湘豫名校联考2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题

湘豫名校联考2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1,2,3,A．{3} B．{2,4} C．{2,2．若复数z满足1−zz−3=i,A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若函数f(x)=3cos(2x+φ−π3)(0<φ<πA．π6 B．π3 C．2π34．已知a=3A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b5．某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队荻胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（）A．29 B．25 C．8156．如图，平面四边形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD=22,AD=1.若A,B是椭圆C1和双曲线C2的两个公共焦点，CA．2 B．3 C．2 D．37．如图，在△ABC中，BC=2AB=4,D,E分别为BC,AC的中点，F为A．12 B．1 C．32 8．已知直线l1:y=tx+5(t∈R)与直线l2:x+ty−t+4=0(t∈R)相交于点P，且点A．[−2B．[−2C．[−2D．[−2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（）A．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增B．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增C．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大D．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元10．已知f(x)是定义在R上不恒为0的函数，f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且函数y=1x−2的图象的对称中心也是A．点(−2,0)是B．f(x)为周期函数，且4是f(x)的一个周期C．f(4−x)为偶函数D．f(31)+f(35)=211．如图，在正四面体P−ABC中，AB=18,D,E,F分别为侧棱PA,PB,PC上的点，且AD=BE=CF=1A．AG⊥PBB．五面体ABC−DEF的体积为342C．点Q的轨迹长度为6πD．AQ与平面PBC所成角的正切值为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知圆锥SO1的轴截面SAB为正三角形，球O2与圆锥SO1的底面和侧面都相切.设圆锥SO1的体积､表面积分别为V113．已知角α,β满足β≠kπ,α+β≠kπ(k∈Z)14．已知a,b为实数，若不等式|2ax2+(4a+b)x+4a+b|⩽2|x+1|对任意x∈[−四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．设函数f(x)=alnx+12x−32x+1,（1）求a的值；（2）求f(x)的单调区间和极值16．如图1，Rt△QDC中，∠D=90∘,A,B分别是线段QD,QC上的动点，且QAAD=QBBC=λ(λ>0)，将（1）证明：λ=1；（2）若PA⊥AD,AP=12DC=2,M为线段CD上一点，若平面PBM与平面PCD17．除夕吃年夜饭（又称为团圆饭）是中国人的传统，年夜饭也是阖家欢聚的盛宴.设一家n(n⩾3)个人围坐在圆形餐桌前，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜，每人每次只能从中夹一道菜.（1）当n=4时，若每人都随机夹了一道菜，且每道菜最多被夹一次，计算每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜的概率；（2）现规定每人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次菜后，记被夹取过的菜数为Xn，求满足E(Xn注：若Xi(i=1,18．如图，过点D(1,3)的动直线l交抛物线C（1）若OD⊥AB,OA⊥OB，求（2）当直线l变动时，若l不过坐标原点O，过点A,B分别作（1）中C的切线，且两条切线相交于点M，问：是否存在唯一的直线l，使得19．已知由m(m⩾3)个数构成的有序数组A:(a1,（1）设有序数组P:(2,（2）若有序数组R:(1,

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】全集U={1,2,3,4,所以(∁故选：B【分析】本题考查集合交集与补集的混合运算.先根据集合补集的定义求出∁U2．【答案】D【解析】【解答】因为1−zz−3=i，所以所以z的共轭复数z=2−i，对应的点坐标为(2故选：D【分析】本题考查复数除法运算，共轭复数的定义，复数的几何意义.先根据已知条件变形可得：z=1+3i1+i，利用复数的除法运算分子和分母同时乘以1+i化简后可求出复数z，利用共轭复数的定义可求出3．【答案】B【解析】【解答】依题意，函数f(x)即φ=π3+kπ,k∈Z故选：B【分析】本题考查余弦函数的图象和性质.根据给定条件，利用余弦函数的性质可列出方程φ−π3=kπ4．【答案】A【解析】【解答】因为a=30.4>所以a>1>b>0，又c=log所以a>b>c.故选：A【分析】本题考查利用指数函数的单调性和对数函数的单调性比较大小.先利用指数函数的单调性比较可得：a>1，再根据对数的运算法则化简可得：b=0.43，c=log35．