2022-2024年高考数学试题分类汇编：平面向量（六大考点）

三年真题

专敷09年面向量

富铝若磺。麴躯僧

考点三年考情（2022-2024）命题趋势

考点1:平面向量线性运算2022年新高考全国I卷数学真题

2022年高考全国甲卷数学（理）真题

2023年高考全国乙卷数学（文）真题

考点2：数量积运算

2022年高考全国乙卷数学（理）真题

平面向量数量积的运算、化

2024年北京高考数学真题

简、证明及数量积的应用问

2023年新课标全国II卷数学真题

题，如证明垂直、距离等是每

2024年新课标全国II卷数学真题

考点3：求模问题年必考的内容，单独命题时，

2023年北京高考数学真题

一般以选择、填空形式出现.交

2022年高考全国乙卷数学（文）真题

汇命题时，向量一般与解析几

2023年高考全国甲卷数学（文）真题

何、三角函数、平面几何等相

考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（理）真题

结合考查，而此时向量作为工

2022年新高考全国II卷数学真题

具出现.向量的应用是跨学科

2024年上海夏季高考数学真题

知识的一个交汇点，务必引起

2024年新课标全国I卷数学真题

重视.

考点5：平行垂直问题2022年高考全国甲卷数学（文）真题

预测命题时考查平面向量数

2023年新课标全国I卷数学真题

量积的几何意义及坐标运算，

2024年高考全国甲卷数学（理）真题

同时与三角函数及解析几何

2024年天津高考数学真题

相结合的解答题也是热点.

2023年高考全国乙卷数学（理）真题

考点6：平面向量取值与范2022年新高考北京数学高考真题

围问题2022年新高考天津数学高考真题

2022年新高考浙江数学高考真题

2023年天津高考数学真题

甯窗给绿。固滔送温

考点1:平面向量线性运算

1.（2022年新高考全国I卷数学真题）在^ABC中，点。在边上，5D=2ZM.记田=m,CD=力，则赤=

（）

A.3m—2nB.-2m+3HC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【解析】因为点。在边N3上，BD=2DA,所以丽=2而，即丽-赤=2（石-1），

所以赤=3而一2声=3石一2碗=-2成+3万.

故选：B.

考点2：数量积运算

2.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量£,b的夹角的余弦值为;,且问=1,%=3,贝1|

（2£+皿=.

【答案】11

【解析】设a与用勺夹角为。，因为a与B的夹角的余弦值为:，即cosO=；,

又H=1，M=3，所以Z*=~H*°sO=lx3xg=l,

所以（2〃+可％=+B-6+|S|=2x1+32=11.

故答案为：11.

3.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形45s的边长是2,£是的中点，则比・丽=（）

A.V5B.3C.275D.5

【答案】B

（______lUun-iIuuufiiiuruuur

【解析】方法一：以｛/民/。｝为基底向量，可知.耳=%。卜2,/"/。=0,

uuruuruur1uurUUTuuruurmrar1uuruuir

贝（JEC=£8+80=5/5+/。®="+/。=-5/5+/。，

uuruur（1uuruuirA（1uuruuurA1uuiuui?

EC-ED=\-AB+AD\-\—AB+AD\=—^AB+AD=』M马；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

uumuuui

则E(l,0),C(2,2),D(0,2)，可得EC=(1,2),ED=(-1,2),

LILULlUUL

所以£C的=-l+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=45,CD=2,

DE2+CE2-DC25+5-43

在ACDE中，由余弦定理可得cos4DEC=

2DE-CE2x尽下15

uuuurruuur山

所以EC-ED=\EC\LEDCOSZDEC=V5xV5x—=3.

5

故选：B.

4.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量"满足|£|=1,|昨百，而-2昨3,则［B=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】c

【解析】^\a-2b\2=\a\2—4a-6+4|&|,

又•.•隆|=1,出|=百,|万一2后|=3,

■-9=l-4a-b+4x3=13-4a-b,

■■a-b=1

故选：C.

5.（2024年北京高考数学真题）设,刃是向量，则"（N+3）•伍-可=0”是“2=1或：=刃”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为（々+孙（@一0=旌一个=0，可得/=不，即同=村，

可知,+孙,5）=0等价于同州,

若2=1或2=1,可得同=|可，即（〉+'）件」）=0，可知必要性成立；

若心+孙,-3=。，即同=|可，无法得出°=3或H,

例如,=（1,0）3=（0,1）,满足同=问，但且心工，可知充分性不成立；

综上所述，%+4（3-4=0”是工。且£力工”的必要不充分条件.

故选：B.

考点3：求模问题

6.（2023年新课标全国II卷数学真题）已知向量3,B满足卜/=百，归+可=忻-同，则年.

【答案】6

【解析】法一：因为卜+同=忸-可，即（1+盯=（21-引，

I「2rI*「212rr12^>7Tcn/i=i_2ff

贝（Jq+2a-b+b=4〃-Aa-b+b，整理得〃—2a-b=0,

又因为|々一回=后,即（1_丹2=3,

贝！1J-2.-6+62=？=3，所以|可=百.

