北师大版八年级数学上册《二次根式》实数 课件(第1课时)

第二章

实数

2.7二次根式第1课时1.了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.2.通过对二次根式的性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力.3.经历在具体情境中发现二次根式的过程，体会引入二次根式的必要性.4.经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用的意识.学习重点：了解二次根式和最简二次根式的概念，能将

二次根式化简为最简二次根式.学习难点：对二次根式的性质的探究.

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”.1.什么叫做平方根?

一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根.2.什么叫做算术平方根?正数和0有算术平方根，负数没有平方根.

3.什么数有算术平方根?思考

用带根号的式子填空，观察这些结果有什么特点？(1)如图①的画框为正方形，若面积为8dm2，则边长为____dm；若面积为Sm2，

则边长为_____m．(2)如图②长方形的土地，若宽是长的

，面积为13m2，则它的长为_____m．图①图②问题1

上面问题中，得到的结果分别是

，

，

，

这些式子分

别表示什么意义？分别表示8，S，的算术平方根．问题2

非负数b,m+n

,t2-2的算术平方根怎么表示？，，.学生活动一

【探究二次根式的定义】问题3

什么样的数才有算术平方根？只有非负数才有算术平方根.①都含有“”;②被开方数都是非负数.问题4

这些式子有什么共同特征？

一般地，形如的式子叫做二次根式.a叫做被开方数.注意：a可以是数，也可以是式.两个必备特征

外貌特征：含有“”.

内在特征：被开方数a

≥0.121.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？解：(1)(4)(6)均是二次根式，(3)(5)(7)均不是二次根式．是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：

2.(1)使二次根式

在实数范围内有意义的m的取值范围是____.解析：由m-2≥0，得m≥2.当m≥2时，在实数范围内有意义.m≥2

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.学生活动二

【探究二次根式的取值】

(2)使式子

在实数范围内有意义的

a

的取值范围是_______.a＞1解析：由a-1≥0，得a≥1.又∵为分母，

∴a-1≠0，即

a≠1.∴当a＞1时，在实数范围内有意义.若二次根式为分母时，应同时考虑分母不为零.(1)形如的二次根式有意义的条件：(2)二次根式作为分式的分母时，如

有意义

的条件：m≥0.m＞0.求二次根式中字母的取值范围的依据：

(1)计算下列各式.你有什么猜想？66学生活动三

【探究二次根式的性质】

(2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器

验证一下吧.6.48076.48070.92580.9258验证了猜想

二次根式的性质商的算术平方根，等于算术平方根的商.积的算术平方根，等于算术平方根的积.(a≥0，b≥0)(a≥0，b>0)a，b必须都是非负数！a必须是非负数，b必须是正数！解：(1)

例1化简

：(1)；(2)；(3).(2)

(3)

学生活动四

【应用性质】

观察例1的化简结果

，这些数有什么特点呢？特点被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式.学生活动五

【探究最简二次根式】

一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.

最简二次根式

下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？解：(1)不是，因为被开方数是小数（即含有分母）.(2)不是，因为被开方数含有分母.(3)是.(4)不是，因为被开方数32y中含有能开得尽方的因数16，16=42.(5)不是，因为分母中有二次根式.解：(1)

例2化简：(1)；(2)；(3).(2)(3)化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.

你是怎么发现

的被开方数含有开得尽方的因数的？

你是怎么判断

是最简二次根式的？

被开方数50是偶数，可写成25×2的形式，25=52是一个完全平方数，是能开得尽方的因数.

中，根号内是整数，且不含有能开得尽方的因数，分母中又不含根号，所以是最简二次根式.学生活动六

【方法总结】将二次根式化成最简二次根式的方法：先将被开方数分解成平方因数与其他因数相乘的形式；再根据二次根式的性质写成两个算术平方根相乘；把平方因数开方，结果化为最简二次根式.分子、分母同时乘以一个相同的数；将分母变成平方形式.带分数

假分数小数

分数A.B.C.D.(1)下列各式是最简二次根式的是()(2)下列各式正确的是()CBA.B.C.D.1.选择.(1)使式子

有意义的a的取值范围为_________.2.填空.1<a≤4(2)已知

，则xy的值为_________.(3)当x=_____时，

有最小值，最小值为_______.-66(3)(2)3.化简.(1)解：(1)

(2)(3)二次根式概念：二次根式性质：