【答案】D【解析】【解答】依题意，记选“初心”队为事件A，选“使命”队为事件B，该单位获胜为事件M，则P(因此P(所以选“使命”队参加比赛的概率P(故选：D【分析】本题考查全概率的计算公式和条件概率的计算公式.先利用全概率的计算公式可求出P(M)6．【答案】C【解析】【解答】依题意，由对称性知，四边形ABCD是等腰梯形，过D作DE⊥AB于E，连接BD如图所示：则|AE|=在Rt△BDE中，|BD所以C1与C2的离心率之积为故选：C【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质.先根据对称性判定梯形的形状，再借助图形性质，结合勾股定理可求出|AE|，|DE7．【答案】B【解析】【解答】过点F作FG⊥AB于G，令∠FAB=θ，由AF=BF，得AG=1|AF|=|AG|cosθ=所以AF⋅故选：B【分析】本题考查平面向量的数量积.过点F作FG⊥AB，令∠FAB=θ，先利用余弦的定义可求出|AF→|=1cosθ8．【答案】D【解析】【解答】直线l1:y=tx+5过定点A(0,5因此点P(x,y)的轨迹是以线段AB为直径的圆（除点(圆C的方程为(x+2)2+(y−3)2=8(x≠0则点P在圆Q：(x−a)2+(于是22−1≤|解得−22−3≤a≤−22所以实数a的取值范围是[−22故选：D【分析】本题考查直线与圆的位置关系.根据给定条件，可知求出点P的轨迹和点Q的轨迹方程，通过分析可知圆C与圆Q有公共点，利用圆与圆的位置关系可列出不等式22−1≤|9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，A正确；B，由题中折线图知，2018∼2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，B错误；C，2018∼2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为39428−29599=9829元，人均消费支出的极差为24315−19014=5301元，C正确；D，2018∼2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为20379+219812故选：ACD【分析】本题考查折线统计图的应用.观察图形可知人均可支配收入折线逐渐上升，据此可判断A选项；观察图形可知城镇居民人均消费支出折线先上升后下降，据此可判断B选项通过计算前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差和人均消费支出的极差可判断C选项；利用中位数的定义求出中位数可判断D选项；10．【答案】A,C【解析】【解答】由f(x−1)的图象关于直线x=1对称，得函数f(x)关于显然函数y=1x图象的对称中心为原点，则函数y=1x−2的图象的对称中心为A，f(−2+x)+f(B，由f(2+x)+f(f(x+8)若4是f(x)的一个周期，则f(x+4C，f(4−x)D，由f(2+x)则f(故选：AC【分析】本题考查函数的对称性和奇偶性.利用平移变换分析可知：f(x)为偶函数，对称中心为(2,0)，即f(2+x)+f11．【答案】A,B,D【解析】【解答】A，取BC的中点H，连接PH,AH，依题意，G是正△PBC的重心，则点G在由PH⊥BC,AH⊥BC,PH∩AH=H,PH,而AG⊂平面PAH，则BC⊥AG，又AH=PH=32BC=9cos∠APH=12PAPH显然AG2+PG2=324=PA则AG⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，所以AG⊥PB，A正确；B，由选项A知，正四面体的高h=AG=66，由已知DEDE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC，则DE//平面ABC，同理EF又DE∩EF=E,DE,EF⊂平面DEF，于是平面四面体PDEF为正四面体，高为23h，S△DEFVABC−DEFC，由选项A知，AG⊥GQ，则GQ=AQ2以线段EF为直径的半圆交BC于M,N，点Q的轨迹是此半圆在四边形EBCF及内部的弧EM和弧显然H是MN的中点，而GH=13PH=33，点Q的轨迹长度为2π3D，由选项C知，∠AQG是AQ与平面PBC所成角，tan∠AQG=故选：ABD【分析】本题考查直线与平面垂直的性质，棱锥的体积计算公式，弧长公式，直线与平面所成的角.先利用重心的性质证明BC⊥平面PAH，根据直线与平面垂直的性质可证明AG⊂平面PAH，根据勾股定理可证明AG⊥PH，进而证明AG⊥平面PBC，利用直线与平面垂直的性质可判断A选项；利用分割法可得五面体ABC−DEF的体积：VABC−DEF=VPABC−VPDEF=VPABC−12．【答案】1【解析】【解答】依题意，设正△SAB的边长为2，则圆锥SO1的底面圆半径为1，高为因此V1=1球O2半径即为正△SAB的边心距33，因此V2所以V1故答案为：1【分析】本题考查球的体积公式和表面积公式，圆锥的体积和表面积公式.设正△SAB的边长为2，先求出圆锥底面圆半径、高、母线，利用圆锥的体积公式和表面积公式可求出V1,S1；根据等边三角形的性质可得球O2半径即为正△SAB13．【答案】0【解析】【解答】由已知得[tan(α+β)−tanα]cosβ=sinβ，显然cosβ≠0则tan(α+β)−tanα=tanβ，即于是tan(α+β)tanαtanβ=0因此tanα=0，所以sin故答案为：0【分析】本题考查两角和的正切公式.对题目等式进行变形化简可得：tan(α+β)−tanα=tanβ，利用两角和的正切公式化简可得tan(α+β)tanα14．