,在求解该

一元二次方程要比我们应用配方法或公式法简便的多，那老师

是通过什么方法将Z2-6什8=0转化为“-2）（，-4）=0的呢？有的同学

已经回答出来了，就是因式分解法，我们可通过提公因式、平

方差、完全平方公式以及十字相乘法将一元二次方程达到降次

的目的，这就是我们本节所要学习的--因式分解法解一元二次

方程，用因式分解法解一元二次方程中最为常见、最为重要的

非十字相乘法莫属.

十字相乘云解一元二次方程的过程：

孙一元二次方程ax3+bx+c=O（a00）

1

ayx'x.a^x-ivcc\xc9=c

<—►。贰乂。=0,^=2,/2=4）

,t（aixxca）+（a»rxci）=/>x

注1

一元二次方理aia+fer+cuOta#。）可因式分解为（“iK+ciJ（ajx+c2）=0

BP“ix+ci=O或。4+。2=。，

解得-=-£L.X2=-d.

Oi

教师讲授十字相乘法：

对于一元二次方程"2+公+-0来说，如果二次项能够

写成a\xXa2X=ax2

常数项可表示为ClXC2=C,且（41XXC2）+（a2XXC|）二bx

时，那么这个一元二次方程可分解为(4[X+Cl)(a2X+C2)=0，我

们把这种因式分解的方法叫做十字相乘法，下面我们通过

两个题目来具体学习这种因式分解的方法.

出示例1

教师利用(1)(2)巩固加深对十字相乘法的学习，(3)

(4)可作为师生互动题目，请学生板书，教师巡视其他

学生解答情况.听取学生汇报分解情况及答案

例1

(1)2X2+15X+7=0(2)6户11厂10=0

(3)5x+7x-6=0(4)5y+23y-10=0

答案：

(1)(x+7)(2x+l)=0(2)(2y-5)(3y+2)=0

(3)(x+2)(5厂3)=0(4)(y+5)(5y-2)=0

师总结：对于需要求解根的一元二次方程来说，我们应

用的方法应该是由简单到复杂，也就是先思考是否能够通过因

式分解的方法求解，如果不可以，我们在考虑配方法或公式法.

对于数字系数的一元二次方程我们可应用十字相乘这种

方法，那对于含有参数系数的二次方程，是不是也可以应用十

字相乘这种因式分解的方法呢？

出示例2

例2已知f+3孙-4y=0(yW0),试求。的值.

x+y

学生思考，教师提问其因式分解结果，并点评

师：对于一些高次的方程来说，我们该如何求解呢？

出示例3

例3为解方程(¥—1)2—5(¥—1)+4=0,我们可以将¥—1视

为一个整体，然后设1=)，,

则＞2=("—1产，原方程化为产―5丫+4=0,解此方程，得y=l,

V=4.

2

当y=l时，X—1=1,X2=2,.*.x=±V2.

当y=4时，x2—1=4,X2=5,.*.X=±V5.

；•原方程的解为w=-42,X2=V2>X3——后,X\=V5.

以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想.

(1)运用上述方法解方程：X-3X2-4=0.

(2)既然可以将f-i看作一个整体，你能直接运用因式分

解法解这个方程吗？

请学生解释例3题目中的方法请一名同学为大家讲解一下

题目中的方法.

生：将V—1看成一个整体，设l=y,原方程化为y2

—5y+4=0,因式分解为(y-l)(y-4)=0,也就是9—1=1或/

-1=4,这样就可以解得

Xi=—>/2,X2=V2,X3=-V5,XA=.

师：(表扬)这就是对于高次方程的求解方法一换元法，通

过换元的方式达到了降次的目的.下面同学们思考(1)(2)问题,

一会请两名同学到前面板书.(请学生黑板演练)

教师点评总结：1.了解换元的目的：一,简化方程形式，二.

降次

2.对于类似上面题目中的两种形式的高次方程来说，我们都

可应用换元法达到降次的目的，进而求解方程的根.

巩固练习1、2、4、7.

1.下列方程底一3彳-1=0,5f—7x+2=0,13f—15x+2=0

中，有一个公共解是()

A.x=-2B.x=2C.x=lD.x=~l

2,方程5x(x+3)=3(x+3)解为()

A.x\=-1明=3B.x=—

55

C.X\———>X2=-3D.Xi——»X2=-3

55

4.方程(2y+l)2+3(2)，+l)+2=0的解为.

7.解下列方程：

⑴立一1=0(2)x-4x-21=0；

(3)(x-1)(x+3)=12；(4)(x-l)2-4(x-l)-21=

0.

答案：I.C.2.D.4.y-l,y=--

1=22

7.(1)；(2)%)=-3,x2=7：

(3)%=-5,x2=3；(4)%=-2,x2=8.

