贵州省遵义市2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷【含答案解析】

贵州高一数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时.选出每小题答案后，川铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册、必修第二册第四章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求集合，再根据交集的定义，即可求解.【详解】集合，，则.故选：B.2.已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式恒成立即可求出a的取值范围.【详解】∵命题“，”为真命题，∴，解得，即实数的取值范围是.故选：C.3.下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A，根据对数函数图像与性质可判断B，利用函数奇偶性的判断以及其解析式即可判断C，根据常见幂函数的图像与性质即可判断D.【详解】对A，设，其定义域为，则其定义域关于原点对称，且，则函数为奇函数，故A错误，对B，根据对数函数的定义域为，可知其不具备奇偶性，故B错误，对C，当，，可知其在上单调递减，设，其定义域为，关于原点对称，且，故函数为偶函数，故C正确，对D，根据幂函数图象与性质知为奇函数，故D错误，故选：C.4.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数，排除A，B；易知当时，单调递增，且增加幅度较为缓和，所以D错误.故选：C5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合对数函数的定义域、单调性以及充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】当时，.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A6.若m是方程的根，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据零点存在性定理，结合函数单调性，即可判断.【详解】设函数，单调递增，单调递增，所以在上单调递增，又，，所以由零点存在性定理可知，函数在上存在唯一零点，即方程的根m的取值范围为.故选：A.7.在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．【详解】在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除B．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是C．故选：C．8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指对数运算，都与比较大小，即可判断.【详解】∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列命题错误的是（）A.若，且，则，，B.若，且，则，，C.函数的最小值为10D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据对数的运算性质，逐项进行检验即可求解.【详解】对于A，若，且，则，，，当时成立，故A正确；对于B，若，且，则，，，当时不成立，故B错误；对于C，的最小值为10，当时，，则，故C错误；对于D，若，则，则，故D正确.故选：BC.10.设正实数a，b满足，则（）A.的最小值为 B.的最小值为C.的最大值为2 D.的最小值为8【答案】CD【解析】【分析】根据给定条件，利用均值不等式逐项计算判断作答.【详解】对于A，∵，，且，∴，当且仅当，即，时，等号成立，∴的最小值为，故A错误；对于B，∵，，且，∴，当且仅当时，等号成立，∴，当且仅当时，等号成立，∴，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，故B错误；对于C，∵，，且，∴，当且仅当时，等号成立，即的最大值为2，故C正确；对于D，∵，，且，∴，当且仅当时，等号成立，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值为8，故D正确.故选：CD.11.定义表示不大于x的整数，设函数，则下列命题正确的有（）A.B.若，则的图象与函数的图象有1个交点C.在上单调递增D.使得不等式恒成立的a的最小值是1【答案】ABD【解析】【分析】对于A：根据题意直接代入运算求解即可；对于B：令，解得，即可得结果；对于C：举反例说明即可；对于D：整理可得都成立，分和两种情况，参变分离运算求解即可.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，令，得，则或，因为，则，可知方程无解，即方程只有一个解，所以若，则的图象与函数的图象有1个交点，故B正确；对于C，因为，则在上不单调递增，故C错误；对于D，由可化为，当时，无论a取何值，都成立，当时，可化为，即恒成立，因为，则，可得，所以使得不等式恒成立的a的最小值是1，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的定义域是_________.【答案】且【解析】【分析】根据函数定义域的求法列不等式，解不等式即可.【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以该函数的定义域为且，故答案为：且.13.设函数，则_________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式结合对数的定义运算求解即可.【详解】因为函数，则，所以.故答案：.14.函数，若对于任意，当时，都有，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由，可得，构造新函数，易知在上单调增加，根据单调性即可得到实数a的取值范围.【详解】不妨设，因为对于任意，当时，都有，即，所以在上恒成立.令，则当时，恒有，即在上单调递增，当，即时，显然符合题意，当时，由对勾函数性质可知，在上单调递增，由题意可得，解得或.综上，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.化简求值（需要写出计算过程）.（1）；（2）.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则，化简求值；（2）根据对数运算法则，化简求值.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式.16.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）分别求两个集合，再求并集；（2）根据，再分和两种情况，列式求解.【小问1详解】当时，，，故.【小问2详解】∵，∴.若，则，解得；若，则，解得.故实数取值范围为.17.定义在上的函数满足，当时，.（1）求的值；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）证明：在上单调递减.【答案】（1）（2）偶函数，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求得；（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；（3）赋值构造出得表达式，再运用定义证明函数单调性【小问1详解】∵，∴令，则，解得.【小问2详解】为偶函数.理由如下：令，则.又∵，∴.令，则，即，∴是偶函数.【小问3详解】且，则，，则，∴，∴，即.故在上单调递减.18.我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（1）利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形；（2）判断函数的单调性（无需证明），并解关于x的不等式：．【答案】（1）证明见解析（2）为减函数，答案见解析【解析】【分析】（1）由题，证明为奇函数即可；（2）由题可得为减函数，又结合（1）结论可知，后分类讨论的值解不等式即可.【小问1详解】证明：由题意，只需证明为奇函数，又，易知函数定义域为.，所以为奇函数，所以的图像关于成中心对称图形．【小问2详解】易知为增函数，且，对任意恒成立，所以为减函数.又由（1）知，点与点关于点成中心对称，即，所以原不等式等价于，所以，即，由解得，当时，原不等式解集为或；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为或．【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式.19.已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增.（1）已知函数，利用上述性质，求函数的值域；（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）将的解析式上下同除，将分母变为已知函数形式，换元后求其值域，再按复合函数的单调性求的值域；（2）将原条件等价转化为在上的值域包含在上的值域，再按