2025高考数学一轮复习-2.6-对数与对数函数-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-2.6-对数与对数函数-专项训练【A级基础巩固】1．已知eq\f(1,logm3)＝p，9p＝n，其中m＞0且m≠1，n＞0且n≠1.若2m－n＝0，则p的值为()A．log32 B．log23C．2 D．32．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数．如果一定量的废气在前10h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609)()A．11h B．21hC．31h D．41h3．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则a等于()A．eq\f(1,2) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(2),2) D．24．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于()A．log2x B．eq\f(1,2x)C．logeq\s\do9(\f(1,2))x D．2x-25．已知a＝2eq\s\up8(－\f(1,2))，b＝log420，c＝log312，则a，b，c的大小关系是()A．b＜c＜a B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．a＜b＜c6．已知a＝log0.12，b＝log5eq\r(2)，则()A．ab＜0＜a＋b B．ab＜a＋b＜0C．a＋b＜0＜ab D．a＋b＜ab＜07．若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则()A．z＞x＞y B．z＞y＞xC．x＞y，x＞z D．z＞x，z＞y8．若a＝log23，3b＝2，则2a＋2－a＝________，ab＝________．9．函数f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值为________．10．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________．11．设实数a，b是关于x的方程|lgx|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是________．12．设f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)当x∈[1，2]时，求f(x)的最大值．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则()A．f(ln2)＝lneq\f(5,2)B．f(x)是奇函数C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增D．f(x)的最小值为ln22．如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是()A．(1－a)eq\s\up6(\f(1,3))＞(1－a)eq\s\up6(\f(1,2))B．log(1－a)(1＋a)＞0C．(1－a)3＞(1＋a)2D．(1－a)1+a＞13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)))，x≤－1，,－\f(1,3)x2＋\f(4,3)x＋\f(2,3)，x＞－1.))若f(x)在区间[m，4]上的值域为[－1，2]，则实数m的取值范围为________．4．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．参考答案【A级基础巩固】1．解析：因为eq\f(1,logm3)＝p，所以log3m＝p，得m＝3p，所以2m－n＝2×3p－9p＝2×3p－(3p)2＝0，即3p(2－3p)＝0.因为3p≠0，所以3p＝2，解得p＝log32.答案：A2．解析：由已知得eq\f(4,5)＝e-10k，方程两边同取自然对数得lneq\f(4,5)＝－10k，所以k＝eq\f(2ln2－ln5,－10)≈0.0223.设污染物减少到最初含量的50%需要经过th，则eq\f(1,2)＝e-0.0223t，方程两边同取自然对数得lneq\f(1,2)＝－0.0223t，解得t≈31.所以还需要经过31－10＝21h使污染物减少到最初含量的50%.答案：B3．解析：当a＞1时，函数f(x)＝loga(x＋1)在[0，1]上是增函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(0)＝0，,f(1)＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga1＝0，,loga2＝1，))解得a＝2.当0＜a＜1时，函数f(x)＝loga(x＋1)在[0，1]上是减函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(0)＝1，,f(1)＝0，))无解．综上，a＝2.答案：D4．解析：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax.又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.答案：A5．解析：因为a＝2eq\s\up8(－\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)∈(0，1)，b＝log420＝1＋log45＞1，c＝log312＝1＋log34＞1，所以a＜b，a＜c.下面比较log45和log34的大小．log45－log34＝eq\f(ln5,ln4)－eq\f(ln4,ln3)＝eq\f(ln5ln3－(ln4)2,ln4·ln3)≤eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln5＋ln3,2)))\s\up12(2)－(ln4)2,ln4ln3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln15,2)－ln4))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln15,2)＋ln4)),ln4ln3)＜0，所以log45＜log34，即b＜c.综上，a＜b＜c.答案：D6．解析：因为a＝log0.12＜0，b＝log5eq\r(2)＞0，所以ab＜0.又因为a＋b＝log0.12＋log5eq\r(2)＝eq\f(lg2,lg0.1)＋eq\f(lg\r(2),lg5)＝－lg2＋eq\f(lg2,2lg5)＝eq\f(lg2(1－lg25),lg25)＜0，所以a＋b＜0.又eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log20.1＋logeq\a\vs4\al(\r(2))5＝log20.1＋log225＝log22.5＞1，所以eq\f(a＋b,ab)＞1.又ab＜0，所以a＋b＜ab，所以a＋b＜ab＜0.答案：D7．解析：设2x＝3y＝log4z＝k＞0，则x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，根据指数、对数函数图象易得4k＞log2k，4k＞log3k，即z＞x，z＞y.答案：D8．解析：2a＋2－a＝2log23＋2－log23＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3).∵3b＝2，∴b＝log32，∴ab＝log23×log32＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg2,lg3)＝1.答案：eq\f(10,3)19．解析：依题意得f(x)＝eq\f(1,2)log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，当log2x＝－eq\f(1,2)，即x＝eq\f(\r(2),2)时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)10．解析：因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以f(x)＝log5x，则f(x2－2x)＝log5(x2－2x).设μ＝x2－2x，则f(μ)＝log5μ.由x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2.因为f(μ)＝log5μ在其定义域上单调递增，又μ＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0).答案：(－∞，0)11．解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lgx|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，∴ab＝1，0<c<lg10＝1，∴abc的取值范围是(0，1).答案：(0，1)12．解：(1)因为f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2(a－b)＝1，,log2(a2－b2)＝log212，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝2，,a2－b2＝12，))解得a＝4，b＝2.(2)由(1)得f(x)＝log2(4x－2x)，令t＝4x－2x，则t＝4x－2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4).因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4，所以eq\f(9,4)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(49,4)，即2≤t≤12.因为y＝log2t在[2，12]上单调递增，所以ymax＝log212＝2＋log23，即函数f(x)的最大值为2＋log23.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．解析：f(ln2)＝ln(e2ln2＋1)－ln2＝lneq\f(5,2)，A正确；f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e2x＋1)－lnex＝lneq\f(e2x＋1,ex)＝ln(ex＋e－x)，所以f(－x)＝ln(ex＋e－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，B错误；当x＞0时，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，因此y＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(0)＝ln2，D正确．答案：ACD2．解析：因为0＜a＜1，所以y＝(1－a)x是减函数．又eq\f(1,3)＜eq\f(1,2)，所以(1－a)eq\s\up6(\f(1,3))＞(1－a)eq\s\up6(\f(1,2)).因为0＜1－a＜1，1＋a＞1，所以log(1－a)(1＋a)＜0，0＜(1－a)3＜1，(1＋a)2＞1，0＜(1－a)1+a＜1，所以(1－a)3＜(1＋a)2.答案：A3．解析：作出函数f(x)的图象，如图所示．当x≤－1时，函数f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)))单调递减，且最小值为f(－1)＝－1.令log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)))＝2，解得x＝－8.当x＞－1时，函数f(x)＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x＋eq\f(2,3)在(－1，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f(2)＝2.又f(4)＝eq\f(2,3)＜2，f(－1)＝－1，所以实数m的取值范围为[－8，－1].答案：[－8，－1]4．解：(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x＝2－2(log2x－1)2.因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2].(2)由f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)