2024-2025学年重庆市高三上册第一次联合考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年重庆市高三上学期第一次联合考试数学检测试题注意事项：1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则下面结论中正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系可得B、C错误，再根据为无理数可得正确的选项.【详解】因为表示元素，表示集合，故B、C错误.因为不是自然数，所以，且不成立，故A也错误，D正确，故选：D.本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或不包含，2.记为数列的前n项和，则“任意正整数，均有”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据与的关系，利用作差法，可判断充分性，取特殊例子，可判断必要性，即得答案.【详解】当时，则，∴，即数列是递增数列，所以“对任意正整数n，均有”是“为递增数列”的充分条件；取数列an为，显然数列是递增数列，但是不一定大于零，所以“对任意正整数n，均有”不是“为递增数列”的必要条件，因此“对任意正整数n，均有”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选：A.3.已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（）A. B. C.1 D.【正确答案】C【分析】求与，使之共线并求出的值，即可得解．【详解】因为，．假设三点共线，则，即．所以只要，则三点即可构成三角形.故选：C4.已知，则的值是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】将代数式中的角用表示，利用诱导公式即可求出所求代数式的值.【详解】.故选：D.本题考查利用诱导公式求三角函数值，解题时要将角利用已知角加以表示，考查计算能力，属于基础题.5.已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】求出切线方程，再对分和讨论即可.【详解】由得，所以切线方程是，①若，则曲线为，显然切线与该曲线只有一个公共点，②若，则，即，由，即，得或，综上:或或.故选：B.6.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为A. B. C. D.【正确答案】A【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种，故不同的分配方案为：，故选A.7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：）A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9【正确答案】B【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，得，，则，则给氧时间至少还需要小时故选：B8.若的内角满足，则（）A.的最大值为 B.的最大值为C.A的最小值为 D.的最小值为【正确答案】A【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理和基本不等式求解即可.【详解】由题意结合正弦定理有：，结合余弦定理可得：，，当且仅当时等号成立，所以，最小值是12，又余弦函数在上单调递减得，的最大值为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（）A.2，n，10成等差数列B.各项系数之和为64C.展开式中二项式系数最大的项是第3项D.展开式中第5项为常数项【正确答案】ABD【分析】先根据二项式系数之和求出n的值，再令可求系数和，根据展开式的总项数可得二项式系数最大项，利用展开式的通项公式求第5项.【详解】由的二项式系数之和为，得，得2，6，10成等差数列，A正确；令，，则的各项系数之和为64，B正确；的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；展开式中的第5项为为常数项，D正确.故选:ABD10.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为，方差为200，乙队体重的平均数为，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，则下列说法正确的是（）A.甲、乙两队全部队员的平均体重是B.甲、乙两队全部队员的平均体重是C.甲、乙两队全部队员的方差是296D.甲、乙两队全部队员的方差是306【正确答案】AC【分析】依题意利用各样本平均数和方差与总体平均数和方差的关系式，代入公式计算即可求得结果.【详解】根据题意可知，甲、乙两队的队员在所有队员中所占权重分别为；又甲队体重的平均数为，乙队体重的平均数为，所以甲、乙两队全部队员的平均体重是，即可得A正确，B错误；乙两队全部队员的方差是，可知C正确，D错误.故选：AC11.设函数，则（）A.最大值为 B.C.曲线存在对称轴 D.曲线存在对称中心【正确答案】ABC【分析】函数，对于A：分别求出分子分母的范围，即可求出的最大值；对于B：借助于，判断出；对于C：分析出和的对称轴即可对于D：利用对称中心的定义进行验证.【详解】作出的图像，如图示：对于A：∵分子，分母，∴，故A正确；对于B：考虑，故B正确；对于C：∵是的对称轴，也是的对称轴，∴是的对称轴，故C正确；对于D：∵不可能为常数，故D错误.故选：ABC（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）对于非基本初等函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等性质，利用定义法进行分析.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数，则复数z的实部与虚部之和是___________.【正确答案】【分析】先化简求得再计算实部和虚部的和即可.【详解】，故实部和虚部之和为.故13.若函数在其定义域的一个区间内不单调，则实数的取值范围是______.【正确答案】【分析】只需函数的极值点在区间内，再利用为定义域的真子集即可求出实数的取值范围.【详解】解：函数的定义域是，所以，即.因为，所以在上单调递增，由，可得若函数在区间内不单调，则，解之可得，又因为，所以.故答案为.14.已知平面向量，，满足，，，则______，若，则的最大值为______.【正确答案】①.②.【分析】空1，利用向量的数量积的定义求解即可；空2，先建立平面直角坐标系，再设，则点在圆上运动，结合三角函数范围得出，即可求解.【详解】空1，因为，，，所以；空2，以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，由题知，则，故可设，，设，则，即点在圆上运动，令，故，所以的最大值为.故答案为.关键点点睛：关键在于建立坐标系，求得点的轨迹方程，进而三角代换利用辅助角公式求得最大值.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知各项均为正数的等差数列的前三项和为12，等比数列的前三项和为，且，.（1）求和的通项公式；（2）设，其中，求数列的前20项和.【正确答案】（1），（2）【分析】（1）设出等差数列、等比数列的基本量，根据题意得到关于基本量的方程组进行求解；（2）利用分组法和等差数列、等比数列的求和公式进行求解.【小问1详解】解：设等差数列的首项为、公差为，等差数列的首项为、公比为，由题意，得，解得，，，，所以，；【小问2详解】解：由题知的前20项和，即.16.已知（1）求的单调递增区间；（2）若函数在区间上恰有两个零点，①求的取值范围；②求的值.【正确答案】（1）（2）①或②【分析】（1）根据降幂公式，二倍角的正弦公式，辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦函数单调性进行求解即可；（2）①利用换元法，结合数形结合思想进行求解即可；②根据正弦函数的性质进行求解即可.【小问1详解】，结合正弦函数的图象与性质可得：当，即时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为；【小问2详解】①令，当时，，，所以，所以要使在区间上恰有两个零点，的取值范围为或；②设是函数的两个零点（即），由正弦函数图象性质可知，即，所以.17.随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止.（1）求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率；（2）若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式和互斥事件加法概率公式计算即可得；（2）求出一天内模拟考试的次数的所有可能取值，计算相应概率，代入数学期望公式求解的期望，借助期望的性质求得模拟考试花费时间X的期望即可.【小问1详解】设学员小张恰第i次通过模拟考试的概率为，则，，所以，学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试概率为.【小问2详解】设表示一天内模拟考试的次数，则，由题意知：，，，，，所以，因为，所以，所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为分钟.18.2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求，，（1）若，，求的值；（2）若，四边形ABCD面积为4，求的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）中求出BD，在中，由正弦定理求出，根据即可求；（2）在、中，分别由余弦定理求出，两式相减可得与的关系式；又由的与的关系式；两个关系式平方后相加即可求出﹒【小问1详解】在中，∵，则∴．在中，由正弦定理得，，∴．由，得，∴，∴．【小问2详解】在、中，由余弦定理得，，，从而①，由得，②，得，，即，∴．19.已知函数（其中，）.（1）当，，记的导函数为，证明：恒成立；（2）指出的对称中心，并说明理由；（3）已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值.【正确答案】（1）证明见解析（2）y=f(x)的对称中心为，理由如解析（3）【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再判断导数值为正即可.（2）利用对称中心的定义，计算推理即得.（3）求出函数及其导数，再按分类讨论并求出函数的最小值，建立不等式