±Lil'iI'LLLLLLI'

法_:设c=J-6，贝［］卜］=J3,〃+b=c+2b,2。—6=2c+6,

由题意可得：«+2力2=*“，则；?+—+措=或+篇+匕

整理得：?=?,即晒=口=6.

故答案为：V3.

7.（2024年新课标全国II卷数学真题）已知向量获满足问=市+2+2，且©-22）厚，则恸=（）

A.yB.立C.立D.1

222

【答案】B

【解析】因为（12同点，所以,-2Z"=0,SPb=2a-b,

又因为忖=11+2可=2,

所以1+4〃花+4刃=1+66=4，

从而w=孝.

故选：B.

8.(2023年北京高考数学真题)已知向量落不满足3+。=(2,3)k-不=(-2,1),贝(]|歼-向2=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量痴满足d+B=(2,3)为工=(-2,1),

所以|a|2-|6^-(a+b)-(a-b)=2x(-2)+3x1=-1.

故选：B

9.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)已知向量£=(2,1)1=(-2,4)，则，-力|()

A.2B.3C.4D,5

【答案】D

【解析】因为15=(2,1)-(-2,4)=(4,-3)，所以**历而=5.

故选：D

考点4：求夹角问题

10.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知向量。=(3,1)1=(2,2),贝[|cos«+及"力=()

【答案】B

【解析】因为a=(3,1)1=(2,2),所以°+刃=(5,3),°-5=(1,-1),

贝m+@=,52+32=5,|］一可=7171=a,p+5)-p-Z；)=5xl+3x(-l)=2,

/__\a+b\\a-b\2J17

所以cos(a+6,"k下邳可=麻五=17-

故选：B.

11.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)已知向量用B忑满足同=⑹卜1,同=逝，且,+石+己，则

cos(3-c,/?-c)=()

422

A•"B--?C-?

【答案】D

【解析】因为］+B+i=G,所以9+6=-£,

即^+庐+2晨3=己2,即1+1+2。)=2,所以NZ=O.

如图，设刀=a,OB=b,OC=c,

AB边上的高OD=—,AD=—,

22

所以CD=CO+OD=行+—,

22

tanNACD=—=-,cosZACD=二

CD3屈,

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故选:D.

12(2022年新高考全国n卷数学真题)已知向量a=(3,4)》=(l,0),c=a+正若<a,c>=<1,c>,则”()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

9+3/+163+%

【解析】5=(3+/,4),cos伍3=cos伍,可,即=百解得，=5,

5同

故选：C

考点5:平行垂直问题

13.（2024年上海夏季高考数学真题））已知上eR,a=（2,5）,B=（6,左），且@//不,贝必的值为

【答案】15

【解析】allb,.12左=5x6,解得左=15.

故答案为：15.

14.（2024年新课标全国I卷数学真题）已知向量及=（0,1）,B=（2,x）,若Bl（b-4a）,贝！］x=（

A.-2B.-1C.ID.2

【答案】D

【解析】因为小伍-町，所以。e-旬=0,

所以°-4a-=0BP+x2—4x=0,故x=2,

故选：D.

15（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量@=（加,3）石=（1,加+1）若小石，则机=

3

【答案】-/-0.75

,3

【解析】由题意知：a-b=m+3（m+l）=0,解得加=-“

3

故答案为：

16.（2023年新课标全国I卷数学真题）已知向量a=（1,1）1=（1,-1）,若（a+2可，（“+,则（

A.%+4=1B./+4=-l

C.M=1D.丸〃=-1

【答案】D

【解析】因为。=（1,1）1=（1,-1）,所以。+4=（1+2,1-2）,Z+）=（1+〃,1一〃），

由（a+/l3）_L+可得，（a+兄可，（°+必可=。,

即（1+4）（1+〃）+0-彳）（1一〃）=0，整理得:加=-1.

故选：D.

17.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量1=（尤+l,x）,B=（x,2）,贝［|（）

A.“x=-3”是“力B”的必要条件B.“x=-3”是“Z//B”的必要条件

c.“X=O”是“£一”的充分条件D."尤=_1+疔，是“£//尸的充分条件

【答案】C

【解析】对A,当力朋寸,则,

所以x•(尤+1)+2无=0,解得工=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，a=(1,0)1=(0,2),故7)=0,

所以£，刃，即充分性成立，故C正确；

对B,当Z/后时，则2(x+l)=x?,解得x=l±6,即必要性不成立，故B错误；

对D,当无=-1+百时，不满足2(x+l)=x2,所以不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

