2025高考数学一轮复习§2.3函数的奇偶性、周期性【课件】

第二章§2.3函数的奇偶性、周期性1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.课标要求内容索引第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且

，那么函数f(x)就叫做偶函数关于

对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且

，那么函数f(x)就叫做奇函数关于

对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且

，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

的正数，那么这个

就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正数1.函数奇偶性常用结论奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x的值：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝

，则T＝2a(a>0).1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(

)(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(

)(3)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数.(

)(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期.(

)√×××2.(2023·济南统考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－6x，则f(－1)等于A.－7B.－5C.5D.7因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝5.√√3.(2023·盐城检测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，则f(2024.5)等于由f(x＋2)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2＋1，4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其在[0，＋∞)上的图象如图所示.则不等式xf(x)>0的解集为______________.(－2,0)∪(0,2)根据奇函数的图象关于原点对称，可得f(x)的图象如图所示.xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号，且均不为0.结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).返回第二部分探究核心题型例1

(1)(多选)下列函数是奇函数的是A.f(x)＝tanx

B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝

D.f(x)＝ln|1＋x|√题型一函数奇偶性的判断√对于A，函数的定义域为

，关于原点对称，且f(－x)＝tan(－x)＝－tanx＝－f(x)，故函数为奇函数；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝

＝－f(x)，故函数为奇函数；对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数.(2)已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)为_____函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)奇由题意得函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，故f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，故f(－x)＝－f(x).故f(x)为奇函数.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.跟踪训练1

(2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是A.f(x)＝x＋sinx√A项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)为奇函数；B项，令

≥0，解得x≤－1或x>1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数；D项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝f(x)知，f(x)为偶函数.命题点1利用奇偶性求值(解析式)例2

(1)(2023·黔东南统考)已知函数f(x)＝2x－2－x＋5，若f(m)＝4，则f(－m)等于A.4B.6C.－4D.－6题型二函数奇偶性的应用√由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，设g(x)＝f(x)－5＝2x－2－x，则g(－x)＝2－x－2x＝－g(x)，即g(x)是奇函数，故g(m)＋g(－m)＝0，即f(m)－5＋f(－m)－5＝0，即f(m)＋f(－m)＝10，因为f(m)＝4，所以f(－m)＝6.(2)(2023·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝____________.－ex＋2x＋1因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x＝0时，f(0)＝0.当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1，又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1.命题点2利用奇偶性解不等式例3

(2023·深圳模拟)设奇函数f(x)满足f(1)＝0，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则不等式xf(x)<0的解集为A.(－1,0)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－2，－1)D.(－2，－1)∪(0,1)√由题意知，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；又因为函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，因为f(1)＝0，则有f(－1)＝0，由xf(x)<0可得，当x>0时，不等式可化为f(x)<0＝f(1)，解得x>1；当x<0时，不等式可化为f(x)>0＝f(－1)，解得x<－1.综上，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).微拓展抽象函数抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性.(1)判断抽象函数单调性的方法①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；微拓展②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－(2)常见的抽象函数模型①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；③指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，对应f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝微拓展④对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)＝f(x)＋f(y)或

＝f(x)－f(y)或f(xn)＝nf(x)；⑤正弦函数f(x)＝sinx，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；微拓展典例

(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是A.f(x)为奇函数B.f(－2)＝－1C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞)D.f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝2023√√对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确；对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又因为x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，故C错误；对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2024)＋f(2024)＝f(－2023)＋f(2023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，又f(0)＝0，故f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝0，故D错误.(2)已知函数f(x)满足：①对∀m，n>0，f(m)＋f(n)＝f(mn)；②

＝－1.请写出一个符合上述条件的函数f(x)＝________________________________.log2x(答案不唯一，符合条件即可)因为对∀m，n>0，f(m)＋f(n)＝f(mn)，所以f(x)在(0，＋∞)上可能为对数函数，故f(x)＝logax(a>0，且a≠1)满足条件①，故符合上述条件的函数可以为f(x)＝log2x.(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.跟踪训练2

(1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于A.eB.－eC.e＋1

D.－e－1√因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.(2)已知函数f(x)＝x3＋2x，x∈(－2,2)，则不等式f(2x－1)＋f(x)>0的解集为________.依题意，f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，且为增函数，∴f(2x－1)＋f(x)>0，可化为f(2x－1)>－f(x)＝f(－x)，√方法一因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，由(2x－1)(2x＋1)>0，此时f(x)为偶函数，符合题意.故a＝0.所以g(x)为奇函数.则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.例4