【答案】6【解析】【解答】因为x∈[−14,则不等式|2ax2+(4a+b)x+4a+b|≤2|x+1|等价于|2a(x+1)+2ax+1+b|≤2，令t=x+1从而|2at+2at+b|≤2，令f(t)=2at+因为|f(t)|≤2，即−2≤f(t)≤2，所以−2≤4a+b≤2−2≤5a+b≤2令3a+b=m(4a+b)+n(5a+b)，则3=4m+5n1=m+n，解得m=2所以3a+b=2(4a+b)−(5a+b)≤2×2−(−2)=6，当且仅当4a+b=25a+b=−2即a=−4故3a+b的最大值是6.故答案为：6【分析】本题考查复合函数的值域，不等式的性质.先对不等式等价变换为|2a(x+1)+2ax+1+b|≤2，令t=x+1得|2at+2at+b|≤2，构造函数15．【答案】（1）解：因为f(x)=alnx+12x−由题意得f'(2)=−5解得a=2.经检验，a=2符合题意.所以a=2.（2）解：由（1）可知，f(x)=2lnx+12x−f'令f'(x)=0，解得当0<x<13时，f(x)<0；当13<x<1时，f(x)>0；当所以f(x)在区间(0,13)和所以f(x)的极大值为f(1)=0,f(x)的极小值为综上所述，f(x)的单调递减区间为(0,13),【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的极值.（1）求出导函数f'(x)，再利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两条直线平行的斜率转化可得方程a（2）先求出定义域，由（1）的结论可知导函数为：f'(x)=−(3x−1)(x−1)16．【答案】（1）证明：如图，取PC中点F，连接EF,因为E,F分别为线段PD,PC的中点，所以所以EF∥CD，且CD=2EF.又因为QAAD=QB所以EF∥AB，所以A,又因为AE∥平面PBC,AE⊂平面ABFE，且平面ABFE∩平面所以AE∥BF，所以四边形ABFE为平行四边形，所以AB=EF=12CD（2）解：因为PA⊥AD，所以AB=λ由（1）易得AB⊥AD,AB⊥PA，所以以A为坐标原点，线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,因为M是线段CD上一点，所以可设M(2,所以BM=(2PB=(0设平面PCD的法向量为m=(则m⋅CD令x1=1，得平面PCD的一个法向量为设平面PBM的法向量为n=(x2,令z2=−2，得平面PBM的一个法向量为依题意得|cos⟨m→,n→所以n→设直线PC与平面PBM所成的角为θ，则sinθ=|cos⟨PC所以直线PC与平面PBM所成角的正弦值为66【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的性质，利用空间向量求直线与平面所成的角.（1）取PC中点F，利用三角形的中位线定理可证明EF∥CD，且CD=2EF，再根据直线与平面平行的性质可证明AE∥BF，据此证明四边形ABFE是平行四边形，据此推出AB=EF=1（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设M(2,m,0)(0⩽m⩽4)，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面PCD的法向量和平面PBM的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出m的值，再利用空间向量的夹角计算公式可求出直线17．【答案】（1）解：当n=4时，满足条件的样本点总数为A5记“每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜”为事件A，则事件A的结果数是4个元素的全错位排列，记A4可以分步计算A4第一步，让1来先夹菜，除了正中央和自己面前的菜外，他有3种选择；第二步，若他选择了k(2⩽k⩽4)面前的菜，则让k来夹，对于k，可以分两类，若k选1面前的菜，则其余2人只有1种选择；若k不选1面前的菜，可有2种选择，而余下的2人只有1种选择，所以事件A含有的样本点个数为3×(1+2)=9，所以P(A)=9（2）解：方法一：将n+1道菜编号，餐桌正中央的菜编号为0，其余菜编号为1,Yi则P(Y所以E(Y因为当i=1,2,所以E(Y由题意有Xn所以E(X因为E(X故数列{E(X又E(X9)=方法二：由题意得Xn的可能取值为1Xn=1表示n个人都夹取餐桌正中央的菜，Xn=2表示n个人中有1个人夹取他面前的菜，其余n−1个人夹取餐桌正中央的菜，Xn=3表示n个人中有2个人夹取他面前的菜，其余n−2个人夹取餐桌正中央的菜，Xn=n−1表示n个人中有n−2个人夹取了他面前的菜，其余2个人都夹取餐桌正中央的菜，Xn=n表示n个人中有n−1个人夹取他面前的菜，剩余1个人夹取餐桌正中央的菜，或者n个人都夹取他面前的菜所以E(C令Sn则Sn两式相加得2=2+2n+(n+2)(所以Sn所以E(X设an则an+1所以数列{a因为a8所以n的最小值为9.【解析】【分析】本题考查古典型概率的计算公式，二项分布的应用.（1）n=4时，先求出样本空间Ω包含样本点个数，再利用分布计数原理分两步求出所求事件的样本点个数，即4个元素的全错位排列数，最后利用古典概型概率公式可求出概率；（2）引入随机变量Yi=1,第i道菜未被夹0，第i道菜被夹，i=0,1,2,⋯,n,则X18．【答案】（1）解：因为OD⊥AB，直线OD的方程为y=3所以直线AB的方程为y−3=−3由x+3y=4,y2设A,B两点的坐标分别为A(x因为OA⊥OB，所以OA⋅解得p=2.所以C的方程为y2（2）解：由（1）知抛物线C的方程为y2设直线l的方程为x−1=m(y−3由x−1=m(y−3),y2由根与系数的关系，得y1抛物线C在点A(y12抛物线C在点B(y22①-②得(y因为y1≠y2，所以yM即M(3m−1,2m)若存在直线l，使得∠AMD=∠BMD，则tan∠AMD=tan∠BMD.设直线MA,MD,MB的倾斜角分别为由∠AMD=∠BMD，得α−β=π−γ+β或α+(π−β)=β−γ，两边取正切，总有tan(α−β)=tan(β−γ)，由两角差的正切公式