2025年中考数学一轮复习之有理数

第1页（共1页）2025年中考数学一轮复习之有理数一．选择题（共10小题）1．平湖市地处浙江省东北部，依托“背靠上海、面向大海”的“两海”优势，是浙江省首批扩大经济管理权限的17个强县市之一．2023年全市财政总收入131.71亿元．数131.71亿用科学记数法表示为（）A．1.3171×102 B．131.71×108 C．1.3171×1010 D．1.3171×10112．已知﹣2＜a＜﹣1，则下列结论正确的是（）A．a＜1＜﹣a＜2 B．1＜a＜﹣a＜2 C．1＜﹣a＜2＜a D．﹣a＜1＜a＜23．在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数“．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（）A．1234 B．310 C．60 D．104．﹣2024的相反数是（）A．﹣2024 B．2024 C．±2024 D．15．2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（）A．384×103 B．3.84×105 C．38.4×104 D．0.384×1066．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为（+1）+（﹣1）＝0，由此可推算图2中计算所得的结果为（）A．+1 B．+7 C．﹣1 D．﹣77．如果a与1互为相反数，那么a＝（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣18．如图所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为2，则破损处“0”的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．59．实数a，b满足a＜0，a2＞b2，下列结论：①a＜b，②b＞0，③1a＜1b，④|a|＞A．①④ B．①③ C．②③ D．②④10．计算（﹣3）×（﹣1）的结果是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4二．填空题（共5小题）11．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为﹣4，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5cm处，点C对齐刻度尺4.5cm处．（1）在图1的数轴上，AC＝个单位长度；（2）求数轴上点B所对应的数b为．12．如图数轴上两点A，B表示的数分别是1，3，点C在数轴上，若BC＝2AB，则点C表示的数为．13．若|a﹣2|+b2﹣2b+1＝0，则ab＝．14．数轴上，点P从A点出发沿数轴向右运动6个单位长度后与点B重合，若A、B两点对应的数互为相反数，则点A表示的数为．15．设a，x为有理数，定义新运算：a※x＝﹣a×|x|．例如：2※3＝﹣2×|3|＝﹣6，若3※（a+1）＝﹣4，则a的值为．三．解答题（共5小题）16．计算：（﹣1+3）×2+4÷（﹣2）﹣20240．17．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：（1）列式，并计算：①﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？（2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是45，a是多少？18．已知有四个有理数：﹣9，﹣3，2，6（1）计算：﹣9+（﹣3）﹣6÷2：（2）若（﹣9）÷（﹣3）×2☐6＝12，请推算☐内的运算符号，（3）诺再添加一个有理数m，使﹣9，﹣3，2，6与m这五个数的平均数为﹣2，求m的值．19．为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的嘉嘉以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：﹣10，+4，+11，﹣9，+1．（1）求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？（2）若这6名同学的平均成绩超过了160次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少．20．如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数．（1）若●表示2，输入数为﹣3，求计算结果；（2）若计算结果为8，且输入的数字是4，则●表示的数是几？（3）若输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，请求出a与b之间的数量关系．

2025年中考数学一轮复习之有理数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．平湖市地处浙江省东北部，依托“背靠上海、面向大海”的“两海”优势，是浙江省首批扩大经济管理权限的17个强县市之一．2023年全市财政总收入131.71亿元．数131.71亿用科学记数法表示为（）A．1.3171×102 B．131.71×108 C．1.3171×1010 D．1.3171×1011【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【答案】C【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：131.71亿1.3171×1010．故选：C．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．2．已知﹣2＜a＜﹣1，则下列结论正确的是（）A．a＜1＜﹣a＜2 B．1＜a＜﹣a＜2 C．1＜﹣a＜2＜a D．﹣a＜1＜a＜2【考点】有理数大小比较．【专题】实数；数感．【答案】A【分析】根据﹣2＜a＜﹣1，判断出﹣a的取值范围，进而推出a、﹣a的大小关系即可．【解答】解：∵﹣2＜a＜﹣1，∴1＜﹣a＜2，∴a＜1＜﹣a＜2．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是判断出﹣a的取值范围．3．在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数“．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（）A．1234 B．310 C．60 D．10【考点】用数字表示事件．【专题】计算题；运算能力．【答案】B【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为60，右边第2位的计数单位为61，右边第3位的计数单位为62，右边第4位的计数单位为63，…，依此类推，可求出结果．【解答】解：根据题意得：1×63+2×62+3×61+4×60＝310（只），∴他所放牧的羊的只数是310只，故选：B．【点评】本题考查的是用数字表示事件，正确理解题意是解题的关键．4．﹣2024的相反数是（）A．﹣2024 B．2024 C．