(1)(2024·安康统考)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，题型三函数的周期性√因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为2，(2)(2023·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)的值是A.2024B.2023C.1D.0√因为f(x)的周期为3，f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1，又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2，因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝675×0＝0.(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.跟踪训练3

(多选)(2023·深圳模拟)已知非常数函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋2)＋f(x)＝0，f(－x)＝－f(x)，则A.f(2)＝0B.f(x＋4)为偶函数C.f(x)为周期函数D.f(x)的图象关于点(－4,0)对称√√√因为f(x＋2)＋f(x)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的一个周期是4，故C正确；又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(0)＝0，所以f(2)＋f(0)＝0，即f(2)＝0，故A正确；又f(x)的一个周期为4，且为奇函数，所以f(x＋4)为奇函数，故B不正确；因为f(x)的图象关于(0,0)对称，所以f(x)的图象也关于点(－4,0)对称，故D正确.返回课时精练一、单项选择题1.(2023·宁波统考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2024)等于A.－1B.0C.1D.2√12345678910111213141234567891011121314因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2024)＝f(0)＝0.12345678910111213142.(2023·全国乙卷)已知f(x)＝

是偶函数，则a等于A.－2B.－1C.1D.2√又因为x≠0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.3.(2023·长沙模拟)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是A.f(－1)<f(0)<f(－6.5)B.f(－6.5)<f(0)<f(－1)C.f(－1)<f(－6.5)<f(0)D.f(0)<f(－6.5)<f(－1)√12345678910111213141234567891011121314∵f(x)对于任意x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，∵偶函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－6.5)<f(－1).4.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝

，则下列函数中为奇函数的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1√

为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.12345678910111213145.(2023·绍兴统考)若f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x，则f(0)＋g(1)等于1234567891011121314√1234567891011121314f(x)＋g(x)＝2x，

①则f(－x)＋g(－x)＝2－x，又f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，∴－f(x)＋g(x)＝2－x，

②12345678910111213146.(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝2－|x|＋

，则使得不等式f(2m)<f(m＋1)成立的实数m的取值范围是√12345678910111213141234567891011121314所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，因为f(2m)<f(m＋1)，所以|m＋1|<|2m|，即(m＋1)2<(2m)2，展开可得3m2－2m－1>0，二、多项选择题7.(2023·松原模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是A.f(x)＝x－sinxB.f(x)＝x2cosxC.f(x)＝x＋x3D.f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)1234567891011121314√√1234567891011121314对于A，f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又f′(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)在R上单调递增，故A正确；对于B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误；对于C，显然y＝x与y＝x3在R上既是奇函数又单调递增，所以f(x)＝x＋x3在R上既是奇函数又单调递增，故C正确；1234567891011121314对于D，f(－x)＝ln(2＋x)－ln(2－x)＝－f(x)，所以

f(x)为(－2,2)上的奇函数，8.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)满足A.f(0)＝0B.y＝f(x)为奇函数C.f(x)在R上单调递增D.f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1}√1234567891011121314√√1234567891011121314由题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)为奇函数，故B正确；1234567891011121314对于C，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，因为x1<x2，所以x1－x2<0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减，故C错误；对于D，由f(x－1)＋f(x2－1)>0，可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2)，由C知函数f(x)在R上单调递减，所以x－1<1－x2，解得－2<x<1，所以f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1}，故D正确.三、填空题9.(2024·太原模拟)写出一个最小正周期为3的偶函数____________________________.1234567891011121314不唯一)1234567891011121314由最小正周期为3的偶函数，可考虑三角函数中的余弦型函数f(x)＝Acosωx＋b(A≠0)，满足f(－x)＝Acosωx＋b＝f(x)，即是偶函数.10.(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋

为偶函数，则a＝____.＝(x－1)2＋ax＋cosx＝x2＋(a－2)x＋1＋cosx，且函数为偶函数，∴a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意.21234567891011121314四、解答题11.已知函数f(x)＝

是奇函数.(1)求实数m的值；1234567891011121314设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.1234567891011121314要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3].123456789101112131412.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0,2]时，