2025高考数学一轮复习§2.13 函数模型的应用用【课件】

第二章§2.13函数模型的应用1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.课标要求内容索引第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xα(α>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与

平行随x的增大逐渐表现为与

平行随α值的变化而各有不同y轴x轴2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝

＋b(k，b为常数，k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(

)(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔.(

)(3)已知a>1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝logax的增长速度.(

)(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.(

)×××√2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是A.y＝100x

B.y＝log100xC.y＝x100

D.y＝100x√根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快.3.(2024·南宁联考)有一组实验数据如表：则体现这组数据的最佳函数模型是A.y＝

B.y＝log2xx23456y1.402.565.311121.30√通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A，B选项中的函数增长速度越来越慢，不正确；C选项中，当x＝6时，y≈21.33；D选项中，当x＝6时，y＝18，误差偏大，故C选项正确.4.(2023·福州模拟)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为A.26米

B.28米

C.31米

D.33米√返回第二部分探究核心题型例1

(1)(多选)(2024·钦州模拟)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论，其中正确的结论为A.在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放

量均达标B.在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等C.甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值D.在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量题型一用函数图象刻画变化过程√√由图可知在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均超标，故A错误；在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等，故B正确；甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误；在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量，故D正确.(2)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图.由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是A.y＝a＋bx

B.y＝a＋bx√由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.跟踪训练1如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是√函数图象大致如A选项所示.例2

(1)(2023·南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的A.6倍

B.102倍C.103倍

D.106倍题型二已知函数模型的实际问题√设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E1，里氏6.0级地震所释放出来的能量为E2，则lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8；lgE2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8，(2)(2023·无锡模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝

＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)A.32天

B.33天

C.34天

D.35天√依题意可知当t＝0时，μ(t)＝6.05，即6.05＝

＋0.05，解得λ＝6，所以μ(t)＝

＋0.05，由μ(t)＝

＋0.05≤0.1，又t∈N，所以tmin＝34，至少需要放置的时间为34天.已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.跟踪训练2

(2023·东莞联考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是100小时，在10℃的保鲜时间是60小时，则该食品在20℃的保鲜时间是A.20小时

B.24小时C.32小时

D.36小时√由题意可得eb＝100，e10k＋b＝60，即该食品在20℃的保鲜时间是36小时.题型三构造函数模型的实际问题例3

(2023·宣城模拟)某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2023年有游客x万人，则需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝

该游玩项目的每张门票售价为100元.为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元.(1)求2023年该项目的利润W(x)(万元)关于游客人数x(万人)的函数关系式(利润＝收入－成本)；该项目的门票收入为50x万元，财政补贴收入为10x万元，共60x万元收入，(2)当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？当0<x≤5时，W(x)单调递增，W(x)max＝W(5)＝－25；当5<x≤20时，对应二次函数的图象开口向下，则W(x)max＝W(20)＝200；综上，当2023年的游客人数为30万时,利润最大，最大利润为205万元.构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解.(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解.跟踪训练3

“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg17≈1.23)A.6B.7C.8D.9√设石片第n次接触水面时的速度为vn，则vn＝20×0.85n－1，由题意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3，得n－1≤log0.850.3，所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.返回课时精练一、单项选择题1.(2023·内江模拟)现有一组关于速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的实验数据如表：用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个是123456789101112t2.03.04.05.16.18v1.54.027.51218.3√123456789101112从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快，A项，是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意；B项，随着t的增大，速度变小，不符合题意，C项，是二次函数模型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意；D项，是一次函数模型，增长速度不变，不符合题意.2.(2023·广安模拟)在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是123456789101112√123456789101112在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且单调递增，故排除A，D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除B；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C.3.(2024·赤峰模拟)心理学家经常用函数L(t)＝A(1－e－kt)测定时间t(单位：min)内的记忆量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.已知一个学生在5min内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率k约为(ln0.9≈－0.105，ln0.1≈－2.303)A.0.021B.0.221C.0.461D.0.661√123456789101112123456789101112由题意可得20＝200(1－e－5k)，4.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足d(x)＝.若人交谈时的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为A.130dBB.140dBC.150dBD.160dB√123456789101112设人交谈时的声强为x1，则火箭发射时的声强为109x1，解得x1＝10－7，则火箭发射时的声强为109×10－7＝102，故火箭发射时的声强级约为140dB.1234567891011125.某次购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，优惠方案如下：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按该次购物总额的9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法不正确的是A.如果购物总额为78元，则应付款73元B.如果购物总额为228元，则应付款205.2元C.如果购物总额为368元，则应付款294.4元D.如果购物时一次性应付款442.8元，则购物总额为516元123456789101112√123456789101112若购物总额为78元，则应付款78－5＝73(元)，故A正确；若购物总额为228元，则应付款228×0.9＝205.2(元)，故B正确；若购物总额为368元，则应付款300×0.9＋68×0.8＝324.4(元)，故C错误；若购物时一次性应付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有172.8元对应的购物额度

＝216(元)，因此购物总额为300＋216＝516(元)，故D正确.1234567891011126.(2023·济南模拟)近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资40万元.由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝

－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入A(单位：万元)满足Q＝

＋2，则投资这两座城市收益的最大值为A.26万元

B.44万元C.48万元

D.72万元√设甲城市投资a万元，则乙城市投资(120－a)万元，解得40≤a≤80，设投资这两座城市收益为y，123456789101112该二次函数的图象开口向下，123456789101112二、多项选择题7.(2023·潍坊模拟)图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是123456789101112A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元B.图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支

恰好平衡C.图②游乐场实行的措施是降低门票的售价D.图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用123456789101112√√√图①中点A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，故A正确；图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，故B正确；图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，故C错误；图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，故D正确.1234567891011128.(2023·新高考全国Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×

，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.不同声源的声压级如表所示：123456789101112声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则A.p1≥p2

B.p2>10p3C.p3＝100p0

D.p1≤100p2123456789101112声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040√√√123456789101112且

∈[60,90]，

∈[50,60]，所以所以p1≥p2，故A正确；因为

＝40，所以p3＝

＝100p0，故C正确；123456789101112假设p2>10p3，则所以所以

，不可能成立，故B不正确；所以p1≤100p2，故D正确.三、填空题9.某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①y＝0.2x，②y＝log5x，③y＝1.02x，则符合该商场要求的模型为______.(填序号)123456789101112②123456789101112在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象，如图所示.观察图象可知，在区间[5,100]内，函数y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有函数y＝log5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方，所以按模型y＝log5x进行奖励符合商场的要求.10.(2023·温州联考)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85℃的开水泡制，再等茶水温度降至55℃时饮用，可以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是T0

℃，经过一定时间t(单位：min)后的温度T(单位：℃)可由公式T－Tα＝

求得，其中Tα表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯85℃的绿茶放在室温为25℃的房间中，如果茶温降到40℃需要20min，那么在25℃室温下，用85℃的开水刚泡好的绿茶大约需要放置______min才能达到最佳饮用口感.12345678910111210由题意得40－25＝(85－25)×，123456789101112设一杯85℃的绿茶放在室温为25℃的房间中，茶温降到55℃需要tmin，则55－25＝(85－25)×，所以因为123456789101112所以t＝10.四、解答题11.(2023·南京统考)某企业为响应国家“节约用水”的号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，该企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝

(x>0).该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和为y(单位：万元).(1)要使y不超过7.2万