±2024 D．1【考点】相反数．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．【解答】解：﹣2024的相反数是2024，故选：B．【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．5．2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（）A．384×103 B．3.84×105 C．38.4×104 D．0.384×106【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；数感．【答案】B【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：384000＝3.84×105．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．6．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图1可列式计算为（+1）+（﹣1）＝0，由此可推算图2中计算所得的结果为（）A．+1 B．+7 C．﹣1 D．﹣7【考点】有理数的加法；数学常识；正数和负数．【专题】实数；数感．【答案】C【分析】根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案．【解答】解：由题意得：（+3）+（﹣4）＝﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，属于基础题型．理解题意是解题的关键．7．如果a与1互为相反数，那么a＝（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】相反数．【专题】实数；运算能力．【答案】D【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：因为a与1互为相反数，﹣1与1互为相反数，所以a＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义，明确在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．8．如图所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为2，则破损处“0”的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．【解答】解：∵本题答案为2，∴a﹣n＝2，又∵a＝6，∴n＝4，∵60000＝6×104，∴破损处“0”的个数为3．故选：B．【点评】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．9．实数a，b满足a＜0，a2＞b2，下列结论：①a＜b，②b＞0，③1a＜1b，④|a|＞A．①④ B．①③ C．②③ D．②④【考点】绝对值．【专题】实数；符号意识．【答案】A【分析】根据a＜0，a2＞b2，得到|a|＞|b|，不论b是正数还是负数，a都小于b，判断①④；举特殊值来判断②③．【解答】解：∵a＜0，a2＞b2，∴|a|＞|b|，∴a＜b，故①符合题意，④符合题意；当a＝﹣2，b＝﹣1时，a2＝4，b2＝1，故②不符合题意；当a＝﹣2，b＝﹣1时，1a=-12，1b=-故选：A．【点评】本题考查了绝对值，掌握在数轴上，一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键．10．计算（﹣3）×（﹣1）的结果是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【考点】有理数的乘法．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：（﹣3）×（﹣1）＝3，故选：C．【点评】本题考查了有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．二．填空题（共5小题）11．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为﹣4，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5cm处，点C对齐刻度尺4.5cm处．（1）在图1的数轴上，AC＝9个单位长度；（2）求数轴上点B所对应的数b为﹣1．【考点】数轴．【专题】实数；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据两点之间的距离即可得出答案；（2）先求出1个单位长度是多少厘米，再求1.5厘米是几个单位长度，根据有理数的加法即可得出答案．【解答】解：（1）5﹣（﹣4）＝9（个），故答案为：9；（2）4.5÷9＝0.5（厘米），1.5÷0.5＝3（个），b＝﹣4+3＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了数轴，掌握如果数轴上两点A，B表示的数为a，b，那么A，B之间的距离＝|a﹣b|是解题的关键．12．如图数轴上两点A，B表示的数分别是1，3，点C在数轴上，若BC＝2AB，则点C表示的数为7或﹣1．【考点】数轴．【专题】实数；数感．【答案】7或﹣1．【分析】根据题意求出线段AB的长，再根据BC＝2AB即可解答．【解答】解：∵数轴上两点A，B表示的数分别是1，3，∴AB＝2，设点C表示的数为x，∵BC＝2AB，∴|x﹣3|＝2×2，解得：x＝7或﹣1，故答案为：7或﹣1．【点评】本题考查了数轴，所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．13．若|a﹣2|+b2﹣2b+1＝0，则ab＝2．【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．【专题】整式；运算能力．【答案】2．【分析】先把原式化为绝对值与平方的和的形式，再根据非负数的性质求出a、b的值，代入ab进行计算即可．【解答】解：原式可化为：|a﹣2|+（b﹣1）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，a＝2，b＝1．∴ab＝2．【点评】当所给的式子比较复杂时，应先把所给的式子进行整理，有三项时要先考虑整理成完全平方的形式．14．数轴上，点P从A点出发沿数轴向右运动6个单位长度后与点B重合，若A、B两点对应的数互为相反数，则点A表示的数为﹣3．【考点】数轴；相反数．【专题】实数；运算能力．【答案】﹣3．【分析】根据相反数的表示方法，设A点表示的数为x，则B点表示的数为﹣x．根据题意得﹣x﹣x＝4，求得x＝﹣2．【解答】解：设A点表示的数为x，则B点表示的数为﹣x．由题意得：﹣x﹣x＝6．∴x＝﹣3．∴点A表示的数为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查相反数、数轴上点表示的数，熟练掌握相反数、数轴上的点表示的数是解决本题的关键．15．设a，x为有理数，定义新运算：a※x＝﹣a×|x|．例如：2※3＝﹣2×|3|＝﹣6，若3※（a+1）＝﹣4，则a的值为13或-7【考点】有理数的混合运算．