2025高考数学一轮复习§2.2函数的单调性与最值【课件】

第二章§2.2函数的单调性与最值1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.课标要求内容索引第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有

，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有

，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)

增函数减函数图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上

或

，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.单调递增单调递减2.函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D，都有

；(2)∃x0∈D，使得________(1)∀x∈D，都有

；(2)∃x0∈D，使得_________结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有

>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减).2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数.3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝

的单调性相反.4.复合函数的单调性：同增异减.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上单调递增.(

)(2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3).(

)(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值.(

)(4)函数y＝

的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(

)×××√2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是A.y＝－2x＋1 B.y＝x2＋1C.y＝

D.y＝2xy＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确；y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；y＝

在[0，＋∞)上是增函数，故C错误；y＝2x在R上是增函数，故D错误.√√4.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>

的x的取值范围是________.∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，返回又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，第二部分探究核心题型命题点1函数单调性的判断例1

(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是A.y＝x－

B.y＝|x2－2x|C.y＝2x＋2cosx

D.y＝lg(x＋1)√题型一确定函数的单调性√√∵y＝x与y＝－

在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－

在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；∵y′＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx是R上的增函数，故C正确；函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确.命题点2利用定义证明函数的单调性例2已知函数f(x)＝x2－

＋1(x>0)，判断函数f(x)的单调性，并证明.证明：任取0<x1<x2，则所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，确定函数单调性的四种方法(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.跟踪训练1

(1)(2023·乐山检测)函数f(x)＝(x－4)·|x|的单调递增区间是A.(－∞，0)B.(－∞，0)∪(2，＋∞)C.(－∞，0)和(2，＋∞)D.(2，＋∞)√函数f(x)＝(x－4)·|x|＝

的图象如图所示，由图可知函数的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞).(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝

的单调递增区间为____________.由f(t)＝

在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为

.令t＝2x2－3x－2>0，命题点1比较函数值的大小例3

(2023·湘潭统考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有

<0，则A.f(－2)<f(3)<f(4) B.f(－2)>f(3)>f(4)C.f(3)<f(4)<f(－2) D.f(4)<f(－2)<f(3)题型二函数单调性的应用√所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)<f(3)<f(4)，又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)<f(3)<f(4).命题点2求函数的最值例4

(2023·四川外国语大学附中模拟)函数f(x)＝x－

＋1在[1,4]上的值域为√微拓展求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.(3)数形结合法.(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.典例

(多选)下列函数中，值域正确的是A.当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6)√√√对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6).故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，命题点3解函数不等式例5函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________.[－1,1)所以实数a的取值范围是[－1,1).命题点4求参数的取值范围例6

(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝

在R上是减函数，则a的取值范围是√(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.跟踪训练2

(1)(2024·大连模拟)已知函数f(x)＝

若f(a－1)≥f(－a)，则实数a的取值范围是√由图象知，函数f(x)在R上是增函数，所以f(a－1)≥f(－a)转化为a－1≥－a，(2)(2023·常德模拟)若函数f(x)＝ax2＋x＋a在[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是A.(0，＋∞) B.(0,1]C.[1，＋∞) D.[0，＋∞)√当a＝0时，f(x)＝x，在[1，＋∞)上单调递增，满足题意；要使函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，综上，a的取值范围是[0，＋∞).返回课时精练一、单项选择题1.函数f(x)＝|x－2|的单调递减区间为A.(－∞，2) B.(2，＋∞)C.(0,2) D.(0，＋∞)√12345678910111213141234567891011121314∴函数f(x)＝|x－2|的单调递减区间为(－∞，2).1234567891011121314√12345678910111213143.(2023·邵阳统考)已知f(x)是偶函数，f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小关系为A.f(1)>f(－2)>f(－3) B.f(－2)>f(－3)>f(1)C.f(－3)>f(1)>f(－2) D.f(－3)>f(－2)>f(1)√12345678910111213141234567891011121314因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3).因为f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(3)>f(2)>f(1)，所以f(－3)>f(－2)>f(1).4.设函数f(x)＝

若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是A.(－∞，1] B.(－∞，2]C.[2,6] D.[2，＋∞)√画出函数f(x)的图象(图略)，结合图象可知f(x)在R上是增函数，由f(a＋1)≥f(2a－1)，得a＋1≥2a－1，解得a≤2.12345678910111213145.(2023·杭州模拟)设a∈R，则“a≥1”是“函数f(x)＝

在(1，＋∞)上单调递减”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件1234567891011121314√1234567891011121314则a－1>0，解得a>1.因为a≥1不能推出a>1，a>1⇒a≥1，6.(2023·南通模拟)已知函数f(x)＝

若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(c)>f(a)>f(b)√12345678910111213141234567891011121314因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0.又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上是增函数.又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c).二、多项选择题7.(2023·深圳模拟)下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有

>0”的是A.f(x)＝21－x

B.f(x)＝－C.f(x)＝x2＋4x＋3 D.f(x)＝x－1234567891011121314√√√1234567891011121314函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有

>0”，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)＝21－x在(0，＋∞)上单调递减，故A不符合题意；函数f(x)＝－

在(0，＋∞)上单调递增，故B符合题意；函数f(x)＝x2＋4x＋3在(0，＋∞)上单调递增，故C符合题意；函数f(x)＝x－

在(0，＋∞)上单调递增，故D符合题意.8.(2023·湛江检测)已知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是A.函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增B.函数y＝f(x)在[－1,0]上单调递减C.当x＝0时，函数y＝f(x)有最小值D.当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值√1234567891011121314√√1234567891011121314因为f(x)＝－x2＋2|x|＋1，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]上单调递减，故A，B正确；由图象可知f(x)在x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确.三、填空题9.(2023·松原联考)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(3x－1)<f(1－x)的解集为____________.1234567891011121314函数y＝2x与y＝－2－x均在R上是增函数，故f(x)在R上是增函数，10.已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是_________________________________________________________________.1234567891011121314f(x)＝(x－1)2(答案不唯一，由题意知，令f(x)＝(x－1)2，满足f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，但函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，所以函数f(x)＝(x－1)2可以说明命题p为假命题.四、解答题11.已知函数f(x)＝x|x－4|.(1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；1234567891011121314函数f(x)的大致图象如图所示.(2)写出函数f(x)的单调递减区间.1234567891011121314由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4).123456789101112131412.(2023·重庆联考)已知f(x)＝

(x∈R).(1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；证明：在R上任取x1，x2且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝由x1<x2可知所以所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).即f(x)在R上是增函数.12345678910111213141234567891011121314(2)解关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0.所以函数f(x)为奇函数，由(1)知，函数f(x)在R上是增函数，由f(t2－3)＋f(2t)<0，可得f(t2－3)<－f(2t)＝f(－2t)，所以t2－3<－2t，即t2＋2t－3<0，解得－3<t<1，即关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0的解集为{t|－3<t<1}.13.(多选)