考点6：平面向量取值与范围问题

18.(2024年天津高考数学真题)在边长为1的正方形4BCD中，点E为线段的三等分点，

1uuruuruur

CE=~DE,BE=ABA+piBC，则2+〃=；尸为线段BE上的动点，G为相中点，贝[]/•丽的最小

1uur2uuruuruuoruuriuuruur

【解析】解法一：因为CE=/E,即CE=J/,则2£=2。+。£=//+如，

14

可得2=§，〃=1,所以％+〃=§；

由题意可知：|数|=|国=1,而•前=0,

因为尸为线段BE上的动点，^BF=kBE=^kBA+kBC,k&\Q,\\,

贝IJ万=刀+而=存+左砺k^\BA+kBC,

则丽=9+就=_数+3万=

又因为G为小'中点,

-ijs2+lU-ijsc

又因为左e[O,l],可知：当左=1时，衣费取到最小值二；

解法二：以3为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示,

则/(TO),8(O,O),C(O,I),O(TI)E[：I],

可得或=(-1,0),元=(0,1),砺,

__1

因为丽=痂+〃就=(',〃)，则2一=3,所以彳+〃=:;

必=1°

因为点尸在线段8E：y=-3x,xe-1,0上，设尸(a,-3a),ae-1,0

且G为相中点，则G(一•，-■|aj,

可得//=(a+l,-3a),DG=[^^,-|,

贝！I病丽="^-+(_3°)[_口_1]=51+"$,

且ae--,0，所以当。=-1时，NF-DG取至1J最小值为-白；

JJ10

45

故答案为：J

18

19.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知。。的半径为1,直线以与。。相切于点/，直线网与。。

交于2,C两点，。为3c的中点，若|尸。|=血，则西.而的最大值为（）

A1+V2口1+2V2

22

C.1+V2D.2+V2

【答案】A

【解析】如图所示,\OA\=1,\OP\=42,则由题意可知：4PO=；,

由勾股定理可得|尸/|70P,-（MJ1

71

当点4。位于直线PO异侧时或PB为直径时^ZOPC=a,0<a<-,

则：莎.丽=19H西cos[a+?]

=lxV2cosacos]tz+鼻

=V2cosaf—costz--sina

122J

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.3

=------------sm2a

22

△-也sinRc，]

2214)

c兀c.、兀A7171

0<a<—,贝日---<2a---<—

4'人444

•,当2a-时，/>/./©有最大值1.

jr

当点4。位于直线尸O同侧时，设/。尸Ca,0<a<1,

71

则：PA-JD^\PA\'\PD\C0^\a--

71

=1xV2cosacosa--

=6（亚0.)

cosa——cosa+——sma

【22

7

=cos2a+si•nacosa

1+cos2a1.3

--------------b—sin2a

22

」+也sin&+工71

224

八71„.717137r

0<a<—,贝|一«2aH——<——

4'人」444

.•.当2a+?=］时，方.所有最大值一.

综上可得，沙.丽的最大值为白口.

故选：A.

20.（2022年新高考北京数学高考真题）在“BC中，ZC=3,3C=4,NC=90°.P为“3C所在平面内的

动点，且尸。=1,则万•丽的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则C（0,0）,N（3,o）,5（0,4）,

因为PC=1,所以P在以C为圆心，I为半径的圆上运动，

设P(cos8,sin。)，8£[0,2句，

所以夕/=(3—cos仇一sin。)，^^(-cos^^-sin0)t

所以PAPB=(-cos0)x(3-cos0)+(4-sin0)x(-sin6)

=cos20-3cos8—4sin8+sin?。

=l—3cos9—4sin。

=1—5sin(e+°)i其中sin0=1,cosp=g,

因为一l〈sin(e+9)Wl,所以一4K1—5sin(9+e)«6，即万.万E[T,6];

故选：D

21.(2022年新高考天津数学高考真题)在“BC中，0=口而=否，D是/C中点，通=2BE,试用扇5

表示DE为，若方，无，贝!]/ZC8的最大值为

31-兀

【答案】—b7——a—

226

【解析】方法一：

A

―2—»2—►—»//z_*nab2V3qqF,当且仅当同=如忖时取等号，而

3b+Q=4a•6ncos幺CB=|_||।

\a\\b\

TT

0<ZACB<7l，所以4。5£(0,—].

6

3-1一n

故答案为：-b--a;-.

220

方法二：如图所示，建立坐标系：

E(0,0),5(l,0),C(3,0),4(x,y),而=(_岑,苫),冠=(f_y),

DEIAB^(审)(x-l)+；=0n(x+l)2+/=4,所以点A的轨迹是以MT0)为圆心，以r=2为半径的

r217T

圆，当且仅当◎与。M相切时，/C最大，此时sinC=K/=u，/C=w.

CM42o

3—1一71

故答案为：-b--a;-.

220

22.(2022年新高考浙江数学高考真题)设点p在单位圆的内接正八边形44…4的边44上,则

M+PZ2+---+A4S的取值范围是_______.

【答案】[12+2⑸6]

【解析】以圆心为原点，44所在直线为X轴，44所在直线为了轴建立平面直角坐标系，如图所示：

厂？、(B历、

六