【专题】整式；运算能力．【答案】13或-【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可．【解答】解：∵a※x＝﹣a×|x|，3※（a+1）＝﹣4，∴﹣3×|a+1|＝﹣4，∴|a∴a+1=∴a=13故答案为：13或-【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键．三．解答题（共5小题）16．计算：（﹣1+3）×2+4÷（﹣2）﹣20240．【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】1．【分析】先算括号内的式子和乘方，再算乘除法，然后算加减法即可．【解答】解：（﹣1+3）×2+4÷（﹣2）﹣20240＝2×2+4÷（﹣2）﹣1＝4+（﹣2）+（﹣1）＝1．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．17．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：（1）列式，并计算：①﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？（2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是45，a是多少？【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①根据题意，可以列出相应的算式，从而可以求得相应的结果；②根据题意，可以列出相应的算式，从而可以求得相应的结果；（2）根据题意，可以得到关于a的方程，从而可以求得a的值．【解答】解：（1）①[（﹣3）×2﹣（﹣5）]2+6＝（﹣6+5）2+6＝（﹣1）2+6＝1+6＝7；②[5﹣（﹣5）]2×2+6＝（5+5）2×2+6＝102×2+6＝100×2+6＝200+6＝206；（2）由题意知，（a+6）2×2﹣（﹣5）＝45，∴（a+6）2×2＝40，∴（a+6）2＝20，∴a+6＝±25，∴a1＝25-6，a2＝﹣25-【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式，求出相应的结果．18．已知有四个有理数：﹣9，﹣3，2，6（1）计算：﹣9+（﹣3）﹣6÷2：（2）若（﹣9）÷（﹣3）×2☐6＝12，请推算☐内的运算符号，（3）诺再添加一个有理数m，使﹣9，﹣3，2，6与m这五个数的平均数为﹣2，求m的值．【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）﹣15；（2）+；（3）﹣6．【分析】（1）原式先算除法运算，再算加减运算即可求出值；（2）根据算式及结果确定出所求即可；（3）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到m的值．【解答】解：（1）原式＝﹣9﹣3﹣3＝﹣15；（2）（﹣9）÷（﹣3）×2+6＝3×2+6＝6+6＝12，则☐内的运算符号是+；（3）根据题意得：﹣9﹣3+2+6+m＝﹣2×5，整理得：﹣4+m＝﹣10，解得：m＝﹣6．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的嘉嘉以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：﹣10，+4，+11，﹣9，+1．（1）求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？（2）若这6名同学的平均成绩超过了160次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少．【考点】正数和负数．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次；（2）剩下的那名同学的成绩最少为164次．【分析】（1）找出这5名同学的最好成绩与最差成绩，然后作差即可；（2）剩下的那名同学的成绩可记为a，根据题意列出关于a的不等式，进而得出答案．【解答】解：（1）+11﹣（﹣10）＝11+10＝21（次），答：这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次．（2）设剩下的那名同学的成绩可记为a，由题意可得﹣10+4+11﹣9+1+a＞0，解得a＞3，∴剩下的那名同学的成绩最少为160+4＝164（次）．答：剩下的那名同学的成绩最少为164次．【点评】本题主要考查正数和负数，找到不等关系是解题的关键．20．如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数．（1）若●表示2，输入数为﹣3，求计算结果；（2）若计算结果为8，且输入的数字是4，则●表示的数是几？（3）若输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，请求出a与b之间的数量关系．【考点】有理数的混合运算．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）3；（2）﹣17；（3）b＝﹣2a﹣1．【分析】（1）把﹣3和●表示的数输入计算程序中计算即可求出值；（2）设●表示的数为x，根据计算程序列出方程，求出方程的解即可得到x的值；（3）把a与b代入计算程序中计算，使其结果为0，得到a与b的数量关系即可．【解答】解：（1）根据题意得：（﹣3）×（﹣4）÷2+（﹣1）﹣2＝12÷2﹣1﹣2＝6﹣1﹣2＝3；（2）设●表示的数为x，根据题意得：4×（﹣4）÷2+（﹣1）﹣x＝8，解得：x＝﹣17；（3）由题意得：-4a2+（﹣1）﹣整理得：b＝﹣2a﹣1．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的运算是解本题的关键．

考点卡片1．正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．2．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．3．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．4．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）5．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．6．有理数大小比较（1）有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．（2）有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【规律方法】有理数大小比较的三种方法1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．3．作差比较：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b＝0，则a＝b．7．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行