练习题目处理方式

1.学生独自处理，教师巡视检查前面例题处理情况；

2.板书演练(第7题).

课堂休息

(教师利用课间休息时间对一些知识掌握不好的学生要有

一些必要的关注)

第二课时

复备内容及讨论教学过程

记录

直接出示例4,学生独自完成，汇报答案

例4

(1)利用配方法证明：无论x为何值，二次三项式-。-况2恒为负;

(2)根据(1)中配方结果，二次三项式-V—2尸2有最大值还是最小值

最值是多少？

(3)求代数式/+10尸3的最值.

教师总结：利用配方法和平方数的非负性求最值问题.

师：上节课我们学习了应用因式分解法解一元二次方程，其中最为重

的一种因式分解法一十字相乘.对于一元二次方程了来说，我们不得不提到

位伟大的数学家，下面各位同学和老师一起认识一下这位伟大的数学家.

出示课件导入动画

师：同学们知道是哪位数学家了吗？

生：韦达.

师：那对于这位代数学之父发现的为+电=-2,我们称之为“

aa

元二次方程根与系数的关系”也可称为“韦达定理”，他是如何证明的呢

哪位同学可以重新为大家解释一下呢？

生：通过公式法得到的两个实数根，之后两根进行和与积.

师：总结的很好，同学们自己在重新推导下.(下面巡视推导情况:

每位同学推导的都非常好，那对于韦达定理都有什么样的应用呢？

同学们一起看看例5

出示例5

2

例5若即，彳2是一元二次方程ax+bx+c=0的两根，则有x1+x2=--

»明二£.这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题.

a

例如，已知即，也是方程/+6%-3=0的两根，求修2+才的值.

解法如下：

•即+用=一6,X1X2——3,

2222

XI+X2=Ui+x2)-2xtX2=(-6)-2X(-3)=42.

若有，“2是方程丁+2厂2007二0的两个根，试求下列各式的值：

-

(1)；(2)—I—；(3)(Xi5)(5)；(4)|x1~x21.

X”

分两组解答前3个问题

师：应用题目中的方法，分左右两组解答第(1)、(2)、(3)小问，先解

完成的组举手示意老师.

教师巡视各组情况，并听取答案汇报

教师总结：通过题目中对加2+用2变形，我们可以看出，在利用韦达定

求解相应的代数式的值时，要分两步进行，首先要确定该一元二次

程有两个实数根，比如例题中的两个方程，我们都可通过根的判别式验证

方程有两个实数根.之后将所求代数式转化为只含有为+明与X出的代

式，比如我们将转化为化|+电)2-2工即那对于第(4)小问中

|%-4|如何转化为只含有为+电与的代数式呢？

生：可以先将|%-%।平方在开方，也就是-/)2=+占)2-4尤/

师：按着A同学的方法，大家快速的求解出|%-91的值.

生：汇报答案

答案：(1)4018(2)二一(3)-1972(4)4>/502

2007

师：应用韦达定理，可以不用求出一元二次方程根的具体值，就可以得到

与系数之间的关系.同样，也可以通过两根和、积直接求得一元二次方程

的系数.

巩固练习3、5、6、8

3.若西是方程2--6#3二0的两个根，则的值为()

须x?

19

A.2B.-2C.-D.-

22

5.已知关于x的方程d-4x+hl=0的两根之差等于6,那么右_

6.已知方程9+〃7工+12=0的两实根是4和x29方程丁-加户〃=0的

实根是修+7和々+7,则m=,片.

8.在解方程/+〃/夕=0时，小张看错了p,解得方程的根为1与-3

小王看错了4，解得方程的根为4与-2。这个方程的根应该是什么？

答案:3.A；5.-4；6.7,12；8.xj=-l,X2=3.

课堂总结：

本节课，主要学习了两个知识点，一是因式分解法求一元二次方程朴

其中十字相乘是因式分解法中重要的应用手段.二是韦达定理的应用，在

用韦达定理时，要特别注意其前提条件为该一元二次方程必须要有实数粒

答案：

【类似性问题】

1.C

2.D

3.A

/13

4.y=_1,%=一耳

5.~4

6.7,12

7.(1)；%=—(2)x,=—3,X2=7；(3)Xj=—5,x2=3；(4)

x[=-2,x2=8.

8.p=—2,q=—3.

拓展延伸答案

1.解：原方程化为f作一力）=0,

因式分解，得氏-（二+Q]二0,

U）u）

拓展：f+二+」=0化为+fx--l+2=o,

x~xX)vX)

令(x」卜y,原式化为y2+y+2=O.

△=l-8=-7<0,

・・.方程>2+)，+2=0无实数根，

人-’的值不存在.

x

3.C.

手册答案

1.B

2.A

3.B

4.=-7,X2=4

5.玉=-2,Xj=--

6.X]=m,々=n

7.37

,3

8.(1)x}=-l,x2=3；(2)Zj=--,/2(3)j]=0,y2=3；(4)

%=2>/2—3»x,=0.

9.m=-l,片17(舍).

10.(l)av-21；(2)不会，因为两根之和是10>0,而如果两根都为负根,

则两根之和为负数，矛盾.

《动态数学思维》教案

教材版本：人教版.学

校：.

年九授年月日

师级年级课时间

偶2课时课第三讲一元二次方程的应用

时题

本节重点内容为建立数学模型，找相等关系，列一元二次

教材分析方程.

例题类型为增长、下降率问题，利润问题，几何图形问题，

数字关系问题等.

例4以师生互动的方式与导入题目共同讲解，例2需进行

多种情况讨论，可分组生生互动，但在建立面积等式时难度较

大，例5也可作为分组生生互动题目.

拓展延伸题目，在教材中不予体现，作为教师在课堂选讲

内容.

1.会根据具体问题（增长、下降率问题，利润问题，几何

知识图形问题，数字关系问题等）中的数量关系列一元二次方程并

求解；

技能2.熟练应用一元二次方程解决实际问题.

学

经历自主探究、独立思考、合作交流的过程，提高分析问

目数学题、解决问题的能力.

标思考

通过建立相应的数学模型，寻求相应的等量关系列一元二

问

次方程.

题解决

感受数学来源于生活，并用数学解决生活中的问题来激发

情学生的学习热情.

感态度

教学重点：

教学重建立数学模型，找相等关系，列方程.

教学难点：

点、难点审题，找相等关系列方程.

教学准备动画多媒体语言课件

第一课时

复备内教学过程

容及讨论记

录

课堂导入

前两节课学习了一元二次方程的相关知识，从而熟悉了一元

二次方程根的情况，也掌握了解一元二次方程根的方法，本节课，

我们将深入研究一元二次方程在实际问题中有哪些的应用，同学

们跟随老师一起通过课件中的内容了解下.

出示课件导入题目

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件,每件盈

利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取

适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均

每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降

价多少元？

解:设每件衬衫降价x元，

根据题意可列方程：(40-x)(20+2x)=1200.

方程化简整理为：/一30户200:0.

解得：为二20或E二10.

答:每件应降价10元或20元时，商场每天要盈利1200元.

授课过程题目分析：

1.通过题目中所列方程(40-x)(20+2x)=1200,提出问题师

生互动：

所列方程正确与否；

请学生谈谈自己的思路，重点分析40-A与20+2x的来源与

各代表的意义；

请学牛逃诛所得结论星否正确.并涌说白己的相法.

加降价导致所增销量

原销售量、

2总利解单婚润X销露「裱价导致所减"并将其

扩展为原利润

yN

所涨价格所降价格

师：通过此题，相信同学们对求解利润问题有了一定的了解，

接下来，我们一起看下例4.出示例4

例4某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，

以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。为了促销，该

经营户决定降价销售。经调查发现，这种小西瓜每降价0.1元/

千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共

24元。该经营户要想每天盈利200元，则应将每千克的小型西瓜

的售价降低多少元？

师：A同学，为大家读一下这个题目，其他同学认真思考.

生：读题

师：哪位同学可以应用上面的图示，为大家解释这个题目

呢？

生：首先设降低X元，之后原来的利润是1元，现在的利润

就是1-X元，又因为每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克,

那降低x元后，就应该是±X40+200,这是现在的销售量，最

0.1

后就可以列出方程

(200+—X40)(3-2-x)-24=200.

0.1

师：他解释的好不好？

生：好.

师：大家快速的求解一下这个方程.

生：Xi=0.3或%2=0.2.

师：是降价0.3元或0.2元，都可以吗？

生：是(不是).

师：请不同回答的两位学生解释自己的答案.之后点评指正

师：回答可降价0.2元的同学，一定没有注意到题目中“为

了促销”四个字，是不是？

师：如果最后的问题不是“售价降低多少元”，改为“售价

多少元”，那又该如何设未知量呢？

生：设售价x元(还是设降低x元).

师：哪种设未知量的方式比较好呢？

生：设降低X元比较好.

师：为什么呢？

生：设降低X元时，对降价后的单件利涧与销售总量表示起

来比较简便.

师：回答的非常好，大家掌声送给他，在解实际问题中，一

般我们设未知量有两种方式，一种是直接设元，也就是设售价X

元，还有一种是间接设元，也就是设降低X元，对于不同的题目，

我们所选择设元的方式也有不同，具体用哪个，要分析哪种更有

利于表示其他的量.显然，对于这样类型的利润问题，设降低X

元比较简便.再有，对于我们所求得的方程的解，需要满足实际

问题的要求，比如题目中有特殊说明“尽量减少“为了促销”

时，都要对方程的解进行筛选.

师：下面请同学们看下例3,稍后请同学回